Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Май 2013   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты по данной тематике

Асмик Гаряка
Статус: Советник
Рейтинг: 10892
∙ повысить рейтинг » 		Орловский Дмитрий
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 7125
∙ повысить рейтинг » 		Киселев Виталий Сергеевич
Статус: Академик
Рейтинг: 5672
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1781
Дата выхода:24.05.2013, 12:00
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:51 / 89
Вопросов / ответов:1 / 2

Консультация # 187348: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Прошу о помощи в решении Уравнения математической физики. Найти решение u=u(x,t) начально-краевой задачи для гиперболического уравнения в виде обобщенного ряда Фурье. ...

Консультация # 187348:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Прошу о помощи в решении Уравнения математической физики.
Найти решение u=u(x,t) начально-краевой задачи для гиперболического уравнения в виде обобщенного ряда Фурье.

Дата отправки: 16.05.2013, 02:14
Вопрос задал: Пучнин Алексей Александрович (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует асяня (Профессор):

Здравствуйте, Пучнин Алексей Александрович!
(1)
(2)
(3)

Решаем методом разделения переменных.
u(x,t)=X(x)T(t). (4)
Подставляя (4) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим:

Отсюда приходим к выводу, что функции X(x) и T(t) удовлетворяют, сооответственно, обыкновенным дифференциальным уравнениям:
X''+λ2X=0, (5)
T''+36λ2T=0. (6)
Подставляя (4) в граничные условия (2), получим:
X(0)=0, X'(3)=0. (7)
Решая задачу Штурма-Лиувилля (5), (7), находим:
X(x)=Acosλx+Bsinλx.
X(0)=0 ⇒ A=0.
X'(3)=0 ⇒ Bλcos3λ=0 ⇒
Итак, собственные значения задачи Штурма-Лиувилля: ,
собственные функции (с точностью до множителя).
Уравнение (6) имеет общее решение .
Подставляя , получим:
.
Решением линейного однородного уравнения (1) будет функция, представляющая собой сумму частных решений uk(x,t)=Xk(x)Tk(t),
и определяемая рядом

Найдем константы C1k и C2k из начальных условий (3):
(8)

(9)
Система собственных функций {sin((2k+1)pi x/6)} ортогональна на интервале (0,3), причем квадрат нормы собственной функции

Рассматривая в равенстве (8) C1k как коэффициенты разложения функции f(x)=3-x в ряд Фурье на интервале (0,3), находим:



Из (9) находим
Таким образом, искомое решение смешанной задачи есть


Консультировал: асяня (Профессор)
Дата отправки: 17.05.2013, 19:57
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультирует Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, Пучнин Алексей Александрович!
Второй вопрс
Находим собственные функции и собственные значенимя однородного уравнения
ut=9uxx
Полагаем u=T(t)X(x), получаем
T'X=9TX''
T'/9T=X''/X=λ ⇒ T'=9λT; X''=λX
Условия u(0,t)=u(3,t)=0 дают X(0)=X(3)=0
Получаем задачу Штурма-Лиувилля
X''=λX, X(0)=0, X(3)=0
Ее решение λn=-(pi*n/3)2, Xn=sin(n*pi*x/3)

Далее решение исходной задачи ищем в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
u(x,t)=∑n=1∞Tn(t)Xn(x)
Подставляя в уравнение, получаем
∑n=1∞T'nXn=9∑n=1∞λnTnXn+∑n=1∞fnXn
где fn - коэффициенты Фурье функции f(x,t)=x(1-e-3t)
Это дает нам дифференциальное уравнение T'n=9λn+fn
Из начального условия u(x,0)=0 получаем, что Tn(0)=0
Таким образом, функция Tn является решением задачи Коши
T'n=9λnTn+fn
Tn(0)=0
По формулам из курса обыкновенных дифференциальных уравнений находим, что
Tn(t)=∫0tfn(ξ)exp[9λn(t-ξ)]dξ

Вычисляем
fn(t)=(2/3)∫03x(1-e-3t)sin(n*pi*x/3)dx=(2/3)(1-e-3t)[-(3x/pi*n)cos(n*pi*x/3)+(9/pi2n2)sin(n*pi*x/3)]03=6(-1)n+1(1-e-3t)/(pi*n)
Следовательно,
Tn(t)=6(-1)n+1/(pi*n)∫0t(1-e-3ξ)e-(pi^2n^2(t-& #958;))dξ=6(-1)n+1/(pi*n)e(-pi^2n^2)t[(e(pi^2n^2)t-1)/(pi^2n^2)-((e(pi^2n^2-3)t-1)/(pi^2n^2-3))]
Решение задачи
u(x,t)=∑n=1∞Tn(t)sin(n*pi*x/3)

Консультировал: Орловский Дмитрий (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 18.05.2013, 13:39
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка  |  восстановить логин/пароль

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!

© 2001-2012, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
Хостинг: Компания "Московский хостер"
Версия системы: 2011.6.36 от 26.01.2012
В избранное