Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Август 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RusFAQ.ru: Математика


Новое направление Портала RusFAQ.ru:
MosHoster.ru - Профессиональный хостинг

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RUSFAQ.RU

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 675
от 13.08.2008, 01:35

Администратор:Tigran K. Kalaidjian
В рассылке:Подписчиков: 149, Экспертов: 15
В номере:Вопросов: 2, Ответов: 3
Нам важно Ваше мнение об этой рассылке.
Оценить этот выпуск рассылки >>

Вопрос № 141090: Здравствуйте! Помогите решить три диф.ур.'а: 1) y-x*y'=a*(1+(x^2)*y') 2) x*y'-y=x*tg(y/x) 3) y'+2*x*y=e^(-x^2) Еще прошу дать ссылку на какие-нибудь источники, по которым можно научиться решать дифуры, но без обильн...
Вопрос № 141313: Здравствуйте, меня зовут Даша. Я много слышала о делении на ноль, но хотелось бы получить наибольшее кол-во информации, если это возможно. Спасибо....

Вопрос № 141.090
Здравствуйте!
Помогите решить три диф.ур.'а:
1) y-x*y'=a*(1+(x^2)*y')
2) x*y'-y=x*tg(y/x)
3) y'+2*x*y=e^(-x^2)
Еще прошу дать ссылку на какие-нибудь источники, по которым можно научиться решать дифуры, но без обильной теории. Теорию буду изучать позже, есть источники, сейчас просто пришлось столкнуться с практикой:)
Отправлен: 31.07.2008, 10:18
Вопрос задал: Troyan (статус: Студент)
Всего ответов: 1
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Troyan!

Решение.

1) Преобразуем данное уравнение:
y - x∙y’ = a∙(1 + (x^2)∙y’),
y – dy/dx = a + a∙(x^2)∙dy/dx,
y∙dx – dy = a∙dx + a∙(x^2)∙dy,
(y – a)∙dx – (1 - a∙(x^2))∙dy = 0,
dx/(1 - a∙(x^2)) – dy/(y – a) = 0 (1).
Получили уравнение с разделенными переменными, в котором коэффициент при dx зависит только от переменной x, а коэффициент при dy – только от переменной y.

Интегрируем уравнение (1):
∫dx/(1 - a∙(x^2)) - ∫dy/(y – a) = С,
∫dx/(a(1/a - (x^2)) - ∫dy/(y – a) = С,
(1/a)∙∫dx/(1/a - (x^2)) - ∫dy/(y – a) = С,
(1/a)∙(1/2)∙ln |(1/√a + x)/(1/√a – x)| - ln |y – a| = ln |C|,
C∙(y – a) = ((1/√a + x)/(1/√a – x))^(1/(2∙a)) – общий интеграл исходного уравнения.

2) Преобразуем данное уравнение:
x∙y’ – y = x∙tg (y/x),
xW 29;y’– y - x∙tg (y/x) = 0,
y’ – y/x – tg (y/x) = 0,
y' = y/x + tg (y/x) (2).
Получили уравнение вида y' = f(y/x).

Полагаем y = u(x)∙x. Тогда y’ = u’∙x + u, и уравнение (2) преобразовывается к виду
u'∙x + u = u + tg u,
x∙du/dx + u = u + tg u,
x∙du/dx = tg u,
x∙du = tg u∙dx,
du/tg u = dx/x,
ctg u∙du = dx/x (3).

Интегрируя уравнение (3), получаем:
∫ctg u∙du = ∫dx/x,
ln |sin u| = ln |x| + ln |C|,
sin u = C∙x,
sin (y/x) = C∙x – общий интеграл исходного уравнения.

3) Данное уравнение имеет вид y’ + p(x)∙y = g(x), то есть является линейным ДУ первого порядка. Поскольку g(x) ≠ 0, то оно является линейным неоднородным ДУ. Такие уравнения решаются двумя способами:
а) методом Бернулли;
б) методом Лагранжа.
Приведем оба способа.

А) Метод Бернулли

Полагаем y = u(x)∙v(x). Тогда y' = u'&# 8729;v + u∙v’, и уравнение принимает вид
u'∙v + u∙v’ + 2∙x∙u∙v = e^(-x^2), или
u’∙v + u∙(v’ + 2∙x∙v) = e^(-x^2) (4).

Решаем ДУ с разделяющимися переменными, находящееся в скобках:
v’ + 2∙x∙v = 0,
dv/dx + 2∙x∙v = 0,
dv + 2∙x∙v∙dx = 0,
dv/v + 2∙x∙dx = 0,
∫dv/v + ∫2∙x∙dx = C1,
ln |v| + x^2 = ln |C|,
ln |v| = -ln |C|∙x^2,
v = C∙e^(-x^2).
Полагаем C = 1. Тогда v = e^(-x^2).

Подставляя полученное для v выражение в уравнение (4), получаем
u'∙e^(-x^2) = e^(-x^2),
u’ = 1,
du/dx = 1,
du = dx,
∫du = ∫dx,
u = x + C.

Следовательно, y = u∙v = (x + C)∙e^(-x^2) – общее решение исходного уравнения.

Б) Метод Лагранжа

Решаем соответствующее однородное ДУ:
y' + 2∙x∙y = 0,
dy/dx + 2∙x∙y = 0,dy + 2∙x∙y∙dx = 0,
dy/y + 2∙x∙dx = 0,
∫dy/y + ∫2∙x∙dx = C2,
ln |y| + x^2 = ln |C3|,
ln |y| = -ln |C|∙x^2,
y = C3∙e^(-x^2).

В соответствии с полученным результатом ищем общее решение заданного уравнения в виде
y = C(x)∙e^(-x^2) (варьируем произвольную постоянную). Имеем
y’ = C’(x)∙e^(-x^2) + C(x)∙(-1/2)∙e^(-x^2),
C’(x)∙e^(-x^2) + C(x)∙e^(-x^2)∙(-2∙x) + 2∙x∙C(x)∙e^(-x^2) = e^(-x^2),
C’(x)∙e^(-x^2) = e^(-x^2),
C’(x) = 1,
dC(x) = dx,
∫dC(x) = ∫dx,
C(x) = x + C.

Следовательно,
y = (x + C)∙e^(-x^2).

Как видно, оба способа дали одинаковый результат.

Компактное изложение теории с многочисленными примерами решения дифференциальных уравнений можно найти, например, в следующих источниках:
1. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциа льным уравнениям. М., 1962.
2. Пантелеев А. В., Якимова А. С., Босов А. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М., 2001.
3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Часть 2. М., 2006.
4. Лунгу К. Н., Норин В. П., Письменный Д. Т., Шевченко Ю. А., Кулагин Е. Д. Сборник задач по высшей математике. 2-й курс. М., 2007.

С уважением.
---------
Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант)
Ответ отправлен: 31.07.2008, 23:07
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Большое спасибо!
Вы сделали небольшую ошибку в первом уравнении - потеряли x возле xy. Однако вы очень помогли мне, за что вас и благодарю!

Вопрос № 141.313
Здравствуйте, меня зовут Даша. Я много слышала о делении на ноль, но хотелось бы получить наибольшее кол-во информации, если это возможно. Спасибо.
Отправлен: 04.08.2008, 14:29
Вопрос задала: Винокурова Дарья Владиславовна (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Troyan
Здравствуйте, Винокурова Дарья Владиславовна!
В математике любая операция сначала определяется. Например, решили математики, что сложение увеличивает значение первого числа на значение другого, это значит, что они определили операцию сложения для двух чисел.
Операции "Деление" как таковой не существует. Если есть выражение "x/y", то это по-настоящему есть ничто иное, как "x*(1/y)", т.е. сначала находится обратное число, т.е. такое число, которое при умножении на "y" дает 1, после чего найденное число умножается на первое. Однако операция "Деление на ноль" не определена из-за того, что не существует числа, обратного нулю, т.е. нету такого "x", который бы при умножении на ноль, давал бы в результате единицу.

Приложение:

---------
Цени законы своего сердца, иди на обгон! Будь человеком, не запачкай свою совесть!

Ответ отправил: Troyan (статус: Студент)
Ответ отправлен: 04.08.2008, 14:48
Отвечает: Notabene
Здравствуйте, Винокурова Дарья Владиславовна!
Я не знаю, где Вы слышали о делении на ноль, но поверьте человеку, занимающемуся математикой 20 лет, такое невозможно нигде и никогда.
Ответ отправил: Notabene (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 04.08.2008, 15:05

Вы имеете возможность оценить этот выпуск рассылки.
Нам очень важно Ваше мнение!
Оценить этот выпуск рассылки >>

Отправить вопрос экспертам этой рассылки

Приложение (если необходимо):

* Код программы, выдержки из закона и т.п. дополнение к вопросу.
Эта информация будет отображена в аналогичном окне как есть.

Обратите внимание!
Вопрос будет отправлен всем экспертам данной рассылки!
Для того, чтобы отправить вопрос выбранным экспертам этой рассылки или
экспертам другой рассылки портала RusFAQ.ru, зайдите непосредственно на RusFAQ.ru.


Форма НЕ работает в почтовых программах The BAT! и MS Outlook (кроме версии 2003+)!
Чтобы отправить вопрос, откройте это письмо в браузере или зайдите на сайт RusFAQ.ru.

© 2001-2008, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва.
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31
Хостинг: "Московский хостер"
Поддержка: "Московский дизайнер"
Авторские права | Реклама на портале

∙ Версия системы: 5.1 beta(win) от 11.08.2008

Яндекс Rambler's Top100
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru
Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru
В избранное