/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 665
от 10.07.2008, 08:05

Вопрос № 139.127

итак вопрос такой нужно найти неопределенный интеграл: int(1/((x+2)*sqrt(x^2+1)) dx p.s. большая просьба ответить сегодня

Отправлен: 05.06.2008, 11:04 Вопрос задал: титов павел евгеньевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, титов павел евгеньевич! Смотрите, пожалуйста, следующее Решение. Делаем подстановку x + 2 = 1/t. Тогда x = 1/t - 2, dx = -(1/t^2)dt, x^2 + 1 = (1/t - 2)^2 + 1 = (1/t^2 - 4/t + 4) + 1 = 1/t^2 - 4/t + 5 = = (5t^2 - 4t + 1)/t^2, Int (1/((x + 2)*sqrt (x^2 + 1))dx = - Int (dt/t^2)/[(1/t)*sqrt ((5t^2 - 4t + 1)/t^2)] = = - Int dt/sqrt (5t^2 - 4t + 1) = -(1/sqrt 5)*Int dt/sqrt (t^2 - 4t/5 + 1/5) = = -(1/sqrt 5)*Int dt/sqrt ((t^2 - 4t/5 + 4/25) + 1/5 - 4/25) = = -(1/sqrt 5)*Int dt/sqrt ((t - 2/5)^2 + (1/5)^2) = = -(1/sqrt 5)*ln |(t - 2/5) + sqrt ((t - 2/5)^2 + (1/5)^2)| + C. Вам остается теперь только перейти от переменной t к переменной x и, по возможности, упростить полученное выражение. Предварительно проверьте, пожалуйста, приведенные выкладки. Успехов! С уважением. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 05.06.2008, 21:26

Вопрос № 139.197

Люди, помогите пожалуйста решить дифуру, а то зачет завтра!!! Очень надо!!! Заранее спасибо: y'=1+y/x+e^(y/x)

Отправлен: 05.06.2008, 17:15 Вопрос задал: Bambur Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mellin Здравствуйте, Bambur! замена переменных: y=z*x y' = x*z'+z подставляем: x*z'+z=1+z+e^z x*dz/dx=1+e^z dz/(1+e^z)=dx/x d(e^z)/{e^z*(1+e^z)}=dx/x заменяем e^z на q (т.о. получаем y=zx=x*ln(q)) и интегрируем: int dq/(q(q+1))=int dx/x ln(q/(q+1))=ln(c*x) c=const q/(q+1)=c*x q=cx/(1-cx) y=x*ln{cx/(1-cx)} - это ответ. Я его проверил, он подходит.

Ответ отправил: Mellin (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 05.06.2008, 19:04

Вопрос № 139.213

Уважаемые, посетители этого сайта помогите пожалуйста решить задачу Материальная точка массы m притягивается неподвижной точкой О с упругой силой, пропорциональной массе m и расстоянию х от центра О. Найти закон движения этой точки, если коэффициент пропорциональности равен W^2 Спасибо....

Отправлен: 05.06.2008, 20:11 Вопрос задал: Трефилов Юрий Сергеевич Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mellin Здравствуйте, Юрий Сергеевич! Запишем 2-й закон Ньютона: mx''=F Условие буквально означает, что F=-m*x*W^2 (ось x начинается в точке О, сила действует к точке, поэтому стоит знак минус ). Тогда получаем обыкновенное уравнение колебаний: x''+x*W^2=0 W имеет смысл циклической частоты. Начальные условия нам не заданы, поэтому решение записывается в общем виде: x=Acos(W*t)+Bsin(W*t), где A и B- произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.

Ответ отправил: Mellin (статус: 1-ый класс) Ответ отправлен: 05.06.2008, 20:53

Вопрос № 139.301

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить: 1) Найти действительный корень уравнения х^3+ax^2+bx+c=0 при a=2, b=3, c=1 2) Доказать, что уравнение 2^x=7-x имеет 1 действит.корень и найти его с точностью до b=10^-4

Отправлен: 06.06.2008, 12:02 Вопрос задал: Ермакова Марина Юрьевна Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Ермакова Марина Юрьевна! Вы можете посмотреть следующее Решение. 1. Заданное уравнение можно решить алгебраически, используя формулы Кардано. Можно, однако, применить численный метод решения. Рассмотрим функцию f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1. Выполним отделение корней. Находим производную функции: f'(x) = 3x^2 + 4x + 3. Решая уравнение 3x^2 + 4x + 3 = 0, обнаруживаем, что оно не имеет действительных корней. Производная всюду положительна, а сама заданная функция монотонно возрастает на всей области определения. При этом заданная функция, очевидно, непрерывна. Поэтому для отделения корней производим перебор значений x: - при x = 0 f(0) = 1 > 0, - при x = -1 f(-1) = -1 + 2 - 3 + 1 = -1 < 0. Воспользуемся теоремой, дающей критерий, позволяющий убедиться в том, что на рассматриваемом отрезке [a; b] имеется корень заданного уравнения и притом один. Эта теорема гласит: "Если на отрезке [a; b] функция непрер ывна и монотонна, а ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то на рассматриваемом отрезке существует один и только один корень уравнения f(x) = 0". Уравнение x^3 + 2x^2 + 3x + 1= 0, согласно вышеприведенной теореме, на отрезке [-1; 0] имеет корень. В силу монотонности функции f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 1 искомый корень является единственным действительным корнем. Вычисляем приближенно значение корня методом половинного деления, задаваясь точностью eps = 0,01: a = -1, b = 0, уточненное значение корня c = (a + b)/2 = (-1 + 0)/2 = -0,5, значение функции при x = -0,5 f(-0,5) = (-0,5)^3 + 2*(0.5)^2 + 3*(-0,5) + 1 = -0,125 + 0,5 - 1,5 + 1 = -0,125. Так как f(-0,5) < 0, то берем новый отрезок [-0,5; 0] и повторяем вычисления: a = -0,5, b = 0, c = (-0,5 + 0)/2 = -0,25, f(-0,25) = (-0,25)^3 + 2*(-0,25)^2 + 3*(-0,25) + 1 = -0,016 + 0,063 - 0,75 + 1 = 0,297 > 0; Берем новый отрезок [-0,5; -0,25] и повторяем вычислени я: a = -0,5, b = -0,25, c = (-0,5 + (-0,25))/2 = -0,375, f(-0,375) = (-0,375)^3 + 2*(0,375)^2 + 3*(-0,375) + 1 = -0,053 + 0,141 - 1,125 + 1 = -0,037 < 0; a = -0,375, b = -0,25, c = (-0,375 + (-0,25))/2 = -0,313, f(-0,313) = (-0,313)^3 + 2*(-0,313)^2 + 3*(-0,313) + 1 = -0,031 + 0,196 - 0,939 + 1 = 0,226 > 0; a = -0,375, b = -0,313, c = (-0,375 + (-0,313))/2 = -0,344, f(-0,344) = (-0,344)^3 + 2*(-0,344)^2 + 3*(-0,344) + 1 = -0,041 + 0,237 - 1,032 + 1 = 0,164 > 0; a = -0,375, b = -0,344, c = (-0,375 + (-0,344))/2 = -0,360, f(-0,360) = (-0,360)^3 + 2*(-0,360)^2 + 3*(-0,360) + 1 = -0,047 + 0,259 - 1,080 + 1 = 0,132 > 0; a = -0,375, b = -0,360, c = (-0,375 + (-0,360))/2 = -0,368, f(-0,368) =(-0,368)^3 + 2*(-0,368)^2 + 3*(-0,368) + 1 = -0,050 + 0,271 - 1,104 + 1 = 0,117 > 0. Так как уточненный отрезок суть [-0,375; -0,368], и b - a = -0,368 - (-0,375) = 0,007 < eps = 0,01, то прекращаем вычисления. В качестве знач ения корня выберем последнее значение точки c, то есть после округления положим значение корня заданного уравнения равным x = -0,37. 2. Рассмотрим функцию f(x) = 2^x + x - 7. Ее производная f'(x) = (2^x)*ln 2 + 3 всюду положительна, а сама функция непрерывна и монотонно возрастает на всей области определения. Для отделения корней производим перебор значений x: - при x = 0 f(0) = 2^0 + 0 - 7 = 1 - 7 = -6 < 0, - при x = 1 f(1) = 2^1 + 1 - 7 = 3 - 7 = -4 < 0, - при x = 2 f(2) = 2^2 + 2 - 7 = 4 - 7 = -3 < 0, - при x = 3 f(3) = 2^3 + 3 - 7 = 4 > 0. Согласно теореме, указанной в решении задачи 1, уравнение 2^x + x - 7 = 0, равносильное заданному уравнению, на отрезке [2; 3] имеет корень, являющийся его единственным корнем. Вычисляем приближенно его значение с заданной точностью eps <= 0,0001. Используем метод половинного деления: a = 2, b = 3, c = (a + b)/2 = (2 + 3)/2 = 2,5, f(2,5) = 2^2,5 + 2,5 - 7 = 5,65685 + 2,5 - 7 = 1, 1569 > 0; a = 2, b = 2,5, c = (2 + 2,5)/2 = 2,25, f(2,25) = 2^2,25 + 2,25 - 7 = 4,75683 + 2,25 - 7 = 0,00683 > 0; a = 2, b = 2,25, c = (2 + 2,25)/2 = 2,125, f(2,125) = 2^2,125 + 2,125 - 7 = -0,51297 < 0; a = 2,125, b = 2,25, c = (2,125 + 2,25)/2 = 2,1875, f(2,1875) = 2^2,1875 + 2,1875 - 7 = -0,25735 < 0; a = 2,1875, b = 2,25, c = (2,1875 + 2,25)/2 = 2,21875, f(2,21875) = 2^2,21875 + 2,21875 - 7 = - 0,12635 < 0; a = 2,21875, b = 2,25, c = (2,21875 + 2,25)/2 = 2,23438, f(2,23438) = 2^2,23438 + 2,23438 - 7 = 4,70560 + 2,23438 - 7 = - 0,06002 < 0; a = 2,23468, b = 2,25, c = (2,23468 + 2,25)/2 = 2,24234, f(2,24234) = 2^2,24234 + 2,24234 - 7 = -0,02602 < 0; a = 2,24234, b = 2,25, c = (2,24234 + 2,25)/2 = 2,24617, f(2,24617) = 2^2,24617 + 2,24617 - 7 = -0,00961 < 0; a = 2,24617, b = 2,25, c = (2,24617 + 2,25)/2 = 2,24809, f(2,24809) = 2^2,24809 + 2,24809 - 7 = -0,00137 < 0; a = 2,24809, b = 2,25, c = (2,24809 + 2,25)/2 = 2,24905, f(2,2490) = 2^2,24905 + 2,24905 - 7 = 0,00274 > 0; a = 2,24809, b = 2,24905, c = (2,24809 + 2,24905)/2 = 2,24857, f(2,24857) = 2^2,24857 + 2,24857 - 7 = 0,00069 > 0; a = 2,24809, b = 2,24857, c = (2,24809 + 2,24857)/2 = 2,24833, f(2,24833) = 2^2,24833 + 2,24833 - 7 = -0,00034 < 0; a = 2,24833, b = 2,24857, c = (2,24833 + 2,24857)/2 = 2,24845, f(2,24845) = 2^2,24845 + 2,24845 - 7 = 0,00017 > 0; a = 2,24833, b = 2,24845, c = (2,24833 + 2,24845)/2 = 2,24840, f(2,24840) = 2^2,24840 + 2,24840 - 7 = -4*10^(-5) < 0. Так как уточненный отрезок суть [2,24840; 2,24845], и b - a = 2,24845 - 2,24840 = 0,00005 < epa = 0,0001, то прекращаем вычисления. В качестве значения корня выберем последнее значение точки c, то есть после округления положим значение корня заданного уравнения равным x = 2,2484. С уважением. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 07.06.2008, 02:23

Вопрос № 139.317

Помогите найти аналитически площадь пересечения 2х графиков, заданных функциями (^2 - во второй степени): Y=SIN(X); Y= - ((X-PI*1.5)*(7/11))^2; Примерный порядок действий со слов преподавателя: Возможно найти корни точек пересечния (их две). Нужно сделать интегрирование. Как решать даже незнаю :( На любой вопрос идёт ссылка в библиотеку на то угадай что...

Отправлен: 06.06.2008, 13:32 Вопрос задал: DDMZ-1 Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, DDMZ-1! Предлагаю следующее Решение. Преобразуем второе выражение: y = ((x - (3/2)*pi)*(7/11))^2 = ((7/11)^2)*(x - (3/2)*pi)^2 = (49/121)*(x - (3/2)*pi)^2. Получили выражение вида y = a*(x - x0)^2, где a = 49/121, x0 = (3/2)*pi. (1) Известно, что график функции y = a*(x - x0)^2 представляет собой график квадратичной функции y = a*x^2, сдвинутый ВПРАВО на x0. График функции y = sin x также известен. Введем в решение следующее соображение. Поскольку синус - периодическая функция с периодом, равным 2*pi, то интересующая нас площадь, ограниченная графиками функций y1 = sin x и y2 = (49/121)*(x - (3/2)*pi)^2, не изменится, если график функции y2 сдвинуть ВЛЕВО на 2*pi. В результате такая же площадь будет ограничена графиками функций y1 = sin x и y2* = (49/121)*(x + (1/2)*pi)^2. Введем в решение еще одно соображение. Используем соотношение sin (X + (1/2)*pi) = cos X. Если сдвинуть график функции y2* = (49/121)*(x + (1/2)*pi)^2 на (1/2)*pi ВПРАВО, то такая же площадь будет граничена графиками функций y1* = cos x и y2** = (49/121)*x^2. В результате выполненных преобразований графиков от исходной задачи пришли к тождественной ей задаче нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y1* = cos x и y2** = (49/121)*x^2. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат. Поэтому достаточно найти площадь, ограниченную правой ветвью параболы и правой частью косинусоиды, а затем полученный результат удвоить, чтобы получить искомую площадь. Вершина параболы находится, как следует из выражения для y2**, в начале координат (x = a = 0). Величина a задает нижний предел интегрирования при использовании известной из курса математического анализа формулы для площади криволинейной трапеции. Ищем величину b, задающую верхний предел интегрирования и равную абсциссе точки пересечния косинусоиды y1* = cos x и параболы y2** = (49/121)*x^2. Решаем уравнение cos x = (49/121)*x^2 (1) на отрезке [0; pi/2]. Это уравнение является трансцедентным, и задача нахождения его точного решения неразрешима в общем виде. Поэтому воспользуемся приближенными вычислениями. Будем искать нуль функции y = cos x - (49/121)*x^2. Если построить график функции, то можно достаточно точно отделить корень уравнения (1), а затем уточнить его значение. Мы применим для отделения корня (уточнения его значения) перебор значений x: y(0) = cos 0 - (49/121)*0^2 = 1 - 0 = 1 > 0, y(pi/2) = cos (pi/2) - (49/121)*(pi/2)^2 = 0 - (49/121)*(1/4)*(pi^2) = - 0,9992 < 0, y(pi/4) = cos (pi/4) - (49/121)*(pi/4)^2 = 2/sqrt 2 - (49/121)*(1/16)*(pi^2) = 0,7071 - 0,2498 = 0,4573 > 0, y(pi/3) = cos (pi/3) - (49/121)*(pi/3)^2 = 1/2 - (49/121)*(1/9)*(pi^2) = 0,5 - 0,4441 = 0,0559 > 0. Производная функции y' = -sin x - (98/121)*x отрицательна на отрезке [0; pi/2], а сама функция непрерывна и монотонно убывает на этом отрезке. Значит, она обращается в нуль в единственной точке этого отрезка, являющейся корнем уравнения (1). За уточненный отрезок принимаем [pi/4; pi/3], задаемся точностью eps = 0,001 и методом половинного деления ищем корень уравнения (1): a = pi/3, b = pi/2, c = (a + b)/2 = (pi/3 + pi/2)/2 = (5/12)*pi = 1,3090, y(1,3090) = cos 1,3090 - (49/121)*(1,3090)^2 = 0,2588 - 0,6939 = -0,4351 < 0; a = pi/3 = 1,0472, b = 1,3090, c = (1,0472 + 1,3090)/2 = 1,1781, y(1,1781) = cos 1,1781 - (49/121)*(1,1781)^2 = 0,3827 - 0,5621 = -0,1794 < 0; a = 1,0472, b = 1,1781, c = (1,0472 + 1,1781)/2 = 1,1127, y(1,1127) = cos 1,1127 - (49/121)*(1,1127)^2 = 0,4422 - 0,5014 = -0.0592 < 0; a = 1,0472, b = 1,1127, c = (1,0472 + 1,1127)/2 = 1,0800, y(1,0800) = cos 1,0800 - (49/121)*(1,0800)^2 = 0,4713 - 0,4723 = -0,0010 < 0; a = 1,0472, b = 1,0800, c = 1,0636, y(1,0636) = cos 1,0636 - (49/121)*(1,0636)^2 = 0,4857 - 0,4581 = 0,0276 > 0; a = 1,0636, b = 1,0800, c = (1,0636 + 1,0800)/2 = 1,0718, y(1,0718) = cos 1,0718 - (49/121)*(1,0718)^2 = 0,4785 - 0,4652 = 0,0133 > 0; a = 1,0718, b = 1,0800, c = (1,0718 + 1,0800)/2 = 1,0759, y(1,0759) = cos 1,0759 - (49/121)*(1,0759)^2 = 0,4749 - 0,4688 = 0,0061 > 0; a = 1,0759, b = 1,0800, c = (1,0759 + 1,0800)/2 = 1,0780, y(1,0780) = cos 1,0780 - (49/121)*(1,0780)^2 = 0,4731 - 0,4706 = 0,0025 > 0; a = 1,0780, b = 1,0800, c = (1,0780 + 1,0800)/2 = 1,0790, y(1,0790) = cos 1,0790 - (49/121)*(1,0790)^2 = 0,4722 - 0,4715 = 0,0007 > 0.. Так как 1,0800 - 1,0790 = 0,001 = eps = 0,001, то требуемая точность вычислений достигнута. Поэтому принимаем значение искомого корня равным x = 1,079. Итак, графики функций y1* = cos x и y2** = (49/121)*x^2 пересекаются в точке с абсциссой x = 1,079, следовательно, b = 1,079, и искомая площадь S = 2*Int (0; 1,079) (cos x - (49/121)*x^2)*dx = 2*(sin x - (49/121)*(1/3)*x^3) |(0; 1,079) = 2*(sin 1,079 - (49/363)*(1,079)^3) - (sin 0 - 0)) = 2*(0,881 - 0,170) = 2*0,711 = 1,42. Ответ: 1,42. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 07.06.2008, 16:52

Вопрос № 139.327

Уважаемые Эксперты! Помогите пожалуйста найти общий интеграл нелинейной ссистемы: dx/x(y+z)=dy/z(z-y)=dz/y(y-z) Заранее благодарю.

Отправлен: 06.06.2008, 14:53 Вопрос задал: Иванов Алексей Александрович Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Иванов Алексей Александрович! Предлагаю Вам следующее Решение. Имеем систему трех дифференциальных уравнений в симметрической форме. Построим две интегрируемые комбинации. Одной из них, очевидно, будет dy/z = -dz/y, ydy + zdz = 0, откуда (1/2)*(y^2 + z^2) = C, y^2 + z^2 = 2C, y^2 + z^2 = (C1)^2 (C1 = sqrt (2C)) - первый первый интеграл заданной системы. (1) Для получения второй интегрируемой комбинации вычтем в заданной системе из числителя и знаменателя второй дроби соответственно числитель и знаменатель третьей дроби и выполним тождественные преобразования: dx/(x(y + z)) = d(y - z)/(z^2 - y^2), dx/(x(z + y)) = -d(z - y)/((z - y)(z + y)), dx/x = -d(z - y)/(z - y), откуда ln |x| = - ln |z - y| + ln |C2|, x = C2/(z - y) - второй первый интеграл заданной системы. (2) Первые интегралы (1) и (2) образуют общий интеграл заданной системы. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 07.06.2008, 20:53

Вопрос № 139.337

Уважаемые эксперты... Помогите найти аналитически площадь пересечения 2х графиков, заданных функциями (^2 - во второй степени): Y=SIN(X); Y= - ((X-PI*1.5)*(7/11))^2; Примерный порядок действий со слов преподавателя: Возможно найти корни точек пересечния (их две). Нужно сделать интегрирование. Как решать даже незнаю :( P.S. Нам устроили ознакомление с программой MatLab :) На любой вопрос преподаватель отправляет в библиотеку/интернет на то угадай что... Решение не обязательно портировать в матлаб. Всем ответившим + 5 :)

Отправлен: 06.06.2008, 16:28 Вопрос задал: Петров Виктор Иванович (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 6)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Петров Виктор Иванович! Решение. Преобразуем второе выражение: y = ((x - (3/2)*pi)*(7/11))^2 = ((7/11)^2)*(x - (3/2)*pi)^2 = = (49/121)*(x - (3/2)*pi)^2. Получили выражение вида y = a*(x - x0)^2, где a = 49/121, x0 = (3/2)*pi. (1) Известно, что график функции y = a*(x - x0)^2 представляет собой график квадратичной функции y = a*x^2, сдвинутый ВПРАВО на x0. График функции y = sin x также известен. Введем в решение следующее соображение. Поскольку синус - периодическая функция с периодом, равным 2*pi, то интересующая нас площадь, ограниченная графиками функций y1 = sin x и y2 = (49/121)*(x - (3/2)*pi)^2, не изменится, если график функции y2 сдвинуть ВЛЕВО на 2*pi. В результате такая же площадь будет ограничена графиками функций y1 = sin x и y2* = (49/121)*(x + (1/2)*pi)^2. Введем в решение еще одно соображение. Используем соотношение sin (X + (1/2)*pi) = cos X. Если сдвинуть график функции y2* = (49/121)*(x + (1/2)*pi)^2 на (1/2)*pi ВПРАВО, то такая же площадь будет граничена графиками функций y1* = cos x и y2** = (49/121)*x^2. В результате выполненных преобразований графиков от исходной задачи пришли к тождественной ей задаче нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y1* = cos x и y2** = = (49/121)*x^2. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат. Поэтому достаточно найти площадь, ограниченную правой ветвью параболы и правой частью косинусоиды, а затем полученный результат удвоить, чтобы получить искомую площадь. Вершина параболы находится, как следует из выражения для y2**, в начале координат (x = a = 0). Величина a задает нижний предел интегрирования при использовании известной из курса математического анализа формулы для площади криволинейной трапеции. Ищем величину b, задающую верхний предел интегрирования и равную абсциссе точки пересечния косинусоиды y1* = cos x и параболы y2** = ( 49/121)*x^2. Решаем уравнение cos x = (49/121)*x^2 (1) на отрезке [0; pi/2]. Это уравнение является трансцедентным, и задача нахождения его точного решения неразрешима в общем виде. Поэтому воспользуемся приближенными вычислениями. Будем искать нуль функции y = cos x - (49/121)*x^2 Если построить график функции, то можно достаточно точно отделить корень уравнения (1), а затем уточнить его значение. Применим для отделения корня (уточнения его значения) перебор значений x: y(0) = cos 0 - (49/121)*0^2 = 1 - 0 = 1 > 0, y(pi/2) = cos (pi/2) - (49/121)*(pi/2)^2 = 0 - (49/121)*(1/4)*(pi^2) = = - 0,9992 < 0, y(pi/4) = cos (pi/4) - (49/121)*(pi/4)^2 = 2/sqrt 2 - (49/121)* *(1/16)*(pi^2) = 0,7071 - 0,2498 = 0,4573 > 0, y(pi/3) = cos (pi/3) - (49/121)*(pi/3)^2 = 1/2 - (49/121)*(1/9)*(pi^2) = = 0,5 - 0,4441 = 0,0559 > 0. Производная функции y' = -sin x - (98/121)*x отрицательна на отрезке [0; pi/2], а сама функция непрерывна и монотонно убывает на этом отрезке. Значит, она обращается в нуль в единственной точке этого отрезка, являющейся корнем уравнения (1). За уточненный отрезок принимаем [pi/4; pi/3], задаемся точностью eps = 0,001 и методом половинного деления ищем корень уравнения (1): a = pi/3, b = pi/2, c = (a + b)/2 = (pi/3 + pi/2)/2 = (5/12)*pi = 1,3090, y(1,3090) = cos 1,3090 - (49/121)*(1,3090)^2 = 0,2588 - 0,6939 = = -0,4351 < 0; a = pi/3 = 1,0472, b = 1,3090, c = (1,0472 + 1,3090)/2 = 1,1781, y(1,1781) = cos 1,1781 - (49/121)*(1,1781)^2 = 0,3827 - 0,5621 = = -0,1794 < 0; a = 1,0472, b = 1,1781, c = (1,0472 + 1,1781)/2 = 1,1127, y(1,1127) = cos 1,1127 - (49/121)*(1,1127)^2 = 0,4422 - 0,5014 = = -0.0592 < 0; a = 1,0472, b = 1,1127, c = (1,0472 + 1,1127)/2 = 1,0800, y(1,0800) = cos 1,0800 - (49/121)*(1,0800)^2 = 0,4713 - 0,4723 = = -0,0010 < 0; a = 1,0472, b = 1,0800, c = 1,0636, y(1,0636) = cos 1,0636 - ( 49/121)*(1,0636)^2 = 0,4857 - 0,4581 = = 0,0276 > 0; a = 1,0636, b = 1,0800, c = (1,0636 + 1,0800)/2 = 1,0718, y(1,0718) = cos 1,0718 - (49/121)*(1,0718)^2 = 0,4785 - 0,4652 = = 0,0133 > 0; a = 1,0718, b = 1,0800, c = (1,0718 + 1,0800)/2 = 1,0759, y(1,0759) = cos 1,0759 - (49/121)*(1,0759)^2 = 0,4749 - 0,4688 = = 0,0061 > 0; a = 1,0759, b = 1,0800, c = (1,0759 + 1,0800)/2 = 1,0780, y(1,0780) = cos 1,0780 - (49/121)*(1,0780)^2 = 0,4731 - 0,4706 = = 0,0025 > 0; a = 1,0780, b = 1,0800, c = (1,0780 + 1,0800)/2 = 1,0790, y(1,0790) = cos 1,0790 - (49/121)*(1,0790)^2 = 0,4722 - 0,4715 = = 0,0007 > 0.. Так как 1,0800 - 1,0790 = 0,001 = eps = 0,001, то требуемая точность вычислений достигнута. Поэтому принимаем значение искомого корня равным x = 1,079. Итак, графики функций y1* = cos x и y2** = (49/121)*x^2 пересекаются в точке с абсциссой x = 1,079, следовательно, b = 1,079, и искомая площадь< br>S = 2*Int (0; 1,079) (cos x - (49/121)*x^2)*dx = 2*(sin x - (49/121)* *(1/3)*x^3) |(0; 1,079) = 2*(sin 1,079 - (49/363)* *(1,079)^3) - (sin 0 - 0)) = 2*(0,881 - 0,170) = 2*0,711 = 1,42 (кв. ед.). Ответ: 1,42 (кв. ед.). С уважением. P. S. Полученное значение наводит на мысль о том, что S = sqrt 2 - точное значение площади... --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 08.06.2008, 15:03

Вопрос № 139.338

Здравствуйте эксперты: Вычислить определенный интеграл. (от 0 до e) ∫e^3*lnx*dx

Отправлен: 06.06.2008, 16:35 Вопрос задал: SETXAOS Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, SETXAOS! Было интересно заняться Вашей задачей. Вот что получилось... Решение. Находим сначала соответствующий неопределенный интеграл: Int (e^3)*ln x*dx = (e^3)*Int ln x*dx. Находим полученный интеграл, полагая u = ln x, dv = dx. Тогда du = dx/x, v = x, Int ln x*dx = x*ln x - Int dx = x*ln x - x + C = x*(ln x - 1) + C. Следовательно, соответствующий неопределенный интеграл равен (e^3)*(x*(ln x - 1) + C), а искомый определенный интеграл равен I = (e^3)*x*(ln x - 1) |(0; e) = (e^3)*[0*(ln 0 - 1) - e*(ln e - 1)]. Известно, что ln 0 не существует. Поэтому рассматриваем запись ln 0 как предел функции f(x) = ln x при x, стремящемся к нулю. Находим предел выражения x*ln x при x, стремящемся к нулю. Обозначим предельный переход через L(0) (то есть "по техническим причинам" примем, что запись "L(0)" заменяет общепринятую запись "lim при x, стремящемся к нулю"). Имеем L(0) x*ln x = [0*(-Inf)] = L(0) (ln x)/(1/x) = [-Inf*Inf] = (по правилу Лопиталя) L(0) (1/x)/(-1/x^2) = L(0) (-x) = 0. Значит, I = (e^3)*[0 - e*(1 - 1)] = 0 (!?). Получили неожиданный результат, хотя в предыдущих вычислениях вроде бы не было сделано ошибки. При нахождении определенного интеграла следует соблюдать известную осторожность. Дело в том, что функция y = ln x на заданном промежутке интегрирования меняет знак, и ее график на промежутке (0; 1) находится под осью абсцисс, а на промежутке (1; e] - над ней. Поэтому криволинейная трапеция, площадь которой необходимо найти (если интерпретировать определенный интеграл как площадь), состоит из двух фигур, первая из которых имеет "отрицательную" площадь и ее основанием служит промежуток (0; 1), а вторая имеет "положительную" площадь, и ее основанием служит промежуток (1; e]. Учитывая, что сумма "отрицательной" и "положительной" площадей равна нулю (согласно полученному выше результату), по свойству аддитивности искомый интеграл равен удвоенной "положительной" площади, то есть I = 2*(e^3)*x*(ln x - 1) |(1; e) = 2*(e^3)*[e*(ln e - 1) - 1*(ln 1 - 1)] = 2*(e^3)*[e*(1 - 1) - 1*(0 - 1)] = 2*(e^3)*(0 + 1) = 2*(e^3). Можно найти сумму двух площадей, если поменять местами пределы интегрирования в интеграле, равном "отрицательной" площади. Тогда I = (e^3)*x*(ln x - 1) |(1; 0) + (e^3)*x*(ln x - 1) |(1; e) = = (e^3)*[0 - 1*(ln 1 - 1)] + (e^3)*[e*(ln e - 1) - 1*(ln 1 - 1)] = (e^3) + (e^3) = = 2*(e^3) (снова получили тот же результат). Ответ: 2*(e^3). С уважением. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 07.06.2008, 23:32

Вопрос № 139.340

Здравствуйте эксперты. Найти угол между градиентами скалярных полей U(x;y;z) и V(x;y;z) в точке М. u=z^2/(x*y^2);v=(3*(корен2))*x^2-(y^2/корен2)-(3*(корен2)*z^2); M(1/3;2;(корень2/3))

Отправлен: 06.06.2008, 16:56 Вопрос задал: SETXAOS Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, SETXAOS! Решение. Находим частные производные функций U и V: дU/дx = -z^2/((x^2)*(y^2)), дU/дy = -2*(z^2)/(x*y^3), дU/дz = 2*z/(x*y^2), дV/дx = 6*(sqrt 2)*x, дV/дy = -(sqrt 2)*y, дV/дz = -6*(sqrt 2)*z. Находим значения частных производных функций U и V в точке M: (дU/дx) (M) = -(sqrt (2/3))^2/((1/3)^2)*(2^2)) = -(2/3)/(4/9) = -3/2, (дU/дy) (M) = -2*(sqrt (2/3)^2)/((1/3)*2^3) = -(8/9)/(8/3) = -1/3, (дU/дz) (M) = 2*sqrt (2/3)/((1/3)*2^2) = 2*sqrt (2/3)/(4/3) = sqrt (8/3)/sqrt (16/9) = sqrt (3/2), (дV/дx) (M) = 6*(sqrt 2)*(1/3) = (sqrt 72)*sqrt (1/9) = sqrt 8 = 2*sqrt 2, (дV/дy) (M) = -(sqrt 2)*2 = -2*sqrt 2, (дV/дz) (M) = -6*(sqrt 2)*sqrt (2/3) = -(sqrt 72)*sqrt (2/3) = -sqrt 48 = -4*sqrt 3. Находим векторы-градиенты функций U и V в точке M: grad U (M) = (-3/2)*i + (-1/3)*j + sqrt (3/2)*k, grad V (M) = 2*sqrt 2*i + (-2)*sqrt 2*j + (-4)*sqrt 3*k. Находим скалярное произведение векторов grad U (M) и grad V (M): (grad U (M), grad V (M)) = (-3/2)*2*sqrt 2 + (-1/3)*(-2)*sqrt 2 + sqrt (3/2)*(-4)*sqrt 3 = = -3*sqrt 2 + (2/3)*sqrt 2 + (-4)*sqrt (9/2) = (-7/3)*sqrt 2 + (-sqrt (72)) = = (-7/3)*sqrt 2 + (-6*sqrt 2) = (-19/3)*sqrt 2. Находим длины векторов grad U (M) и grad V (M): |grad U (M)| = sqrt ((-3/2)^2 + (-1/3)^2 + (sqrt (3/2))^2) = sqrt (9/4 + 1/9 + 3/2) = = sqrt ((81 + 4 + 54)/36) = sqrt (139/36) = (1/6)*sqrt 139, |grad V (M)| = sqrt ((2*sqrt 2)^2 + (-2*sqrt 2)^2 + (-4*sqrt 3)^2) = sqrt (8 + 8 + 48) = sqrt 64 = 8. Находим косинус угла между векторами grad U (M) и grad V (M): cos ф = (-19/3)*sqrt 2/(8*(1/6)*sqrt 139) = (-19/4)*sqrt (2/139) = -0,5698, следовательно, ф = arccos (-0,5698) = 124 градуса 44 минуты. Ответ: 124 градуса 44 минуты. Примечания. 1. Через sqrt (a) обозначается корень квадратный числа a. Например, sqrt 2 = 2^(1/2) = корень 2. 2. Через i, j, k обозначены единичные векторы координатных осей x, y, z. Проверьте, пожалуйста, сделанные выкладки. Немудрено ошибиться при выполнении столь утомительных вычислений. Последовательность же решения, полагаю, правильная. С уважением. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 08.06.2008, 11:40

Вопрос № 139.341

Здравствуйте эксперты. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. f(x)=x+8-4*(кореньx+2); [-1;7]

Отправлен: 06.06.2008, 17:00 Вопрос задал: SETXAOS Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Dayana Здравствуйте, SETXAOS! f(x)=x+8-4*(кореньx+2); [-1;7] f' = 1-2/√(x+2) √(x+2) - 2 = 0 √(x+2) = 2 x + 2 = 4 x = 2 f(-1) = -1 + 8 -4*√1 = 3 f(2) = 2 + 8 - 4*√4 = 2 f(7) = 7 + 8 -4*√9 = 3 Ответ: наим знач 2, наиб знач 3

Ответ отправила: Dayana (статус: Практикант) Ответ отправлен: 06.06.2008, 20:24

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, SETXAOS! Решение. Находим производную функции: f'(x) = 1 - 4*(1/(2*sqrt (x + 2))) = 1 - 2/sqrt (x + 2). Находим точки, в которых производная обращается в нуль: 1 - 2/sqrt (x + 2) = 0, 2/sqrt (x + 2) = 1, sqrt (x + 2) = 2, x + 2 = 4, x = 2. Полученная точка принадлежит отрезку [-1; 7]. Находим значение функции в этой точке: f(2) = 2 + 8 - 4*sqrt (2 + 2) = 2 + 8 - 8 = 2. Находим значения функции на концах отрезка: f(-1) = -1 + 8 - 4*sqrt (-1 + 2) = -1 + 8 - 4 = 3, f(7) = 7 + 8 - 4*sqrt (7 + 2) = 7 + 8 - 12 = 3. Следовательно, f наиб. = 3, f наим. = 2. Ответ: f наиб. = 3, f наим. = 2. С уважением. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 08.06.2008, 12:10

Вопрос № 139.342

Здравствуйте эксперты. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой X нулевое. y=(корень4-2x^2); Xнулевое=1

Отправлен: 06.06.2008, 17:04 Вопрос задал: SETXAOS Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, SETXAOS! Решение. Находим значение функции в точке x0: f(x0) = f(1) = sqrt (4 - 2*1^2) = sqrt (4 - 2) = sqrt 2. Находим производную функции: f'(x) = 1/(2*sqrt (4 - 2*x^2)). Находим значений производной в точке x0 = 1: f'(x0) = f'(1) = 1/(2*sqrt (4 - 2*1^2)) = 1/(2*sqrt 2) = (sqrt 2)/4. Находим уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0 = 1: y - f(x0) = (f'(x0))*(x - x0), y - sqrt 2 = ((sqrt 2)/4)*(x - 1), y = ((sqrt 2)/4)*x - ((sqrt 2)/4) + sqrt 2, y = ((sqrt 2)/4)*x + (3/4)*sqrt 2. Находим уравнение нормали к графику функции f(x) в точке x0 = 1: y - f(x0) = (-1/f'(x0))*(x - x0), y - sqrt 2 = (-1/(sqrt 2)/4)*(x - 1), y - sqrt 2 = (-4/(sqrt 2))*(x - 1), y - sqrt 2 = (-2*sqrt 2)*x + 2*sqrt 2, y = (-2*sqrt 2)*x + 3*sqrt 2. Ответ: y = ((sqrt 2)/4)*x + (3/4)*sqrt 2 - уравнение касательной; y = (-2*sqrt 2)*x + 3*sqrt 2 - уравнение нормали. С уважением. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 08.06.2008, 14:55

Вопрос № 139.349

Уважаемые эксперты у меня возник вопрос. Вопрос из части высшей математики. Тема : Нахождение определителя n-го порядка. Еще на парах сам решал а теперь просто на просто забыл. Ладно, в общем, у меня дан определитель - | 3 2 0 -5 | | 4 3 -5 0 | | 1 0 -2 3 | | 0 1 -3 4 | мне нужно вычислить определитель разложив его по элементам итого столбца и житой строки. i = 2 j= 4, я все бы смог сделать, но есть одно, чего я не понимаю. Допустим мы начинаем решать по итой строке (?)*(-1)^3 * 2 0 -5 0 -2 3 1 -3 4 +(?) * (-1)^4... Так вот там где я поставил знак вопроса там какоето число, но откуда оно берется я так и не понял... Пожалуйста обьясните мне. Искренне надеюсь на вашу помощь. Заранее спасибо.

Отправлен: 06.06.2008, 18:08 Вопрос задал: Пашков Дмитрий Владимирович Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Пашков Дмитрий Владимирович! Если в указанном Вами определителе delta четвертого порядка вычеркнуть вторую строку (i = 2) и четвертый столбец (j = 4), на пересечении которых находится элемент a(24) (в скобки заключены нижние индексы), и сдвинуть оставшиеся ряды, то получится определитель третьего порядка, который называется минором исходного определителя, соответствующим элементу a(24), и обозначается delta(24). Формула разложения, которую Вы, по-моему, имеете в виду выглядит так: delta = S (от i=1 до i=n) a(ij)*[(-1)^(i+j)]*delta(ij), то есть интересующее Вас число - элемент a(ij). С уважением. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 07.06.2008, 03:16

Вопрос № 139.391

hi dear expers!!! помогите с двумя задачками. 1 требуется найти такое минимальное натуральное число k, что число (10 в степени 100 )– k является простым. 2 как определить простое число или нет. заранее благодарен

Отправлен: 07.06.2008, 02:40 Вопрос задал: S@ZaN Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)

Отвечает: Mr. Andy !!! Здравствуйте, S@ZaN! Следующие соображения, лишенные, правда, надлежащей математической строгости, возможно, помогут Вам решить эти задачи. 1. Применим перебор значений k: k = 1, число 10^100 - 1 не является простым, поскольку делится на число (10 - 1) = 9; k = 2, число 10^100 - 2 не является простым, поскольку 10^100 - 2 = (2*5)^100 - 2 = 2*((2^99)*(5^100) - 1) делится на 2; k = 3, число 10^100 - 3 является простым, в чем можно убедиться, !!! 10100 - 3 составное число, оно делится на 13 например, применив следующую теорему теории сравнений: "Пусть (m, 10) = 1, P(m) (10) = k и N записано в системе счисления с основанием 10. Число N делится на m тогда и только тогда, когда на m делится сумма чисел, которые получаются при разбиении справа налево цифровой записи числа N на грани по k цифр в каждой грани". Примечание. Через P(m) обозначено P с нижним индексом m. К сожалению, данный способ требует проверки делимости числа 10^100 - 3 на большое количество простых чисел. Полагаю, что проще по индукции воспользоваться тем фактом, что: - число 10^1 - 3 является ближайшим простым числом, меньшим 10^1, - число 10^2 - 3 является ближайшим простым числом, меньшим 10^2, - число 10^3 - 3 является ближайшим простым числом, меньшим 10^3, ..., следовательно, число 10^100 - 3 является ближайшим простым числом, меньшим 10^100, и k = 3. !!! 104 - 3 = 9997 = 13*769 2. Можно воспользоваться способом, известным как решето Эратосфена, основанным на следующей теореме: "1) Если в множестве натуральных чисел 2, 3, 4, ..., N зачеркнуть числа, кратные первым r простым числам 2, 3, ..., p(r), то первое (наименьшее) незачеркнутое число будет простым. 2) Если вычеркнуть все числа, кратные всем простым числам до sqrt N, то есть выбрать r так, что p(r) <= sqrt N < p(r +1), то оставшиеся числа будут совпадать с множеством всех простых чисел, таких, что sqrt N < p <= N". Можно воспользоваться теоремой Вильсона: "Число p является простым тогда и только тогда, когда оно является делителем числа (p - 1)! + 1". Весь вопрос в том, насколько эти критерии подходят для практических вычслений... Примечание. Через p(r) обозначено число p с нижним индексом r. Поделюсь следующим соображением. Обе задачи, по существу, сводятся к факторизации чисел n, то есть к их представлению в каноническом виде. Общий метод факторизации заключается в том, что n пробуют делить последовательно на простые числа 2, 3, 5, ..., p(r) <= sqrt n до тех пор, пока не найдется простое число p, такое, что n делится на p. Если такое число не найдется, то n - простое число. Стало быть, применительно к задаче 1, необходимо факторизовать число 10^100 - 3. Если его удастся факторизовать, то оно не является простым, и следует п ерейти к числу 10^100 - 7 !!! 10100 - 7 делится на 3 (число 10^100 - 5 не является простым, поскольку 10^100 - 5 = (2*5)^100 - 2 = 5*((5^99)*(2^100) - 1) делится на 5) и так далее. Для факторизации необходимо число 10^100 - k делить на простые числа 3, 7, ..., p(r) < 10^50. Конечно, профессиональный математик дал бы более рациональный ответ... С уважением. ----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель (Профессор) ∙ Дата редактирования: 08.06.2008, 22:03 (MCK) --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 08.06.2008, 20:51

Вопрос № 139.427

Здравствуйте эксперты, помогите пожалуйста решить задачу:Пусть вектора a(1,1,1) ,b(1,2,-1),c(-1,2,0) образуют базис пространства.Найти координаты вектора d в этом базисе,если известно Бчто вектора a,b,d компланарны и в исходном ортонормированном базисе вектор d имеет координаты (2,-1,Х)

Отправлен: 07.06.2008, 11:59 Вопрос задал: Bak2bak Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Bak2bak! Решение. Находим неизвестную координату X вектора d в исходном ортонормированном базисе. Поскольку векторы a, b, d компланарны, то их смешанное произведение равно нулю, то есть равен нулю определитель delta = 1___1___1 1___2__-1 2__-1___X = 1*(2*X - (-1)*(-1)) - 1*(1*X - 2*(-1)) + 1*(1*(-1) - 2*2) = 2*X - 1 - X - 2 - 1 - 4 = X - 8 = 0, следовательно, X = 8, и d = 2*i + (-1)*j + 8*k = (2; -1; 8). Для нахождения координат вектора d в заданном базисе представим этот вектор в виде d = x*a + y*b + z*c. Это равенство равносильно следующим равенствам: 2 = x + y - z, -1 = x + 2*y + 2*z, 8 = x - y. Решая полученную систему, находим x = 5, y = -3, z = 0. Итак, d = 5*a - 3*b + 0*c, вектор d в заданном базисе имеет координаты x = 5, y = -3, z = 0. Ответ: x = 5, y = -3, z = 0. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 08.06.2008, 22:06

Вопрос № 139.505

Здравствуйте уважаемые эксперты. Помогите пожалуйсто понять, как находятся производные второго порядка, по возможности на моем примере. Сто раз читала теорию, но применить ее никак не получается. Задание: Найти dy/dx и d^2y/dx^2 (д квадрат У по дх квадрат). а) y=ln cos2x б) y=e^sinx Решение: а) dy/dx=1/cos2x-sin2x*2= 2tg2x б) dy/dx= e^sinx*cosx

Отправлен: 08.06.2008, 04:37 Вопрос задала: Неваляшка (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Неваляшка! Находим первые производные: а) y' = (ln cos 2x)' = (1/cos 2x)*(cos 2x)' = (1/cos 2x)*(-sin 2x)*(2x)' = = -2*(sin 2x)/(cos 2x) = -2*tg 2x (проверьте знак!); б) y' = (e^sin x)' = (e^sin x)*(sin x)' = (e^sin x)*cos x. Находим вторые производные (то есть производные от первых производных): а) y" = (-2*tg 2x)' = (-2)*(1/(cos 2x)^2)*(2x)' = -4/(cos 2x)^2; б) y" = ((e^sin x)*cos x)' = (e^sin x)'*cos x + (e^sin x)*(cos x)' = (e^sin x)*(cos x)^2 + (e^sin x)*(-sin x) = (e^sin x)*((cos x)^2 - sin x). Кстати, d^2 y/dx^2 читается "дэ два игрек по дэ икс дважды". С уважением. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 08.06.2008, 22:46 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Mr. Andy, большое Вам спасибо, теперь все ясно и понятно.

© 2001-2008, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале ∙ Версия системы: 4.99 RC 5.0 от 08.07.2008
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru