Сегодня будем разбирать эффективные приемы решения систем уравнений в тестах. По техническим причинам я вынужден записывать системы уравнений без традиционной фигурной скобки.
Пример 1. Решите систему уравнений 31 + log3(x + y)= 6x и 3х2+ 2y= 27.
Мои читатели, наверное, знают, что решать такие системы в процессе сдачи ЕГЭ или ЕНТ необязательно. Достаточно проверить предлагаемые для выбора ответы на достоверность путем их подстановки в данную систему.
Но это задание составлено так,
что делать полную проверку данной системы по этим ответам необязательно. Нетрудно заметить, что только пары чисел,
приведенная в ответах D и Е удовлетворяет второму уравнению данной системы. При этом для ответа Е имеем x + y = 0
(а это недопустимо). Значит D - правильный ответ.
Поэтому напрашивается полезный практический вывод: проверку ответа в системе уравнений следует начинать с простейшего уравнения. Такой подход обязательно приведет к экономии дефицитного времени на экзамене.
Вот еще одно задание, с которым, я уверен, Вы справитесь самостоятельно.
Пример 2. Решить систему уравнений|х + y| + 2y = 1 и х + y = 3.
A) (10; 5);
B) (0; -5);
C) (10; -5);
D) (5; -3);
E) (2 ; 5) .
Мы же рассмотрим более трудное задание.
Пример 3. Дана система уравнений х2+ xy = 3/4 и х/y + 1 = 3/2. Найти хy.
A) 1/2;
B) 1/3;
C) 1/5;
D) 1/4;
E) 5/6.
Да, здесь трудно сыграть на оплошности составителей задания. Придется искать другой подход. Зададимся вопросом: "Нельзя ли комбинируемая выражения х2+ xy и х/y + 1 сразу получить хy?". Присмотревшись внимательно к этим выражениям становится ясно,
что разделив х2+ xy на х/y + 1 мы получим хy. Так как, 3/4 : 3/2= 1/2, то правильный ответ А.
Вот еще одно задание такого же рода.
Пример 4. Пусть
(хо; yo) - решение системы уравнений
y - 3 = (x2 - 12x + 36)1/2и 3х - y = -1. Найдите сумму хо+ yo.
Это задание ЕГЭ из раздела В. Поэтому ответов для выбора правильного из них нет.
Как же нам без больших усилий и траты времени одолеть это задание? Если бы я сказал,
что нет ничего проще, то обманул бы Вас. Здесь придется попотеть.
Во-первых, задания такого типа (В)
предполагают либо целые ответы, либо десятичную дробь. Но не в коем случае, выражение типа√2 +√6. Поэтому попытаемся найти целые решения данной системы путем подбора.
Из первого уравнения следует,
что y≥ 3. Если y = 3, то из второго уравнения следует,
что х - не целое число. Если y = 4, то из того же второго уравнения следует, что х = 1. Однако пара (1; 4) не удовлетворяет первому уравнению.
Понятно, что, так как y = 3x + 1, то лучше подбирать значение х, а y вычислять из того же второго уравнения. Так, если x = 2, то y = 7. При этом пара (2; 7) удовлетворяет первому уравнению. 2 + 7= 9 -
правильный ответ. Вот и все, как говорится не боги горшки обжигают. Однако и горшки обжигать тоже надо учить. Что я и делаю.
Предлагаю читателям самим выполнить следующее задание.
Пример 5. Пусть (хо; yo) - решение системы уравнений
(9 - 6x + х2)1/2- y = 3 и 2х - y - 3 = 0. Найдите сумму хо+ yo.
Статья
Здесь я решил поместить свою полемическую статью о роли репетитора в современной школе. Многие учителя занимаются репетиторством, а школьники пользуются их услугами. Плохо это или хорошо? На этот вопрос хотелось бы получить однозначный
ответ всем. Особенно школьникам. Они должны понимать, что им нужно ждать от школьного учителя, репетитора и в соответствие с этим правильно и сознательно относиться к труду школьного учителя.
НЕСКОЛЬКО СЛОВ О РЕПИТИРОРСТВЕ
Испокон веков существовали репетиторы. Вспомните дореволюционные годы, описанные у А. П. Чехова, когда бедный юноша давал частные уроки математики сыну богато купца. Во многих произведениях говориться о частных уроках иностранного языка. Каждая эпоха называла
репетитора своим именем и выражала свое отношение к нему. В советские времена, когда все стали одинаково обеспечены,
начались вялотекущие гонения на репетиторов. Да и сейчас можно услышать громкие заявления о том, что та или иная школьная программа или учебный проект позволяет школьникам не прибегать к услугам репетиторов. Так ли это?
Автору этих строк, педагогу по профессии, неоднократно приходилось спрашивать школьников: "С какого урока идете ребята?", "Что нового Вы узнали на этом уроке?". Если на первый вопрос ответ знали все, то на второй вопрос могли ответить немногие. Каждый, будь-то школьник или взрослый
может вспомнить себя, как он скучал на нелюбимых уроках и как бодро вскакивали с мест учащиеся при первых звуках долгожданного школьного звонка с урока. Современные школьники также как учащиеся прошлых лет привыкли на многих на уроках быть пассивными, в лучшем случае тихо отсидеться, а в худшем случае заняться своими делами, а в крайних случаях даже мешать учителю. Каким бы внимательным не был школьный учитель, проследить за всеми невозможно.
Попробуем теперь эти же вопросы задать ученику, идущему с занятия
с репетиром. Да он вам не только расскажет, каким предметом он занимался, но и, не задумываясь, вспомнит, как с ним занимался репетитор, какие вопросы он ему задавал, на какие он смог ответить, и в чем у него были затруднения и что ему следует сделать, чтобы снять эти затруднения.
Какая поразительная разница! Там и тут те же 45 минут занятий. В первом случае 45 минут для некоторых учеников пропадают напрасно. Однако практически ни одно занятие с репетиром не бывает напрасным. В чем же причина этого, феноменального
на первый взгляд, явления? Вот бы также организовать обучение в общеобразовательной школе да со всеми учащимися!
Секрет этого явления весьма прост. В школе обучение опирается в основном на классно-урочную систему, которая, как известно,
предполагает на каждом учебном занятии одного учителя и 20-30 учащихся. Занятие с репетитором осуществляется в индивидуальной форме, в крайнем случае, один учитель на двух-трех учащихся.
Чтобы ни говорили, а неуспеваемость учащихся - это издержки классно-урочной системы обучения. Не виноват в этом школьный учитель. Он не может построить свой школьный урок под индивидуальный психологический тип каждого ученика. Все его уроки рассчитаны на так называемого "среднего" ученика. Такого ученика в классе может
и не оказаться.
В этой статье мы не пытаемся указать пути выхода из этого противоречия. Эти пути давно известны, многие из них не реальны или опираются на
"спонсорство" со стороны учителя в виде бесплатных занятий с так называемыми отстающими учащимися. Этим очень часто злоупотребляют, забывая о том, что учитель все времена был не богат ни временем для подготовки к урокам и для самообразования, а зарплате и говорить не стоит.
Индивидуальное обучение по системе репетитора - это наиболее эффективный способ организации обучения, предполагающее,
интенсивную интеллектуальную работу и напряжение не только со стороны учителя, но и в значительно степени со стороны ученика. Занятия с высокой мотивацией к обучению ведут, как правило, к высоким результатам. А как же иначе?
Индивидуальное преподавание предполагает достижение главной цели - глубокое понимания учеником каждой из изучаемых тем.
Мне много раз приходилось беседовать с учителями,
которые заминаются репетиторством. И не от праздного любопытства спросил их: "Что труднее проводить: школьный урок или занятие по репетиторству?". Казалось бы, что занятие по репетиторству не должно было вызывать таких огромных затруднений со стороны учителя. Ведь на школьном уроке учитель должен одновременно следить за многим и многими. Однако на практике многие говорят, что школьный урок проводить намного легче, чем занятие по репетиторству.
Думаю, что внимательный анализ позволит найти причину этого.
Остановлюсь только на том,
что при индивидуальном занятии все профессиональные ресурсы учителя направлены на конкретного ученика. Каждое его непонимание, затруднение мгновенно фиксируется и осуществляется своевременная коррекция. При классно-урочной системе обучения этого не происходит. Да и ожидать таких результатов от школьного обучения нельзя. Такова система и ее надо принимать как данность. Ведь не требуем же мы от велосипеда возможностей самолета.
К сожалению, у многих бытует мнение об учителях-репетиторах, как о людях с низкой
профессиональной квалификацией, которые и только и делают, что паразитируют на нуждах родителей и их детей. Да,
встречаются иногда нечестные, непорядочные репетиторы, но их деятельность весьма не продолжительна. Учитель со слабыми знаниями по своему предмету вряд ли возьмется за репетиторство, так как это быстро обнаружится и приведет к конфликту с заказчиком. Учитель-репетитор не может напрасно получать деньги с родителей, так как его халтура обнаружится в самое ближайшее время: в школе, где учится ученик. Как правило, репетиры - это педагоги с высоким профессиональным уровнем подготовки. 45 минут индивидуальных занятий
требуют неимоверных затрат со стороны учителя. Для того чтобы каждую секунду держать своего подопечного в поле зрения, мгновенно прийти ему на помощь в случае затруднений и не дать ему возможности топтаться на месте в случае успеха, оперативно изменять ход и темп урока нужно быть очень большим профессионалом своего дела.
Однако даже те, кто многие годы хвалили школу с ее коллективной системой обучения, считая, что она дает на сегодняшний день достаточно глубокие знания, не подстраиваясь под возможности
каждого ребенка, в крайних случаях обязательно обращаются за помощью к грамотному репетитору.
Понять тех, кто пользуется услугами репетиторов можно. Не поленюсь повторить, что современная школа не может учить каждого,
особенно того, кто сам не хочет учиться или безразличен к обучению. Таковых, к сожалению, еще много. В последнем случае даже репетитор бессилен. В большинстве случаев занятия с репетиторами приносят наибольший успех с теми учащимися, которые заинтересованы в получении глубоких и прочных знаний, но имеют, как принято говорить глубокие пробелы. Такие учащиеся, не смотря на то, что репетиторство не может опираться на поощрение в виде школьных баллов,
положительные образцы для подражания прилагают все усилия для получения знаний, умений и навыков. Может быть,
ориентация только на свои возможности и на своевременную,
доброжелательную и терпеливую помощь со стороны репетитора тому причина. Наверное, причины это положительного явления в каждом индивидуально случае свои. Общий же залог успеха - это система индивидуального обучения.
Сколько помню себя, я уже работаю в школе более 30 лет,
репетитор всегда был презираем со стороны властных структур,
по крайней мере, с официальных трибун. Его ругали и ругают все: родители, которые не могут или не хотят достойно оплатить труд репетитора, чиновники всех рангов и мастей
"защищают" школьников от натаскивания детей репетиторами к различного рода конкурсам и экзаменам.
Относительно последнего: натаскивания. Не школа ли натаскивает основную массу учащихся. Вспомните, так называемые ЗУНы (знания,
умения, навыки). Что у нас все учащиеся - победители школьных олимпиад? Победители этих олимпиад - это те,
кого принято называть творчески развитыми (не натасканными)
детьми. Таковыми являются немногие. А остальные - обычные,
не попавшие под этот стандарт. Чем плох такой почти ругательный термин "натаскивание", предполагающий длительное выполнение однообразных операций до тех пор, пока ученик чему-либо не научится. Всем известно, что не сваришь вкусного обеда без долгой предварительной тренировки. А так называемая функциональная грамотность? Ведь без длительной тренировки не наберешь на клавиатуре компьютера даже одного или двух предложений.
Как и в школе, репетитору приходится одних натаскивать, а других развивать. Однако
у репетитора очень часто, по крайней мере, чаще, чем в школе, так называемое натаскивание, переходит в разряд развития. Это не единичное явление, а закономерность. Если в школе учитель должен заботиться обо всех, то репетитор заботится только об одном ученике. У репетитора есть возможность поднять своего ученика с подножья горы до вершины. У школьного учителя такой возможности нет. Вот почему у репетитора есть больше возможностей для развития учащихся.
Труд учителя-репетитора на сегодняшний день не организован
и не защищен. Репетиторство, как правило, осуществляется негласно,
с нарушением законов о налогообложении. На мой взгляд, стоит узаконить институт репетиторства. Нужно освободить учителей,
занимающихся репетиторством от уплаты налогов. Не могу сказать, чем можно заставить репетиторов заплатить налоги. Ведь это явление репетиторства уже давно существует, и будет существовать стихийно. Думаю, что с этим явлением де-факто все уже согласились, а ругают репетиторов только для приличия. Поэтому пора уже государству признать репетитора де-юре и сделать что-либо для защиты его полезного для общества труда.
Наше общество никогда не будет однородным. Всегда были, есть и будут такие родители,
которые могут обеспечить более высокие знания своим детям с помощью репетиторов. Они прекрасно понимают, что групповая форма занятий с разнообразным набором интересов учащихся не заменит индивидуальных занятий. Однако за репетиторство приходится платить и порой не малые деньги. При этом есть те, кто могут это делать и те, кому это не по карману.
Пора всем честно признаться, что в нашем обществе есть такие инструменты, которые могут компенсировать недостатки одной системы обучения другой системой. Те,
кто не смогли получить знаний в школе могут порой с лихвой компенсировать это у репетиторов. Ждать одинаковых материальных благ и возможностей для всех не следует. Значит и образовательные услуги для более обеспеченных родителей будут значительно шире.
Боюсь, что многие поймут меня с "классовых
"позиций. Мол, богатый будет все богаче, а бедный все беднее и необразованей. Это не так. Просто в обществе должен быть широкий, конкурирующий образовательный спектр услуг. Помните знаменитую фразу из кинофильма: "В обществе, где нет возможности выбора цвета штанов, не может быть прогресса"!
Так и в образовании. Нужно сделать так, чтобы одни и те же знания можно было получить как в школе, так и у альтернативных для школы репетиторов. Кто не смог сделать это в бесплатной школе должен с пониманием и с благодарностью платить репетитору. Те же, кто не может этого сделать, должны получать знания в школе, а там эти знания дают и неплохие.
Школам и репетиторам пора уже сотрудничать на деловой основе. Приведем один из примеров, который фактически уже реализован. Ученик, который не смог по каким то
причинам усвоить в школе определенную порцию учебного материала,
должен, на наш взгляд, позанимавшись с репетитором иметь возможность пройти официальную аттестацию по этой теме. Соответствующее обеспечение для этого уже есть: существуют обязательные, базовые результаты обучения по всем школьным дисциплинам, есть педагоги, которые могут это сделать. Фактически это уже делается, но только подпольно, во время каникул, учителя и ученики занимаются, а затем выправляет оценки в журналах. Все это пора выводить из подполья и официально признать и разрешить, пусть даже на платной
основе. Нельзя жить по двойным стандартам: по гласным и негласным правилам.
Однако никто не желает понять,
что репетиторство - это вторая сторона медали школьного обучения. Школа и репетиторство, хотим мы этого или нет, уже существуют одновременно. Как бы ни пытались индивидуализировать школьное обучение, практически этого сделать для всех учащихся при коллективной, школьно-урочной форме обучения невозможно, а если это удается сделать, то,
как правило, для тех детей, которые и так имеют высокий рейтинг обучения. За бортом остается, как принято называть,
тот же средний и слабый ученик. И не надо искать в этом причину в материальном обеспечении их родителей. Такой закономерной связи нет.
Таким образом, репетитор - не враг школы и общества. Просто интересы школы и репетитора,
их возможности не всегда совпадают. Школа обучает всех, а репетитор - немногих. Это инь и янь одного и того же бытия.
Полезная ссылка
Методические материалы к урокам математики (http://education.kudits.ru/homeandschool/data4/lesson/lection0.htm) - материалы образовательного центра КУДИЦ, г.Москва. Здесь учитель математики может получить разнообразную информацию:
от календарных планов до конкретных разработок уроков до целых тем школьного курса математики. Уверен, что этот Сетевой проект будет полезен учителям, имеющим различные потребности. Желающим получить готовый для использования учебный материал предоставлен большая база для скачивания. Не забыты и те, кто хотел бы рассмотреть различные теоретические и технологические концепции преподавания математики.
Урок химии. Учительница спрашивает: - Леночка, какова цвета у тебя получился раствор? - Красного. - Молодец,
5. - Вовочка, а у тебя? - Черного... - ЛОЖИСЬ!!! 2!!! Если у Вас есть интересные материалы, вопросы и др., то пишите по адресу egeent"собачка" (замените "собачка"
на @) bk.ru. До новых встреч! 2007 При перепечатке, цитировании и другом использовании материалов ссылка на Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ обязательна.
