Сегодня мы рассмотрим тему "Арифметическая и геометрическая прогрессии в тестах".
Пример 1. В геометрической прогрессии n = 6, q
= 0,5,
bn= 3. Найдите первый член прогрессии, сумму n ее
первых членов. A) b1= 96, S6= 189;
В) b1= 64, S6= 126;
С) b1= 32, S6= 63;
D) b1= 16, S6= 63/2; Е) b1= 48, S6= 192/2.
У этого задания есть много решений. Например, можно двигаться от
ответа А к условию так: b1= 96,
b6= 96·(0,5)5= 96/32 = 3. Полученное
число 3 соответствует условию задачи (bn= 3). Значит
правилный ответ А.
А вот еще одно решение этого задания. Так как b6= 3, то
b5= b6/q = 3/0,5 = 6, b4= b5/q = 6/0,5 = 12,
b3= b4/q = 12/0,5 = 24,
b2= b3/q = 24/0,5 = 48,
b1= b2/q = 48/0,5 = 96. Значит правильный
ответ А. Это решение основано на движении от условия к ответу.
Интересно, что в обоих решениях мы не стали вычислять S6.
В этом нет необходимости. Экономия времени на экзамене - дело
важное.
Пример 2. В арифметической прогрессии а1= 5,
аn= -163; d = -7. Найдите число ее членов и
сумму n первых членов.
A) n = 25, S25= -1975;
B) n = 9, S9= 1321;
C) n = 10, S10= 960;
D) n = 11, S11= -1625;
E) n = 12, S12= -1423.
Сразу же заметим, что искомая сумма n первых членовв соответствие в предложенными ответами (значениями n)
должна быть отрицательной. Поэтому ответы В и С явно неверные.
Теперь надо выбрать только один их трех ответов А, D и Е.
Чтобы из числа а1= 5 получить аn= -163 надо к числу
5 прибавить число -7 более 20 раз (аn= а1+
d(n - 1)). Поэтому ответы D и Е также следует отбросить. Остается
правильный ответ А.
Статья
А теперь критическая статья. Уверен, что она полезна не только учителю математики.
Школьники, прочитав ее, получат пример того, как надо профессионально читать учебную литературу,
проверяя каждое утверждение автора, и, возможно, находить ляпы в пособиях.
ОШИБКА В ШКОЛЬНОМ УЧЕБНИКЕ
В учебном пособии Алгебра: Дополнительные главы к школьному
учебнику 8 класса. - М.: Просвещение, 1996 на стр. 145
приведен такой пример. Пример 3. Найдем, при каком значении q уравнение х2- x + q = 0
имеет корни, сумма квадратов которых равна 25. Здесь же показывается ее "образцовое" решение.
Пусть a, и b - корни уравнения. Тогда, используя условие
задачи и формулы Виета, можно составить систему уравнений: a2+ b2= 25, a + b = 1.
Решив эту систему уравнений способом подстановки, мы можем найти
корни уравнения a и b, а затем вычислить их произведение, равное q.
Однако, учитывая то, что нас интересуют не сами корни, а только их
произведение, мы можем решить задачу проще.
Возведем обе части второго уравнения в квадрат. Получим: a2+ 2ab + b2= 1.
Заменив в этом равенстве сумму a2+ b2числом 25, будем
иметь: q = -127. Отсюда ab= -12.
Ответ: q= -12.
Все ли в этом решении правильно? Может, нужна проверка решения
задачи, т. е. решение уравнения х2- x - 12 = 0, а
затем вычисление суммы и суммы квадратом найденных корней?
Такая проверка только подтверждает правильность авторского решения.
Наверное, в учебнике все в порядке. Ведь писали же его специалисты.
Но возникает и другой вопрос: "Проверка - это необходимый логический элемент
или просто подстраховка от случайных вычислительных ошибок?".
Ответ на этот вопрос найдем, решив аналогичную задачу. Задача. Найти, при каком значении q уравнение х2+ 5x + q = 0
имеет корни, сумма квадратов которых равна 11.
Пусть a, и b - корни уравнения. Тогда a2+ b2= 11 и a + b = -5.
Так как a2+ b2= 11 и a2+ 2ab + b2= 25,
то 11 + 2ab = 25, ab = 7. Поэтому q = 7.
Выполним проверку. Окажется, что уравнение
х2+ 5x + 7 = 0 не имеет действительных корней. Значит,
их не имеет и наша задача.
Что же получается - мы полностью следовали за указаниями школьного
учебника и получили противоречие - с одной стороны q = 7, а с
другой стороны - такого q нет.
Все банально просто. Метод, предложенный в пособии логически
неверен, Это означает, что он иногда приводит к правильному
решению, а иногда к неправильному, то есть он не надежен.
Такими методами пользоваться в науке нельзя.
В науке нужны абсолютно надежные методы.
Наш контрпример косвенно доказывает, что проверка решения
данного типа задач - необходимый логический элемент ее решения.
При отсутствии этой проверки решение не может быть логически
правильным. Дадим и прямое обоснование нашего вывода.
Действительно, авторы цитируемого пособия писали: "Пусть a, и
b - корни уравнения", то есть предполагали, что данное уравнение
имеет действительные корни. Таким образом, условие
Примера 3может выполняться только при q = 7. При этом
никто не гарантировал, что при q = 7 данное уравнение имеет
решение. Поэтому и нужна проверка.
Следует признать, что в цитируемом пособии налицо логическая (значит и
математическая) ошибка. Доверяй, но и проверяй!
Полезная ссылка
"Фестиваль педагогических идей". "Открытый урок 2006-2007"
(http://festival.1september.ru/). Здесь учителя предметники
(не только математики) могут скачать и посмотреть конспекты
открытых уроков и другие статьи. Одних только конспектов уроков
математики 728. На Этом сайте так же есть также
архивы прошлых лет. Для учителя готовящего открытый урок этот
сайт - очень полезный источник информации.
Напоследок анекдот
В школе проводят викторину. Вопрос: - Кто написал сказку "Стойкий оловянный солдатик?" Дети хором: - Андерсон. - А полное имя автора? Одинокий голосок: - Ээээ... Памела Андерсон!? Если у Вас есть интересные темы, задачи, вопросы и др. по теме
рассылки, то пишите по адресу egeent"собачка" (замените "собачка"
на @) bk.ru, и я постараюсь осветить тему в следующем выпуске. До новых встреч!
