Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Июнь 2013   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Асмик Гаряка
Статус: Советник
Рейтинг: 10872
∙ повысить рейтинг » 		Орловский Дмитрий
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 7290
∙ повысить рейтинг » 		Киселев Виталий Сергеевич
Статус: Академик
Рейтинг: 5680
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1790
Дата выхода:03.06.2013, 18:30
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:51 / 87
Вопросов / ответов:6 / 7

Консультация # 187401: Уважаемые эксперты! Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка. ...

Консультация # 187402: Уважаемые эксперты! Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка. ...
Консультация # 187403: Уважаемые эксперты! Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка. ...
Консультация # 187404: Уважаемые эксперты! Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка. ...
Консультация # 187405: Уважаемые эксперты! Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка. ...
Консультация # 187406: Уважаемые эксперты! Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка. ...

Консультация # 187401:

Уважаемые эксперты!
Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка.



Дата отправки: 31.05.2013, 17:08
Вопрос задал: Евгений Капустин (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Кириллова Анна Витальевна (5-й класс):

Здравствуйте, Евгений Капустин!
y^''-9y^'+20y=x^2 e^4x
Искомое решение имеет вид:
y(x)=y ̅(x)+y^* (x)
Составим характеристическое уравнение:
k^2-9k+20=0
Его корни равны:
k_1=4 и k_2=5
Следовательно, общее решение имеет вид:
y ̅(x)=C_1 e^4x+C_2 e^5x
y^* (x) выберем в виде:
y^*=Axe^4x+Bx^2 e^4x+Cx^3 e^4x
Находим производные:
y^' (x)=Ae^4x+4Axe^4x+4Bx^2 e^4x+2Bxe^4x+3Cx^2 e^4x+4Cx^3 e^4x
y^'' (x)=8Ae^4x+16Axe^4x+2Be^4x+16Bx^2 e^4x+16Bxe^4x+16Cx^3 e^4x+24Cx^2 e^4x+6Cxe^4x
И подставляем в левую часть уравнения:
8Ae^4x+16Axe^4x+2Be^4x+16Bx^2 e^4x+16Bxe^4x+16Cx^3 e^4x+24Cx^2 e^4x+6Cxe^4x-9(Ae^4x+4Axe^4x+4Bx^2 e^4x+2Bxe^4x+3Cx^2 e^4x+4Cx^3 e^4x )+20(Axe^4x+Bx^2 e^4x+Cx^3 e^4x )=x^2 e^4x
e^4x (-A+2B)+(-2B+6C) e^4x x-3Cx^2 e^4x=x^2 e^4x
{█(-A+2B=0@-2B+6C=0@-3C=1)┤
{█(A=-2@B=-1@C=-1/3)┤
y^*=-2xe^4x-x^2 e^4x-1/3 x^3 e^4x
Следовательно, общее решение неоднородн ого уравнения:
y(x)=C_1 e^4x+C_2 e^5x-2xe^4x-x^2 e^4x-1/3 x^3 e^4x

Консультировал: Кириллова Анна Витальевна (5-й класс)
Дата отправки: 31.05.2013, 17:27
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 187402:

Уважаемые эксперты!
Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка.

Дата отправки: 31.05.2013, 17:10
Вопрос задал: Евгений Капустин (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Кириллова Анна Витальевна (5-й класс):

Здравствуйте, Евгений Капустин!
y^''-2y^'=e^x (x^2+2x+1)
Искомое решение имеет вид:
y(x)=y ̅(x)+y^* (x)
Составим характеристическое уравнение:
k^2-2k=0
Его корни равны:
k_1=0 и k_2=2
Следовательно, общее решение имеет вид:
y ̅(x)=C_1+C_2 e^2x
y^* (x) выберем в виде:
y^*=Ae^x+Bxe^x+Cx^2 e^x
Находим производные:
y^' (x)=AAe^x+Be^x+Bxe^x+Cx^2 e^x+2Cxe^x
y^'' (x)=Ae^x+B(2e^x+xe^x )+C(2e^x+x^2 e^x+4xe^x )
И подставляем в левую часть уравнения:
Ae^x+B(2e^x+xe^x )+C(2e^x+x^2 e^x+4xe^x )-2(AAe^x+Be^x+Bxe^x+Cx^2 e^x+2Cxe^x )=e^x (x^2+2x+1)
e^x (-A+2C)-Bxe^x-Cx^2 e^x=e^x+2xe^x+x^2 e^x
{█(-A+2C=1@-B=2@-C=1)┤
{█(A=-3@B=-2@C=-1)┤
y^*=-3e^x-2xe^x-x^2 e^x
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
y(x)=C_1+C_2 e^2x-3e^x-2xe^x-x^2 e^x

Консультировал: Кириллова Анна Витальевна (5-й класс)
Дата отправки: 31.05.2013, 17:35
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 187403:

Уважаемые эксперты!
Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка.

Дата отправки: 31.05.2013, 17:11
Вопрос задал: Евгений Капустин (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Кириллова Анна Витальевна (5-й класс):

Здравствуйте, Евгений Капустин!
y^''-4y^'+3y=sin⁡(x)+e^x
Искомое решение имеет вид:
y(x)=y ̅(x)+y^* (x)
Составим характеристическое уравнение:
k^2-4k+3=0
Его корни равны:
k_1=1 и k_2=3
Следовательно, общее решение имеет вид:
y ̅(x)=C_1 e^x+C_2 e^3x
y^* (x) выберем в виде:
y^*=Axe^x+B cos⁡(x)+C sin⁡(x)
Находим производные:
y^' (x)=Axe^x+Ae^x-B sin⁡(x)+C cos⁡(x)
y^'' (x)=Axe^x+Ae^x+Ae^x-B cos⁡(x)-C sin⁡(x)
И подставляем в левую часть уравнения:
Axe^x+Ae^x+Ae^x-B cos⁡(x)-C sin⁡(x) -4(Axe^x+Ae^x-B sin⁡(x)+C cos⁡(x) )+3(Axe^x+Ae^x-B sin⁡(x)+C cos⁡(x) )=sin⁡(x)+e^x
-2Ae^x+cos⁡(x) (2B-4C)+sin⁡(x) (4B+2C)=e^x+sin⁡x
{█(-2A=1@2B-4C=0@4B+2C=1)┤
{█(A=-1/2@B=1/5@C=1/10)┤
y^*=-1/2 xe^x+1/5 cos⁡(x)+1/10 sin⁡(x)
Следовательно, общее решение неодноро дного уравнения:
y(x)=C_1 e^x+C_2 e^3x-1/2 xe^x+1/5 cos⁡(x)+1/10 sin⁡(x)

Консультировал: Кириллова Анна Витальевна (5-й класс)
Дата отправки: 31.05.2013, 17:42
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 187404:

Уважаемые эксперты!
Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка.

Дата отправки: 31.05.2013, 17:11
Вопрос задал: Евгений Капустин (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, Евгений Капустин!
1) Решаем сначала однородное уравнение. Составляем характеристическое уравнение
λ1+1=0
Оно имеет комплексные корни λ=±i, следовательно общее решение
y=C1sin x+C2cos x
2) Применяем метод вариации, т.е. решение неоднородного уравнения ищем в виде
y=C1(x)sin x+C2(x)cos x
Согласно методу вариации составляем систему
C'1sin x+C'2cos x=0
C'1cos x-C'2sin x=1/√(cos2x)
Решая систему, находим
C'1(x)=cos x/√(cos2x)
C'2(x)=-sin x/√(cos2x)
Интгерируя, получаем
C1(x)=∫d(sin x)/√(1-2sin2x)=(1/√2)arcsin(√2sin x)+C1
C2(x)=∫d(cos x)/√(2cos2x-1)=(1/√2)ln(cos x+√(cos2x-1/2))+C2

Ответ:
y=C1sin x+C 2cos x+(sin x/√2)arcsin(√2sin x)+(cos x/√2)ln(cos x+√(cos2x-1/2))

Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 31.05.2013, 19:14
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 187405:

Уважаемые эксперты!
Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка.

Дата отправки: 31.05.2013, 17:12
Вопрос задал: Евгений Капустин (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, Евгений Капустин!
1) Решаем однородное уравнение. Составляем характеристическое уравнение
λ-2λ+1=0
Оно имеет двукратный корень λ=1, поэтому общее решение однородного уравнения
y=C1ex+C2xex
2) Неоднородное уравнение решаем методом вариации, полагая
y=C1(x)ex+C2(x)xex
Согласно методу вариации составляем систему
C'1ex+C'2xex=0
C'1ex+C'2(x+1)ex=ex/x2
Решая систему, находим
C'1=-1/x
C'2=1/x2
После интегрирования имеем
C1(x)=-ln|x|+const1
C2(x)=-1/x+const2
Таким образом
y=-exln|x|-ex+const1ex+const2xex
Полагая
const1-1= С1
const2=С2
можно записать ответ в виде
y=C1ex+C2xex-exln|x|

Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 31.05.2013, 18:30
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 187406:

Уважаемые эксперты!
Прошу решить дифференциальное уравнение второго порядка.

Дата отправки: 31.05.2013, 17:13
Вопрос задал: Евгений Капустин (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Роман Селиверстов (Советник):

Здравствуйте, Евгений Капустин!
Замена: y'=p(y); y''=pp'.
ypp'+p^2=0 -> yp dp/dy+p^2=0-> ypdp+p^2dy=0 -> dp/p+dy/y=0
После интегрирования:
lnp+lny=lnC1 -> ln(py)=lnC1 -> py=C1 -> p=C1/y
y'=C1/y -> dy/dx=C1/y -> ydy=C1dx
После интегрирования:
(y^2)/2=C1x+C2 -> y^2 = 2C1x+2C2=c1x+c2

Консультировал: Роман Селиверстов (Советник)
Дата отправки: 31.05.2013, 19:28
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, Евгений Капустин!
Разделив уравнение на yy', получим
y''/y'+y'/y=0
(ln|y'|+ln|y|)'=0
ln|y'y|=const
y'y=const
(при const=0 восстанавливаются решения, потерянные при делении)
2y'y=C1
(y2)'=C1
y2=C1x+C2
Ответ:
y=±(C1x+C2±)1/2

Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 31.05.2013, 19:32
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!

© 2001-2012, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
Хостинг: Компания "Московский хостер"
Версия системы: 2011.6.36 от 26.01.2012
В избранное