Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Август 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 1329
∙ повысить рейтинг >> 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 1272
∙ повысить рейтинг >> 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 960
∙ повысить рейтинг >>

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:984
Дата выхода:09.08.2009, 18:05
Администратор рассылки:Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
Подписчиков / экспертов:227 / 135
Вопросов / ответов:2 / 3

Вопрос № 171021: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, с решинием следующих заданий: 1. Найти изображение оригинала f(t) с периодом T, заданного на интервале-периоде. Построить график f(t): f(t) равна системе: t пр...

Вопрос № 171026: Здравствуйте эксперты, помогите пожалуйста с задачкой по мат. логике: Представить сложное высказывание "Для повышения производительности труда и улучшения качества продукции персоналу фирмы необходимо пройти переподготовку и соблюдать произдс...
Вопрос № 171021:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, с решинием следующих заданий:
1. Найти изображение оригинала f(t) с периодом T, заданного на интервале-периоде. Построить график f(t):
f(t) равна системе:
t при 0 ≤ t ≤ 1
2-t при 1<t<2 ; T=2
2. Определить область сходимости ряда:
Сумма от n=1 до бесконечности nxn / (2n+1)
3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, определенную на указанном интервале формулой:
f(x) = 5x-2 при -pi < x < pi
4. Представить интегралом Фурье функцию f(t):
f(t) равна системе:
1 при 0≤ t ≤ т
0 при t < 0, t > т

Заранее большое спасибо!

Отправлен: 03.08.2009, 16:54
Вопрос задал: Ushastik1985, Посетитель
Всего ответов: 2
Страница вопроса >>

Отвечает Kom906, 5-й класс :
Здравствуйте, Ushastik1985.

1-ая Задача

1. График исходной функции:

2. Пусть f0(t) - это функция, задаваемая системой:
f0(t) = 0 при t < 0 и t > 2
f0(t) = t при 0 <= t <= 1
f0(t) = 2 - t при 1 < t <= 2

То есть функция f0(t) определяет один первый (левый) "зуб" на графике

Представим функцию f0(t) в виде суммы функций:

f0(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t)

Первая функция f1(t) = t при t >= 0
Изображение данной функции имеет вид:
f1(t) = t -> 1/p2

Вторая функция f2(t) получена сдвигом функции {g2(t) = - 2t при t >= 0} на одну единицу вправо, так как при t > 1:
f1(t) + f2(t) = f1(t) + g2(t - 1) = t - 2*(t - 1) = 2 - t
и f2(t) = 0 при t < 1
Так как изображение функции g2(t) имеет вид:
g2(t) = - 2t -> - 2/p2,
то по теореме запаздывания:
f2(t) = g2(t - 1) -> - (2/p2)*e-1*p = - (2*e-p)/p2

Третья функция f3(t) получена сдвигом функции {g3(t) = t при t >= 0} на две единицы вправо, так как при t > 2:
f1(t) + f2(t) + f2(t) = 2 - t + g3(t - 2) = 2 - t + (t - 2) = 0
и f3(t) = 0 при t < 2
Так как изображение функции g3(t) имеет вид:
g3(t) = t -> 1/p2,
то по теореме запаздывания:
f3(t) = g3(t - 2) -> (1/p2)*e-2*p = e-2p/p2

Итак изображение функции f0(t):
f0(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) -> 1/p2 - (2*e-p)/p2 + e-2p/p2 = (1 - 2*e-p + e-2p)/p2 = (1 - e-p)2/p2

3. Тогда исходная периодическая функция представима в виде:

f(t) = f0(t) + f0(t - 2) + f0(t - 4) + f0(t - 6) + f0(t - 8) + ....

так как период T = 2

По теореме запаздывания получим:

f(t) = f0(t) + f0(t - 2) + f0(t - 4) + f0(t - 6) + f0(t - 8) + .... ->

-> {(1 - e-p)2/p2} + {(1 - e-p)2/p2}*e-2p + {(1 - e-p)2/p2}*e-4p + {(1 - e-p)2/p2}*e-6p + ... =

= {(1 - e-p)2/p2}*{1 + e-2p + e-4p + e-6p + e-8p + ...} = {(1 - e-p)2/p2}*∑{n=1...∞}e(-2p)*n =

= {(1 - e-p)2/p2}*{1/(1 - e-2p)} = {1 - e-p} / {p2*(1 + e-p)}

Итак:

f(t) -> {1 - e-p} / {p2*(1 + e-p)}


2-ая Задача

1. Находим интервал сходимости ряда, используя признак Д'Аламбера

Формула общего члена ряда:

an = nxn / (2n+1)

Тогда:

an+1 = ((n+1)*xn+1) / (2(n+1)+1) = ((n+1)*xn*x) / (2n+3)

lim{n->∞} |an+1/an| = lim{n->∞} |[(n+1)*x*(2n+1)] / [n*(2n+3)]| = |x|*lim{n->∞} [(n+1)*(2n+1)] / [n*(2n+3)] =

= |x|*lim{n->∞} [(n+1)*(2n+1):n2] / [n*(2n+3):n2] = |x |*lim{n->∞} [(1 + 1/n)*(2 + 1/n)] / [1*(2 + 3/n)] =

= |x|*(1*2)/(1*2) = |x|

По признаку Д'Аламбера ряд сходитс я при lim{n->∞} |an+1/an| < 1. Значит:

|x| < 1

⇒ - 1 < x < 1
- это интервал сходимости

2. При х = 1

Ряд принимает вид:

∑{n=1...∞} n*1n / (2n+1) = ∑{n=1...∞} n / (2n+1)

Формула общего члена ряда an = n / (2n+1)

Данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости:

lim{n->∞} an = lim{n->∞} n / (2n+1) = 1/2 ≠ 0

Значит точка х = 1 не принадлежит области сходимости исходного ряда

3. При х = - 1

Ряд принимает вид:

∑{n=1...∞} n*(-1)n / (2n+1)

Также:

∑{n=1...∞} n*(-1)n / (2n+1) = ∑{n=1...∞} (-1)n*{(1/2) - (1/(4n+2))} = {∑{n=1...∞} (-1)n*(1/2)} - {∑{n=1...∞} (-1)n/(4n+2)}

Частичная сумма ряда ∑{n=1...m} (-1) n*(1/2) равна либо (-1/2), либо (1/2), либо 0
Следовательно суммы ряда ∑{n=1...∞} (-1)n*(1/2) не существует

А знакочередующийся ряд {∑{n=1...∞} (-1)n/(4n+2)} сходится в соответствии с признаком Лейбница, так как для него:

|an| < |an+1|

lim{n->∞} |an| = lim{n->∞} 1/(4n+2) = 0

Значит сумма ряда {∑{n=1...∞} (-1)n/(4n+2)} - конечное число

Поэтому сумма

∑{n=1...∞} n*(-1)n / (2n+1) ={∑{n=1...∞} (-1)n*(1/2)} - {∑{n=1...∞} (-1)n/(4n+2)}

не существует, не является конечным числом

Тогда ряд ∑{n=1...∞} n*(-1)n / (2n+1) расходится

Значит точка х = - 1 не принадлежит области сходимости исходного ряда

4. Итак исходный ряд сходится абсолютно при - 1 < x < 1, это и есть область сходимости

3-ья Задача

Ряд Фурье имеет вид:

(a0/2) + ∑{n=1...∞} (an*cos(n*x) + bn*sin(n*x))

1. Вычисляем an

an = (1/pi)*∫-pi+pi f(x)*cos(nx)*dx = (1/pi)*∫-pi+pi (5x - 2)*cos(nx)*dx =

= / u=5x-2 , du=5*dx , dv=cos(nx)*dx , v=∫cos(nx)*dx=(1/n)*sin(nx) / =

= (1/pi)*(5x - 2)*(1/n)*sin(nx) |-pi+pi - (1/pi)*∫-pi+pi 5*(1/n)*sin(nx)*dx =

= (1/pi)*(5*pi - 2)*(1/n)*sin(pi*n) - (1/pi)*(- 5*pi - 2)*(1/n)*sin(- pi*n) - (1/pi)*5*(1/n)*(1/n)*(-1)*cos(nx) |-pi+pi =

= (1/pi)*5*(1/n2)*cos(nx) |-pi+pi = (1/pi)*5*(1/n2)*cos(pi*n) - (1/pi)*5*(1/n2)*cos(- pi*n) =

= (1/pi)*5*(1/n2)*cos(pi*n) - (1/pi)*5*(1/n2)*cos(pi*n) = 0

2. Вычисляем bn< br>
bn = (1/pi)*∫-pi+pi f(x)*sin(nx)*dx = (1/pi)*∫-pi+pi (5x - 2)*sin(nx)*dx =

= / u=5x-2 , du=5*dx , dv=sin(nx)*dx , v=∫sin(nx)*dx=(-1/n)*cos(nx) / =

= (1/pi)*(5x - 2)*(-1/n)*cos(nx) |-pi+pi - (1/pi)*∫-pi+pi 5*(-1/n)*cos(nx)*dx =

= - (1/pi)*(5*pi - 2)*(1/n)*cos(pi*n) + (1/pi)*(- 5*pi - 2)*(1/n)*cos(- pi*n) + (1/pi)*5*(1/n)*(1/n)*sin(nx) |-pi+pi =

= - (1/pi)*(5*pi - 2)*(1/n)*cos(pi*n) + (1/pi)*(- 5*pi - 2)*(1/n)*cos(pi*n) + (1/pi)*5*(1/n)*(1/n)*sin(pi*n) - (1/pi)*5*(1/n)*(1/n)*sin(- pi*n) =

= - (1/pi)*(1/n)*(5*pi - 2 + 5*pi + 2)*cos(pi*n) = - (1/pi)*(1/n)*10*pi*(-1)n = - (10*(-1)n)/n

3. Итак ряд Фурье имеет вид:

f(x) = (a0/2) + ∑{n=1...∞} (an*cos(n*x) + bn*sin(n*x)) = - ∑{n=1...∞} {(10*(-1)n)/ n}*sin(n*x)


4-ая Задача

Интеграл Фурье имеет вид:

(1/pi)*∫0∞da∫-∞+∞ f(x)*cos(a*(x - t ))*dt

1. Вычисляем внутренний интеграл

∫-∞+∞ f(x)*cos(a*(x - t))*dt = ∫0т 1*cos(a*(x - t))*dt =

= - (1/a)*sin(a*(x - t)) |0т = - (1/a)*sin(a*x) + (1/a)*sin(a*(x - т)) = [sin(a*(x - т)) - sin(a*x)] / a =

= 2*cos[(a*x - a*т + a*x)/2]*sin[(a*x - a*т - a*x)/2] / a = - 2*cos[(2*a*x - a*т)/2]*sin[a*т/2] / a

2. Тогда:

f(x) = (1/pi)*∫0∞da∫-∞+∞ f(x)*cos(a*(x - t ))*dt =

= - (2/pi)*∫0∞ {cos[(2*a*x - a*т)/2]*sin[a*т/2] / a}*da

Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Ответ отправлен: 03.08.2009, 22:46

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252899 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает Lang21, Профессионал :
    Здравствуйте, Ushastik1985.

    Решение 1-ой задачи, более короткое.
    (график исходной функции F(t) см. предыдущий ответ).

    Определим функцию φ(t) следующим образом:
    φ(t) = 0 при t <= 0,
    φ(t) = t при t > 0.

    Тогда "первый зуб" f0(t) функции F(t) можно представить так:
    f0(t) = φ(t) - 2φ(t-1) + φ(t-2),
    а его изображение легко вычисляется по теореме запаздывания:
    f0(p) = 1/p2 - 2e-p/p2 + e-2p/p2 = (1 - e-p)2/p2.

    Если F(t) сдвинуть вправо по оси x на 2 и добавть "первый зуб", мы снова получилм F(t):
    F(t) = f0(t) + F(t-2).

    Применяя преобразование Лапласа к обеим частям, с учетом теоремы запаздывания получим:
    F(p) = f0(p) + e-2pF(p),
    откуда
    F(p) = f0(p)/(1 - e-2p) = f0(p)/((1-e -p)(1+e-p)) =
    = (1 - e-p)/((p2(1 + e-p))).

    Умножив числитель и знаменатель на ep/2, ответ можно представить в виде:
    F(p) = th(p/2)/p2.

    Ответ отправил: Lang21, Профессионал
    Ответ отправлен: 08.08.2009, 12:07

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 253049 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 171026:

    Здравствуйте эксперты, помогите пожалуйста с задачкой по мат. логике:
    Представить сложное высказывание "Для повышения производительности труда и улучшения качества продукции персоналу фирмы необходимо пройти переподготовку и соблюдать произдсвенную дисциплину" в виде логической формулы

    Отправлен: 03.08.2009, 20:39
    Вопрос задал: Tribak, Студент
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса >>

    Отвечает _Ayl_, Студент :
    Здравствуйте, Tribak.

    Обозначим:
    "Повышение производительности труда" - A
    "Улучшение качества продукции" - B
    "Персонал прошел переподготовку" - C
    "Персонал соблюдает производственную дисциплину" - D

    Также заметим, что выражение "для X необходимо Y" в виде логической формулы записывается так: Y <= X

    Тогда исходное выражение можно записать в следующем виде:
    (A ∧ B) <= (C ∧ D)

    Ответ отправил: _Ayl_, Студент
    Ответ отправлен: 03.08.2009, 19:34

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252890 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск >>
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.6 от 21.07.2009
    В избранное