Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Август 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 1306
∙ повысить рейтинг >> 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 1272
∙ повысить рейтинг >> 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 962
∙ повысить рейтинг >>

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:982
Дата выхода:07.08.2009, 13:05
Администратор рассылки:Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
Подписчиков / экспертов:227 / 135
Вопросов / ответов:2 / 3

Вопрос № 170983: Здравствуйте, уважаемые эксперты!Помогите, пожалуйста, решить задачу Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: yIII + 4yI =1 ; y(0) = yI(0) = y Вопрос № 170984: Здравствуйте, уважаемые эксперты!Помогите, пожалуйста, решить задачу Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: yIII + 4yI =1 ; y(0) = yI(0) = y

Вопрос № 170983:

Здравствуйте, уважаемые эксперты!Помогите, пожалуйста, решить задачу
Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: yIII + 4yI =1 ; y(0) = yI(0) = yII(0) = 0

Отправлен: 02.08.2009, 12:59
Вопрос задал: Ushastik1985, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >>

Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
Здравствуйте, Ushastik1985.

Решим заданное уравнение операторным методом. Пусть y(t) → Y(p) = Y. Тогда
y’(t) → pY – y(0) = pY, y”(t) → p2Y – py(0) – y’(0) = p2Y, y’’’(t) → p3Y – p2y(0) – py’(0) – y”(0) = p3Y,
и операторное уравнение принимает вид
p3Y + 4pY = 1/p. (1)

Решаем уравнение (1) относительно Y:
p3Y + 4pY = 1/p,
pY(p2 + 4) = 1/p,
Y = 1/[p2(p2 + 4)]. (2)

Разложим дробь (2) на простейшие:
1/[p2(p2 + 4)] = A/p + B/p2 + (Cp + D)/(p2 + 4) = [Ap(p2 + 4) + B(p2 + 4) + (Cp + D)p2]/[p2(p2 + 4)],
1 = Ap(p2 + 4) + B(p2 + 4) + Cp3 + Dp2,
1 = Ap3 + 4Ap + Bp2 + 4B + Cp3 + Dp2,
1 = (A + C)p3 + (B + D)p< sup>2 + 4Ap + 4B,
A + C = 0,
B + D = 0,
4A = 0,
4B = 1,
A = 0, C = 0, B = 1/4, D = -1/4,
Y = 1/[p2(p2 + 4)] = 1/4 ∙ 1/p2 – 1/4 ∙ 1/(p2 + 4) = 1/4 ∙ 1/p2 – 1/8 ∙ 2/(p2 + 4). (3)

Переходим в выражении (3) к оригиналам:
Y = 1/[p2(p2 + 4)] = 1/4 ∙ 1/p2 – 1/8 ∙ 2/(p2 + 4) ← y = t/4 – 1/8 ∙ sin 2t – искомое решение.

Выполним проверку:
y(0) = 0/4 – 1/8 ∙ 0 = 0,
y’ = 1/4 – 1/4 ∙ cos 2t,
y’(0) = 1/4 – 1/4 ∙ 1 = 0,
y” = 1/2 ∙ sin 2t,
y”(0) = 1/2 ∙ 0 = 0,
y’’’ = cos 2t,
y’’’ + 4y’ = cos 2t + 4 ∙ (1/4 – 1/4 ∙ cos 2t) = cos 2t + 1 – cos 2t = 1,
как и должно быть.

Учитывая, что обычно независимая переменная обозначается через x, ответ принимает вид
y = x/4 – 1/8 ∙ sin 2x

Ответ: y = x/4 – 1/8 ∙ sin 2x .

P. S. Приведенный способ решения не является единственным. Можно, например, попытаться понизить степень заданного уравнения (по-моему, это придется делать дважды) и выполнить достаточно громоздкие выкладки. Применение метода Лагранжа тоже влечет за собой утомительные выкладки. Но зачем?.. А вообще, Вам следовало бы указать, какому семестру занятий по высшей математике соответствует задание.

С уважением.
-----
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Ответ отправлен: 03.08.2009, 10:41

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252861 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 170984:

    Здравствуйте, уважаемые эксперты!Помогите, пожалуйста, решить задачу
    Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: yIII + 4yI =1 ; y(0) = yI(0) = yII(0) = 0
    Заранее спасибо

    Отправлен: 02.08.2009, 13:01
    Вопрос задал: Ushastik1985, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса >>

    Отвечает Кучумов Евгений Владимирович, 10-й класс :
    Здравствуйте, Ushastik1985!
    Проводим непосредственное интегрирования дифура в интервале от [0,x]:
    yII(x)-yII(0)+4*y(x)-4*y(0)=x-0 -> yII(x)+4*y(x)=x. Общее решение данного дифференциального уравнения можно представить в виде суммы решений для одногродного уравнения и неоднородного уравнения для данной правой части.
    Исходя из вида начальный условий для нашего дифура (как сама функция, так и её производная в точке 0 равны нулю) можно сразу утверждать, что решение однородного уравнения тождественно равно нулю, т.е. тривиально.
    Частное решение можно угадать из вида самого уравнения: y*(x)=A*x -> (в исходное уравнение) -> 4*A*x=x -> A=1/4. Следовательно, искомое решение данного дифура, которое состоит из частного решения, будет y(x)=x/4.
    Вообще-то, данное решение можно получить, если использовать метод вариации произвольной постоянной Лагранжа. Но данный метод довольно громоздкий, несмотря на то, что существует точное решение в квадратурах для нашего дифура. Поэтому мы пошли более простым путём и просто подбрали частное решение исходя из вида уравнения, благо вид у уравнения довольно прост.
    -----
    Sapienti set

    Ответ отправил: Кучумов Евгений Владимирович, 10-й класс
    Ответ отправлен: 02.08.2009, 13:30

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252838 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает Kom906, 5-й класс :
    Здравствуйте, Ushastik1985.

    Решу тремя методами

    1 способ, операторный.

    Пусть функция y(x) является оригиналом для изображения Y(p), y(x) -> Y(p) (знак -> реально изображается как знак равно с точкой сверху и с точкой снизу)

    Тогда по теореме дифференцирования оригинала:

    y'(x) -> pY(p) - y(0) = pY(p)
    y''(x) -> p(pY(p) - y(0)) - y'(0) = p2Y(p)
    y'''(x) -> p[p(pY(p) - y(0)) - y'(0)] - y''(0) = p3Y(p)

    Также:

    1 -> 1/p

    Тогда диф. уравнение в изображениях:

    p3Y(p) + 4pY(p) = 1/p

    Тогда:

    p(p2 + 4)Y(p) = 1/p

    Y(p) = 1/[p2(p2 + 4)]

    Y(p) = 1/[p2(p2 + 4)] = (1/4)*4/[p2(p2 + 4)] = (1/4)*[4 + p2 - p2] / [p2(p2 + 4)] = 1/(4p2) - 1/(4(p2 + 4))

    Y(p) = 1/( 4p2) - 1/(4(p2 + 4)) -> (1/4)*x - (1/4)*(1/2)*sin(2x) = (x/4) - (1/8)*sin(2x) = (1/8)*(2x - sin(2x))

    Значит:

    y(x) = (1/8)*(2x - sin(2x))

    - решение диф. уравнения


    2 способ, метод вариации произвольных постоянных

    1. Находим решение соответствующего однородного диф. уравнения, то есть уравнения:

    yIII + 4yI = 0

    Характеристическое уравнение:

    k3 + 4k = 0, k(k2 + 4) = 0

    k1 = 0, k2,3 = ± 2i, где i - мнимая единица

    Тогда общее решение соответствующего однородного диф. уравнения:

    yo.o.(x) = C1 + C2cos(2x) + C3sin(2x), где С1, С2 и С3 - неизвестные константы

    2. Согласно методу вариации произвольных постоянных, пусть С1 = С1(x), С2 = С2(x) и С3 = С3(x), то ес ть неизвестные константы С1, С2 и С3 есть функции. Тогда общее решение исходного уравнения:

    y(x) = C1(x)*1 + C2(x)*cos(2x) + C3(x)*sin(2x)

    Получим систему уравнений:

    C1'(x)*1 + C2'(x)*cos(2x) + C3'(x)*sin(2x) = 0
    C1'(x)*(1)' + C2'(x)*(cos(2x))' + C3'(x)*(sin(2x))' = 0
    C1'(x)*(1)'' + C2'(x)*(cos(2x))'' + C3'(x)*(sin(2x))'' = 1

    Или:

    C1'(x)*1 + C2'(x)*cos(2x) + C3'(x)*sin(2x) = 0
    - 2*C2'(x)*sin(2x) + 2*C3'(x)*cos(2x) = 0
    - 4*C2'(x)*cos(2x) - 4*C3'(x)*sin(2x) = 1

    К первому уравнению добавляем третье, поделенные на число 4, получим:

    C1'(x) = 1/4

    Домнажаем второе уравнение на 2*sin(2x), а третье на cos(2x), получим:

    - 4*C2'(x)*sin2(2x) + 4*C3'(x)*cos(2x)*sin(2x) = 0
    - 4*C2'(x)*cos2(2x) - 4*C3'(x)*sin(2x)*cos(2x) = cos(2x)

    Складывая уравнения, получим:

    - 4*(sin2(2x) + cos2(2x))*C2'(x) = - 4*1*C2'(x) = - 4*C2'(x) = cos(2x)

    ⇒ C2'(x) = - (1/4)*cos(2x)

    Домнажаем второе уравнение на 2*cos(2x), а третье на sin(2x), получим:

    - 4*C2'(x)*cos(2x)*sin(2x) + 4*C3'(x)*cos2(2x) = 0
    - 4*C2'(x)*cos(2x)*sin(2x) - 4*C3'(x)*sin2(2x) = sin(2x)


    Вычитая уравнения, получим:

    4*(sin2(2x) + cos2(2x))*C3'(x) = 4*1*C3'(x) = 4*C3'(x) = - sin(2x)

    ⇒ C3'(x) = - (1/4)*sin(2x)

    Итак:

    C1'(x) = 1/4
    C2'(x) = - (1/4)*cos(2x)
    C3'(x) = - (1/ 4)*sin(2x)

    Интегрируя, получим:

    C1(x) = ∫(1/4)*dx = (1/4)*x + A1
    C2(x) = - ∫(1/4)*cos(2x)*dx = - (1/8)*sin(2x) + A2
    C3(x) = - ∫(1/4)*sin(2x)*dx = (1/8)*cos(2x) + A3

    где A1, A2 и A3 - неизвестные константы

    Значит, общее решение исходного уравнения:

    y(x) = C1(x)*1 + C2(x)*cos(2x) + C3(x)*sin(2x) = [(1/4)*x + A1]*1 + [- (1/8)*sin(2x) + A2]*cos(2x) + [(1/8)*cos(2x) + A3]*sin(2x) =

    = (1/4)*x + A1 - (1/8)*sin(2x)*cos(2x) + A2*cos(2x) + (1/8)*cos(2x)*sin(2x) + A3*sin(2x) = (1/4)*x + A1 + A2*cos(2x) + A3*sin(2x)

    3. Находим частное решение.

    Так как y(0) = 0, то:

    y(0) = (1/4)*0 + A1 + A2*cos(0) + A3*sin(0) = A1 + A2 = 0

    Так как y'(0) = 0, то:

    y(x) = (1/4)*x + A1 + A2*cos(2x) + A3*sin(2x)

    y'(x) = (1/4) - 2*A2*sin(2x) + 2*A3*cos(2x)

    y'(0) = (1/4) - 2*A2*sin(0) + 2*A3*cos(0) = (1/4) + 2*A3 = 0

    Так как y''(0) = 0, то:

    y'(x) = (1/4) - 2*A2*sin(2x) + 2*A3*cos(2x)

    y''(x) = - 4*A2*cos(2x) - 4*A3*sin(2x)

    y''(0) = - 4*A2*cos(0) - 4*A3*sin(0) = - 4*A2 = 0

    Получим систему уравнений:

    A1 + A2 = 0
    (1/4) + 2*A3 = 0
    - 4*A2 = 0

    Решая получим:

    A1 = 0
    A2 = 0
    A3 = - (1/8)

    Итак, решение исходной задачи:

    y(x) = (1/4)*x - (1/8)*sin(2x) = (1/8)*(2x - sin(2x))

    что полностью совпадает с решением, найденным первым способом


    3 способ, когда правая часть уравнения, представляет собой простую функцию

    1. Полностью повторяет пункт 1 предыдущего решения, то есть находим решение соответствующего однородного диф. уравнения, то есть уравнения:

    yIII + 4yI = 0

    Общее решение соответствующего однородного диф. уравнения:

    yo.o.(x) = C1 + C2cos(2x) + C3sin(2x), где С1, С2 и С3 - неизвестные константы

    2. Находим частное решение неоднородного диф. уравнения:

    Так как:

    yIII + 4yI = 1

    то пусть частное решение неоднородного диф. уравнения имеет вид:

    yч.н.(x) = A*x, где А - неизвестная константа. Тогда:

    yч.н.'(x) = A

    yч.н.''(x) = yч.н.'''(x) = 0

    ⇒ yч.н.III + 4yч.н.I = 4*A = 1

    & #8658; A = 1/4

    Значит, частное решение неоднородного диф. уравнения:

    yч.н.(x) = (1/4)*x

    Итак, общее решение исходного уравнения есть сумма общего решение соответствующего однородного диф. уравнения и частного решение неоднородного диф. уравнения:

    y(x) = yo.o.(x) + yч.н.(x) = (1/4)*x + C1 + C2cos(2x) + C3sin(2x),

    где С1, С2 и С3 - неизвестные константы

    3. Полностью повторяет пункт 3 предыдущего решения, то есть находим частное решение, то есть находим константы С1, С2 и С3

    Итак, решение исходной задачи:

    y(x) = (1/4)*x - (1/8)*sin(2x) = (1/8)*(2x - sin(2x))

    Исправлено по просьбе автора ответа.
    -----
    ∙ Отредактировал: sir Henry, Модератор
    ∙ Дата редактирования: 03.08.2009, 07:56 (время московское)

    Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
    Ответ отправлен: 02.08.2009, 22:32

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252849 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск >>
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.6 от 21.07.2009
    В избранное