Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Август 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 1512
∙ повысить рейтинг » 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 1298
∙ повысить рейтинг » 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 1048
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:986
Дата выхода:16.08.2009, 23:35
Администратор рассылки:Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
Подписчиков / экспертов:227 / 135
Вопросов / ответов:1 / 2

Вопрос № 171246: Здравствуйте уважаемые эксперты . Обьясните , пожалуйста , как решаются такие уравнения . Заранее благодарен . С уважением . Y"-(A/(x^2))*Y'-B*Y=0...

Вопрос № 171246:

Здравствуйте уважаемые эксперты . Обьясните , пожалуйста , как решаются такие уравнения . Заранее благодарен . С уважением .
Y"-(A/(x^2))*Y'-B*Y=0

Отправлен: 11.08.2009, 22:12
Вопрос задал: Айболит, Практикант
Всего ответов: 2
Страница вопроса »

Отвечает Kom906, 5-й класс :
Здравствуйте, Айболит.

Могу предложить одно решение, правда, оно не полное, и не общее
Это разложение в степенной ряд

1.Предположим, что искомая функция удовлетворяет начальному условию у(0) = 0, или любому другому числу, но главное, что при х = 0 функция непрерывна
Тогда функцию можно представить рядом:

y(x) = ∑{n=0...∞} Cn*xn

***Если начальное условие имеет вид у(а) = b, где а ≠ 0, то про непрерывность функции в точке х = 0 одназначно сказать нельзя, и тогда решение надо искать в виде:

y(x) = ∑{m=1...+∞} (C-m/xm) + ∑{n=0...+∞} (Cn*xn)

То есть в этом случае, надо учесть отрицательные степени, и, самое главное, способ разложения в ряд совсем не подходит в этом случае

2. Так как:

y(x) = ∑{n=0...∞} Cn*xn, то

y'(x) = ∑{n=0...∞} n*Cn*xn- 1 = ∑{n=1...∞} n*Cn*xn-1

y''(x) = ∑{n=1...∞} n*(n-1)*Cn*xn-2 = ∑{n=2...∞} n*(n-1)*Cn*xn-2

⇒ y'' - (A/x2)*y' - B*y =

= {∑{n=2...∞} n*(n-1)*Cn*xn-2} - (A/x2)*{∑{n=1...∞} n*Cn*xn-1} - B*{∑{n=0...∞} Cn*xn} =

= {∑{n=2...∞} n*(n-1)*Cn*xn-2} - {∑{n=1...∞} A*n*Cn*xn-3} - {∑{n=0...∞} B*Cn*xn} =

= (2*1*1) + {∑{n=3...∞} n*(n-1)*Cn*xn-2} -

- (A*1*C1*x-2) - (A*2*C2*x-1) - (A*3*C3*1) - {∑{n=4...∞} A*n*Cn*xn-3} -

- (B*C0) - {∑{n=1...∞} B*Cn*xn} =

= 2 - (A*C1/x2) - (2*A*C2/x) - (3*A*C3) - (B*C0) +

+ {∑{n=3...∞} n*(n-1)*Cn*xn-2} - {∑{n=4...∞} A*n*Cn*xn-3} - {∑{n=1...∞} B*Cn*xn} =

= / для первого ряда вводим новый счетчик m=n-2, n=m+2; для второго ряда m=n-3, n=m+3; для третьего ряда m=n / =

= {2 - 3*A*C3 - B*C0} - (A*C1/x2) - (2*A*C2/x) +

+ {∑{m=1...∞} (m+2)*(m+2-1)*Cm+2*xm} - {∑{m=1...∞} A*(m+3)*Cm+3*xm} - {∑{m=1...∞} B*Cm*xm} =

= {2 - 3*A*C3 - B*C0} - (A*C1/x2) - (2*A*C2/x) + {∑{m=1...∞} [(m+1)*(m+2)*Cm+2 - A*(m+3)*Cm+3 - B*Cm]*xm}
Сравнивая левую и правую части уравнения, получим систему уравнений:

{2 - 3*A*C3 - B*C0 = 0
{A*C1 = 0
{2*A*C2 = 0
{(m+1)*(m+2)*Cm+2 - A*(m+3)*Cm+3 - B*Cm = 0, при m>1

Из второго и третьего уравнения: C1 = C2 = 0 (А ≠ 0, иначе получили бы простое уравнение, для которого разложения в ряд не нужно)

Так как C1 = ∑{n=1...∞} n*Cn*0n-1 = y'(0), то получим еще одно ограничение на применение метода разложения в ряд, а именно условие
y'(0) = 0

Из первого уравнения:

C3 = (2 - B*C0)/(3*А)

Коэффициент C0 легко находится из начального условия:

y(0) = ∑{n=0...∞} Cn*0n = C0

Из четвертого уравнения получим реккурентную формулу:

Cm+3 = ((m+1)*(m+2)*Cm+2 - B *Cm) / (A*(m+3))

3. Вот далее начинаются проблемы, нужно явным образом задать коэффициенты Cm

У меня, даже при условии у(0) = 0, общей формулы получить не удалось. Возможно было бы проще при явном задании чисел А и В
По общей формуле можно было бы сказать об области сходимости ряда

Как видите, решение не общее и справедлтво только при выполнении условий y(0)=a, y'(0)=0

Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Ответ отправлен: 13.08.2009, 00:20

Оценка ответа: 4
Комментарий к оценке:
спасибо

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 253153 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
    Здравствуйте, Айболит.

    Данное уравнение, как я понимаю, можно рассматривать как уравнение с переменными коэффициентами. Переменным является коэффициент -A/x2. Насколько мне известно, для получения общего решения дифференциального уравнения второго порядка сначала путем подбора находят какое-нибудь его частное решение, а затем с помощью формулы Лиувилля – Остроградского получают общее решение. Вся проблема в том, что весьма затруднительно сделать первый шаг.

    Данное уравнение является однородным относительно y, y’, y” (хотя и не в обобщенном смысле) и допускает понижение порядка путем замены y’ = yz. К сожалению, уравнение, получающееся после понижения порядка, однородным не является и не приводится ни к одному из типов уравнений, изучаемых в стандартном курсе высшей математики.

    Степенная функция не является решением заданного уравнения. В этом можно убедиться непосредственной подстановкой.

    Рассмотрим теперь, например, подстановку x = et. Тогда x’t = et, x”tt = et, y't = y’x ∙ x’t, y’x = y't/x’t = e-ty't,
    y”tt = y”xx ∙ (x’t)2 + y’x ∙ x”tt, y”xx = (y”tt – y’x ∙ x”tt)/(x’t)2 = (y”tt + y't)e-2t, и заданное уравнение принимает следующий вид:
    (y”tt + y't)e-2t – Ae-3ty't – By = 0.
    И это уравнение решить проблематично.

    Поэтому предполагаю, что заданное Вами уравнение неразрешимо в квадратурах.

    С уважением.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
    Ответ отправлен: 13.08.2009, 23:08

    Оценка ответа: 5
    Комментарий к оценке:
    Большое спасибо за проффесиональную консультацию .

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 253209 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.7 от 15.08.2009
    В избранное