Стремление во что бы то не стало автоматизировать процесс
итоговой аттестации учащихся привело к тому, что в тестах ЕНТ (аналог ЕГЭ в Казахстане)
стали использовать только задания с 4-5
ответами для выбора, среди которых только один правильный.
Это, конечно, сказалось на качестве тестов. Школьники вместо
математических заданий стали получать ребусы и шарады,
которые отгадываются на досуге без применения серьезных
математических знаний. Вот о таких тестовых заданиях мы сегодня и
поговорим.
Пример 1. Решите уравнение 8b2 + 14 = 32b.
A) 0,5; 3,5;
B) -0, 5; 3,5;
C) 0,5; -3,5;
D) 0; 3,5;
E) -3,5; -0,5.
Предлагаю читателям решить эту задачу самостоятельно, но только
при этом нужно помнить, что тратить на ее решение следует не
более минуты (в Казахстане при проведении ЕНТ НА ЧЕТЫРЕ учебных
предмета отводится аж ТРИ астрономических часа времени!). Поэтому
применение формулы корней квадратного уравнения исключается.
Да и вычисления при помощи подстановки ответов в уравнение - излишняя трата времени.
Советую читателям прервать чтение и решить это задание без бумаги
и карандаша (ручки), как говорится, поглядел, увидел и нашел.
Если же кому-то эта задача оказалась не по зубам, то вот ее
"решение". 8b2 - 32b + 14 = 0. Значит сумма корней
этого уравнения равна 32/8 = 4. Отсюда и искомый ответ - А.
А вот еще одно задание на вынимание рыбки из пруда без труда.
Пример 2. Дана арифметическая прогрессия -18, -14, -10, … .
Укажите номер ее первого положительного члена.
A) 7;
B) 5;
C) 6;
D) 8;
E) 4.
Кажется странным, что в условие этой задачи включены непонятные
для любого прохожего слова "арифметическая прогрессия". Их можно
было бы заменить бытовым словом "последовательность", а лучше
житейским словом "ряд". Тогда от решения этой задачи не отказались
бы и двоечники-первоклассники.
Они ее решили бы так: -18, -14, -10, -6, -2, 2. … . Значит,
правильный ответ С.
Вы наверное заметили, что предыдущий материал получился немного
ехидным. Ну что поделать. Не могут у нас высокие начальники жить
на свете, чтобы не сделать что-то такое, чтобы выделить себя из
серой толпы, например, придумали ЕНТ и ЕГЭ. И так уж повелось, что их
их благими намереньями вымощена НАША дорога в ад. Об этом писали и
говорили специалисты еще на стадии введения этих ЕГЭ и ЕНТ.
Но кто их станет слушать. У нас в Казахстане, как и в России,
две беды: дороги и чиновники с "инициативой".
Теперь мой методический анализ учебного пособия. Его полезно прочитать и
школьникам, так как он формирует так называемый критический стиль
мышления. Это очень полезный стиль мышления нужный не только в
математике, но и в делах житейских, позволяет не попасться на
удочку всякого рода шарлатанов и проходимцев.
ЛОГИЧЕСКАЯ ОШИБКА В УЧЕБНИКЕ
В учебном пособии Алгебра: Дополнительные главы к школьному
учебнику 8 класса. - М.: Просвещение, 1996 на стр. 145
приведен такой пример. Пример 3. Найдем, при каком значении q уравнение х2 - x + q = 0
имеет корни, сумма квадратов которых равна 25.
Здесь же показывается ее "образцовое" решение.
Пусть a, и b - корни уравнения. Тогда, используя условие
задачи и формулы Виета, можно составить систему уравнений: a2 + b2 = 25, a + b = 1.
Решив эту систему уравнений способом подстановки, мы можем найти
корни уравнения a и b, а затем вычислить их произведение, равное q.
Однако, учитывая то, что нас интересуют не сами корни, а только их
произведение, мы можем решить задачу проще.
Возведем обе части второго уравнения в квадрат. Получим: a2 + 2ab + b2 = 1.
Заменив в этом равенстве сумму a2 + b2 числом 25, будем
иметь: ab = -12. Отсюда q = -12.
Ответ: q= -12.
Все ли в этом решении правильно? Может нужна проверка решения
задачи, т. е. решение уравнения х2 - x - 12 = 0, а
затем вычисление суммы и суммы квадратом найденных корней?
Действительно, такая проверка только подтверждает правильность авторского решения.
Но возникает и другой вопрос: "Проверка - это необходимый логический элемент
или просто подстраховка от случайных вычислительных ошибок?".
Ответ на этот вопрос найдем, решив аналогичную задачу. Задача. Найти, при каком значении q уравнение х2 + 5x + q = 0
имеет корни, сумма квадратов которых равна 11.
Пусть a, и b - корни уравнения. Тогда
a2 + b2 = 11 и a + b = -5.
Так как a2 + b2 = 11 и a2 + 2ab + b2 = 25,
то 11 + 2ab = 25, ab = 7. Поэтому q = 7.
Выполним проверку. Окажется, что уравнение
х2 + 5x + 7 = 0 не имеет действительных корней. Значит,
их не имеет и наша задача.
Что же получается - мы полностью следовали за указаниями школьного
учебника и получили противоречие - с одной стороны q = 7, а с
другой стороны - такого q нет.
Все банально просто. Метод, предложенный в пособии логически
неверен, Это означает, что он иногда приводит к правильному
решению, а иногда к неправильному, то есть он не надежен.
Наш контрпример косвенно доказывает, что проверка решения
данного типа задач - необходимый логический элемент ее решения.
При отсутствии этой проверки решение не может быть логически
правильным. Дадим и прямое обоснование нашего вывода.
Действительно, авторы цитируемого пособия писали: "Пусть a, и
b - корни уравнения", то есть предполагали, что данное уравнение
имеет действительные корни. Таким образом, условие
Примера 3 может выполняться только при q = 7. При этом
никто не гарантировал, что при q = 7 данное уравнение имеет
решение. Поэтому нужна проверка.
Следует признать, что в цитируемом пособии налицо логическая (значит и
математическая) ошибка. Доверяй, но и проверяй!
Напоследок анекдот:
Вовочка спрашивает у мамы:
- Мама, почему я самый высокий в классе?
- Так ты же УЧИТЕЛЬ!
Если у Вас есть интересные темы, задачи, вопросы и др. по теме
рассылки, то пишите по адресу egeent"собачка" (замените "собачка"
на @) bk.ru, и я постараюсь затронуть эту тему в следующем выпуске.
До новых встреч!
