Консультация # 189290: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, вписанный в прямой круговой конус, радиус основания которого равен r, а высота – H. ...
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, вписанный в прямой круговой конус, радиус основания которого равен r, а высота – H.
Введём декартову прямоугольную систему координат, поместив её центр в точке пересечения диагоналей нижнего основания прямоугольного параллелепипеда, ось абсцисс направим параллельно одной из сторон этого основания. В этой системе координат вершина параллелепипеда, расположенная в первом октанте координатного пространства, имеет координаты а объём параллелепипеда выражается формулой
Интуиция, основанная на "соображениях симметрии", подсказывает, что в основании параллелепипеда должен быть квадрат. Чтобы убедиться в этом, перейдём к сферическим координатам по формулам и преобразуем формулу (1):
Имеем учитывая, что в нашем случае из необходимого условия экстремума функции двух переменных (в нашем случае это и ) получим
В этом случае (то есть интуитивные соображения оказались верными).
Чтобы не быть вынужденными решать тригонометрические уравнения и выполнять
громоздкие вычисления, вернёмся обратно к прямоугольной системе координат. Рассматривая сечение конуса плоскостью, проходящей через указанную выше вершину и ось конуса, найдём, что
или, с учётом формулы (1),
Нули производной функции (2) по переменной совпадают с нулями производной функции Най
дём их:
первый нуль производной соответствует минимуму функции а второй нуль её максимуму, что очевидно из "геометрических соображений". В этом можно убедиться и формально, определив знак второй производной при
найденных значениях Значит, максимальному объёму параллелепипеда соответствуют значения
а искомый объём равен
или
объёма конуса
Вам предстоит проверить выкладки во избежание ошибок.
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались.
Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора -
для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение.
Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал,
который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом.
Заходите - у нас интересно!