RFpro.ru: Консультации по физике
Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Физика
Вопрос № 182774: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Камень бросают через забор высотой H на расстоянии от точки броска L (H и L произвольные переменные величины , те забор может быть высотой 1 см на расстоянии километр или 1 м на расстоянии 1 см ). Найти... Вопрос № 182774:
Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Камень бросают через забор высотой H на расстоянии от точки броска L (H и L произвольные переменные величины , те забор может быть высотой 1 см на расстоянии километр или 1 м на расстоянии 1 см ). Найти Vo минимальную при которой камень перелетит через забор (угол не задан, те в ответе его быть по идее не должно)
Отправлен: 07.04.2011, 17:30 Отвечает Roman Chaplinsky / Химик CH (Модератор) : Здравствуйте, bestwick! Необходимо, чтобы траектория на расстоянии L пролегала на высоте H. Пусть время полёта до забора t Тогда горизонтальная скорость равна vx=L/t При этом высота в момент пролёта над стеной H=vyt-gt2/2 Выразим вертикальную скорость vy=(H+gt2/2)/t=H/t+gt/2 Нас интересует полная начальная скорость. Выразим её квадрат v02=vx2+vy2=(L/t)2+(H/t+gt/2)2=(L2+H2)/t2+gH+g2t2/4 Чтобы найти минимум, найдём производную (v02)'=-2(L2+H2)/t3+g2t/2=0 g2t/2=2(L2+H2)/t3 g2t4=4(L2+H2) t=4√(4(L2+H2)/g2) v02=(L< sup>2+H2)/(√(4(L2+H2))/g)+gH+g2√(4(L2+H2))/4g= =g√(L2+H2)+gH v0=√(g(H+√(L2+H2))) Если возникнут вопросы, обращайтесь в мини-форум. ----- Никогда не просите у химика просто СОЛЬ...
Ответ отправил: Roman Chaplinsky / Химик CH (Модератор)
Отвечает Алексеев Владимир (Профессор) : Здравствуйте, bestwick! Эта любопытная задача имеет 2 метода решения в зависимости от соотношения высоты забора H к расстоянию L от точки броска. Уточним границы для высокого забора: Поскольку толщина забора не задана, считаем его бесконечно тонким. Поэтому, горизонтальная составляющая скорости ПРЕОДОЛЕНИЯ толщи забора не заботит нас. Лишь бы камень долетел до вершины забора. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Осмысливаем решение от обратного: лежачий камень падает с забора с ускорением G земного притяжения. Высота забора связана с временем падения T простой формулой: H=GT2/2 . Значит, за время равноускоренного падения T=√(2H/G) камень достигнет скорости Vy=GT=√(2GH) . Вот с такой скоростью и надо бросить камень, чтоб он из-под забора долетел до его вершины. Если расстояние L от точки броска до забора больше нуля, то необходимо, чтоб за время T камень преоделел расстояние L. То есть горизонтальная составляющая скорости Vx=L/T=L 730;(G/(2H)). Искомая минимальная скорость броска находится как геометрическая сумма её вертикальной и горизонтальной составляющих: Vo=√(Vy2+Vx2])=√(2GH+L2G/(2H)) Кому интересен угол броска, его можно вычислить как arctg(Vy/Vx) = arctg(2H/L) . При достаточно высоком заборе полученная формула описывает траекторию полёта, в которой максимальная высота совпадает с высотой забора. Но представьте далёкий низенький забор, требующий огромной скорости камня для исполнения подобной траектории "настильной" стрельбой! В этом случае гораздо экономнее подбросить камень "покруче" (~45°, как упомянул в минифоруме эксперт cradlea), чтобы камень взлетел выше забора, и перемахнул его уже на фазе спуска. Метод2: До низкого (далёкого) забора камень долетает за время T=L/Vx . При оптимальной дальнобойной стрельбе (под 45°) начальная вертикальная и горизонтальная составляющие скорости равны. Подставим это время T= L/Vy в формулу, связывающую высоту забора с вертикалной составляющей скорости H=VyT-GT2/2 , получим H=VyL/Vy-GL2/(2Vy2) Умножим обе части уравнения на 2Vy2 избавиться от знаменателя: 2HVy2=2LVy2-GL2 Группируем искомую неизвестную в левую часть: Vy2(2H-2L)=GL2 , откуда Vy2=GL2/(2(L-H)) Искомая минимальная скорость броска находится снова как геометрическая сумма её вертикальной и горизонтальной составляющих, которые в данном случае равны: Vo2=Vy2+Vx2=2Vy2 Подставляем значения Vo=√(2GL2/(2(L-H))) = L√(G/(L-H)) Где же граница этих 2х методов? Найдём её при условии, удовлетворяющем обоим вариантам, когда камень, брошенный под углом 45°, достиг высоты забора в макси-высокой точке траектории (а не на спуске). В этом случае начальная вертикальная и горизонтальная составляющие скорости равны, L=VxT=VyT= √(2GH) * √(2H/G) = 2H . Итак, высокий (близкий) забор (выше L/2) преодолеваем "навесной" стрельбой по методу 1, а низкий (далёкий) забор (высотой от 0 до L/2) - дальнобойной стрельбой под углом в 45 - 48° по методу 2. Прилагаю также метод итераций ("стрельба" в 182774Итерации.xls). Успехов! PS: Я "пострелял" в файле 182774Итерации.xls и убедился, что Ответ N1/266590 от Roman Chaplinsky всё-таки верный, изящный и точный (в моём погрешность в 1 - 3 градуса). Была мысль удалить свой Ответ (он - воплощение инженерного подхода, когда не осязая высшей математики надо быстро обеспечить приемлимую точность). Я оставляю его как подтверждение того, что Roman Chaplinsky - настоящий Академик! ----- Жизнь - это творчество!
Ответ отправил: Алексеев Владимир (Профессор)
Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) : Здравствуйте, bestwick! Решение задачи, предложенное в первом ответе, можно дополнить нахождением угла α наклона траектории камня к горизонту в момент бросания. Полагаю, что это можно сделать, используя закон сохранения механической энергии. Положим потециальную П0 энергию камня в момент бросания равной нулю. Тогда в точке над забором получим П1 = mgH. Соответственно для кинетической энергии получим выражения K0 = mv02/2, K1 = (mv02cos2 α)/2. Тогда K0 + П0 = K1 + П1, mv02/2 + 0 = (mv02cos2 α)/2 + mgH, откуда после тождественных преобразований и подстановки ранее найденного значения начальной скорости v0 находим α = arcsin √(2H/(H + √(L2 + H2))). С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор)
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Калашников О.А. | Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2011.6.31 от 03.04.2011 |
| В избранное | ||
