Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Август 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RusFAQ.ru: Математика


Новое направление Портала RusFAQ.ru:
MosHoster.ru - Профессиональный хостинг

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RUSFAQ.RU

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 682
от 29.08.2008, 11:35

Администратор:Tigran K. Kalaidjian
В рассылке:Подписчиков: 142, Экспертов: 19
В номере:Вопросов: 1, Ответов: 1
Нам важно Ваше мнение об этой рассылке.
Оценить этот выпуск рассылки >>

Вопрос № 142085: Помогите решить 2 задачи,пожалуйста, вот условия: 1.числа а,в,с таковы что а^2+в^2+с^2=2. Какое наибольшее значение может принимать выражение 2а+в-с. 2.доказать неравенство авс>=(а+в-с)*(в+с-а)*(с+а-с)....

Вопрос № 142.085
Помогите решить 2 задачи,пожалуйста, вот условия:
1.числа а,в,с таковы что а^2+в^2+с^2=2. Какое наибольшее значение может принимать выражение 2а+в-с.

2.доказать неравенство авс>=(а+в-с)*(в+с-а)*(с+а-с).
Отправлен: 24.08.2008, 11:07
Вопрос задал: Recount (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Lang21
Здравствуйте, Recount!

Решение задачи 1.
Пусть a, b, c - оси декартовых координат.
Тогда а^2+b^2+с^2=2 - уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом sqrt(2) (sqrt - корень квадратный); 2a+b-c=D - уравнение плоскости.
Вектор (2, 1, -1), составленный из коэффициентов в уравнении плоскости, как известно, перпендикулярен ей.
Величина D (с точностью до знака) была бы равна расстоянию плоскости до начала координат, если бы этот вектор был единичной длины. Поэтому, разделив обе части уравнения на модуль вектора (2, 1 -1), равный sqrt(2^2+1^2+(-1)^2) = sqrt(6), получим в правой части расстояние плоскости до начала координат:
d = |D/sqrt(6)|.
Очевидно, D максимально, когда это расстояние равно радиусу сферы, и D положительно:
D/sqrt(6) = sqrt(2), откуда находим
D = sqrt(2)*sqrt(6) = 2*sqrt(3).

Замечание. Задачу можно также решить другим способом, воспользовавшись методом неопределённых множителей Лагранжа.

Решение задачи 2.
Докажем неравенство
аbс>=(а+b-с)*(b+с-а)*(a+c-b) (1)
при условиях
a>=0, b>=0, c>=0. (2)
(При a<0, b<0 и c<0 оно, вообще говоря, не выполняется .)

Обозначим
x=a+b-c; y=a+c-b; z=b+c-a. (3)
Отсюда легко найти:
a=(x+y)/2; b = (x+z)/2; c = (y+z)/2.
В этих обозначениях неравенство (1) перепишется в виде:
(x+y)*(x+z)*(y+z) >= 8xyz, (4)
и условия (2) для переменных будут такими:
x+y>=0; x+z>=0; y+z>=0. (5)

Чтобы доказать (4), раскроем скобки в левой части и перегруппируем члены:
x*(y^2+z^2) + y*(x^2+z^2) + z*(x^2+y^2) + 2xyz >= 8xyz,
x*(y^2-2yz+z^2) + y*(x^2-2xz+z^2) + z*(x^2-2xy+y^2) >= 0, или
x*(y-z)^2 + y*(x-z)^2 + z*(x-y)^2 >= 0.
В результате эквивалентных преобразований мы получили неравенство,
которое выполняется при условиях:
x>=0, y>=0, z>=0. (6)
Следовательно, и (4) выполняется при этих условиях.
Докажем, что (4) выполняется также при условиях (5).
Действительно, если выполняются условия (5), то условия (6) не обязательно выполнены,
но может нарушаться не более одного из неравенств (6). Однако в таком случае правая часть неравенства (4) будет отрицательна, а левая - положительна, что гарантирует его справедливость.
Таким образом, (4) выполняется при условиях (5). Замена переменных согласно (3)
даёт неравенство (1) и условия (2), что и требовалось.
Ответ отправил: Lang21 (статус: Студент)
Ответ отправлен: 25.08.2008, 18:53

Вы имеете возможность оценить этот выпуск рассылки.
Нам очень важно Ваше мнение!
Оценить этот выпуск рассылки >>

Отправить вопрос экспертам этой рассылки

Приложение (если необходимо):

* Код программы, выдержки из закона и т.п. дополнение к вопросу.
Эта информация будет отображена в аналогичном окне как есть.

Обратите внимание!
Вопрос будет отправлен всем экспертам данной рассылки!
Для того, чтобы отправить вопрос выбранным экспертам этой рассылки или
экспертам другой рассылки портала RusFAQ.ru, зайдите непосредственно на RusFAQ.ru.


Форма НЕ работает в почтовых программах The BAT! и MS Outlook (кроме версии 2003+)!
Чтобы отправить вопрос, откройте это письмо в браузере или зайдите на сайт RusFAQ.ru.

© 2001-2008, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва.
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31
Хостинг: "Московский хостер"
Поддержка: "Московский дизайнер"
Авторские права | Реклама на портале

∙ Версия системы: 5.1 beta(win) от 11.08.2008

Яндекс Rambler's Top100
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru
Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru
В избранное