Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 760 RSS
←   Апрель 2022   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

760 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Елена Васильевна
Статус: Профессионал
Рейтинг: 948
∙ повысить рейтинг » 		Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 541
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 45
∙ повысить рейтинг »

Математика

Номер выпуска:3036
Дата выхода:02.04.2022, 14:45
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:23 / 136
Вопросов / ответов:3 / 3

Консультация # 202484: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Сторона основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 6, а высота равна 3/(sqrt7). На рёбрах AC, A1C1 и BB1 расположены соответственно точки P, F и K так, что AP=1, A1F=3, BK=KB1. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки P, F и K, найдите площадь сечен...
Консультация # 202485: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: В основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD, ребро SD перпендикулярно основанию, SD=6, BD=3, AC=2. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку B, а другая – через точки A и C, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро...
Консультация # 202486: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Основание параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – квадрат ABCD. Известно, что AB=AA1=5, угол A1AB=угол A1AD=60*. Найдите длину диагонали BD1....

Консультация # 202484:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Сторона основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 6, а высота равна 3/(sqrt7). На рёбрах AC, A1C1 и BB1 расположены соответственно точки P, F и K так, что AP=1, A1F=3, BK=KB1. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки P, F и K, найдите площадь сечения и угол между плоскостью основания призмы и плоскостью сечения.

Дата отправки: 28.03.2022, 12:14
Вопрос задал: m_lisssaaa (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие: Длина ребра основания призмы AB = AC = BC = a = 6, высота h = 3 / √7 . AP = 1, A1F = 3 , BK = KB1 .
Вычислить площадь сечения S и угол м-ду плоскостью основания призмы и плоскостью сечения β .

Решение: Начертим призму в Декартовой системе координат OXYZ с таким разворотом, чтобы плоскость сечения была видна нам под наилучшим углом обзора (не боком). В начало координат поместим точку A(0; 0; 0).
В треугольнике ABC правильной треугольной призмы все углы равны α = π/3 = 60°. Sin(60°) = √3 / 2 .
Отмерим от точки A координаты прочих вершин призмы: A1(0; 0; h), B(a; 0; 0), B1(a; 0; h), C(a/2; a·√3 / 2; 0), C1(a/2; a·√3 / 2; h).

Поскольку AP = 1 = AC / 6 , то координаты точки P будут как 1/6 от координат вершины C, то есть P(a/12; a·√3 / 12; 0).
Тк A1F = 3 = a/2 , то XY-координаты точки F будут как 1/2 от XY-координат вершины C1, то есть F(a/4; a·√3 / 4; h) .
Точка K наследует координаты вершины B1, но с половинной аппликатой: K(a; 0; h/2) .
Сечение - плоскость β - имеет форму 5-угольника. Вычислять его площадь будем как сумму его 3х треугольников.
Для вычисления координат точек M и Q (на пересечении β с рёбрами AB и B1C1) надо сначала получить уравнение плоскости β .

Работаем по алгоритму учебной статьи "Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости? Задачи иРешения" Ссылка1 . Читаем: ВекторНормали плоскости β - это вектор, кот-й перпендикулярен этой плоскости. Вычисляем ВекторНормали как Векторное произведение. Вычисления очень громозкие и трудоёмкие, в них легко ошибиться. Чтоб избавить себя и Вас от ошибок, я делаю сложные вычисления в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад-скриншот с чертежом прилагаю. Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Маткад отображает формулы точно так же, как стандартные математические редакторы формул с некоторыми непривычными операторами. Поясняю их смысл, чтоб Вы не испугались:
Выражение Qx := Уравнение solve,x означает Решить Уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной x , а результат присвоить в переменную Qx .
Символ = - вывести на экран в числовом виде. Символ → - вывести на экран в символьном виде (имена переменных с операндами либо в виде простой, неокруглённой дроби).
Оператор stack(A, B, C, …) объединяет числовые данные в вектор/массив. Simplify - упростить.
Косой крест - Векторное умножение, Серединная точка - скалярное или обычное умнож ение.
Вы можете заменить мои вычисления любым удобным Вам способом (в тч используя OnLine-калькуляторы).

Ответ: площадь сечения равна 39/4 кв.ед, угол м-ду плоскостями основания призмы и сечения равен 30°.
Чертёж пришлось растянуть по вертикали, чтоб линии и надписи не сливались.
Я сделал в Маткаде проверку вычисления площади по формулам Герона, оба значения площади совпали. Если Вам нужен скриншот проверки (он тоже большой по размеру), я могу опубликовать его ниже.

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 02.04.2022, 02:13

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 29.03.2022, 13:23 Спасибо большое за помощь!
-----
Дата оценки: 31.03.2022, 17:16
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультация # 202485:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:

В основании пирамиды SABCD лежит ромб ABCD, ребро SD перпендикулярно основанию, SD=6, BD=3, AC=2. Сечения пирамиды двумя параллельными плоскостями, одна из которых проходит через точку B, а другая – через точки A и C, имеют равные площади. В каком отношении делят ребро SD плоскости сечений? Найдите расстояние между плоскостями сечений и объёмы многогранников, на которые пирамида разбивается этими плоскостями.

Дата отправки: 28.03.2022, 12:16
Вопрос задал: m_lisssaaa (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие: В пирамиде SABCD ребро SD перпендикулярно основанию ABCD, высота SD = H = 6 ,
Основание-ромб ABCD имеет диагонали BD = 3, AC = 2 .
2 параллельные плоскости сечения имеют равные площади и проходят одна ч-з точку B, а другая - ч-з диагональ AC.
Вычислить отношения отрезков ребра SD, разделенного сечениями, расстояние м-ду плоскостями сечений,
объёмы многогранников, на кот-е пирамида разделена плоскостями сечений.

Решение: Вспоминаем формулы школьной геометрии: Площадь Ромба : S = d1·d2 / 2 , где d1, d2 - его диагонали.
Объём пирамиды V = (1/3)·Sосн·h , где Sосн и h площадь основания и высота пирамиды соответственно.
Используем формулы из замечательной учебной статьи "Уравнение плоскости. Задачи иРешения" Ссылка1 .

Расстояние м-ду 2мя параллельными плоск остями
σ1 : A·x + B·y + C·z + D1 = 0 , σ2 : A·x + B·y + C·z + D2 = 0 выражается формулой:
ρ = |D2 - D1| / √(A2 + B2 + C2)

Расстояние от точки M0(x0 ; y0 ; z0) до плоскости σ : A·x + B·y + C·z + D = 0 выражается формулой
ρ(M0 ; σ) = |A·x0 + B·y0 + C·z0 + D| / √(A2 + B2 + C2)

А начинаем работу с чертежа. Четёж и вычисления я сделал в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Теперь надо согласно Усло вию приравнять площади обоих сечений. Однако, вычислять площадь 4х-угольника BQFM слишком трудоёмко на текущей стадии решения, поскольку при попытке получить координаты вершины M на пересечении ребра SA с плоскостью сечения β Маткад возвращает очень громоздкие выражения. Для упрощения решения предположим, будто треугольники BFM и BFQ равны, и вместо площади 4х-угольника используем удвоенную площадь треугольника BFQ . По окончании Решения у нас вместо имён переменных будут их числовые значения, и Маткад сделает проверку легко.
МаткадКонструкция Q := Уравнение solve,z означает: Решить уравнение, прописанное слева от solve относительно искомой переменной z, и затем присвоить полученный результат в переменную Q .
Оператор stack(A, B, C, …) объединяет числовые данные в вектор-столбец.
Ответ: ребро SD делится сечениями на 3 равные части.
Расстояние м-ду плоскостями се чений равно 1,2 ед. Объёмы 3х многогранников равны 1 , 4 и 1 ед3 соответственно, считая сверху-вниз. =Удачи!

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 01.04.2022, 15:04

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 01.04.2022, 07:17 Огромное спасибо!!!!
-----
Дата оценки: 01.04.2022, 07:28
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Консультация # 202486:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Основание параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – квадрат ABCD. Известно, что AB=AA1=5, угол A1AB=угол A1AD=60*. Найдите длину диагонали BD1.

Дата отправки: 28.03.2022, 13:05
Вопрос задал: m_lisssaaa (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие: Основание параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 - квадрат ABCD. AB = AA1 = 5, ∠A1AB = ∠A1AD = 60°.
Вычислить длину диагонали BD1 .

Решение: Чертим кособокий параллелепипед. Хитрость задачи в том, что базовое ребро AA1 имеет наклон в 2 направления OX и OY . И поэтому кажущаяся простота вычисления высоты фигуры как двукратное произведение длины ребра AA1 на sin(α) - ошибочна!

Однако, посмотрим на параллелепипед с боку, точно противоположного оси OY, и станем мысленно покачивать грань AA1D1D то в вертикальное положение, то наклонять на заданный угол α в сторону оси OY. Мы заметим, что проекция ребра AA1 на ось OX стабильна, НЕ меняется от угла наклона. Воспользуемся этой истиной для получения абсциссы вершины A1 :
A1x = A1·cos(α) = 5·(1/2 ) = 5/2 .

Проделаем то же самое, глядя на параллелепипед с боку, точно противоположного оси OX, и получим ординату вершины A1 :
A1y = A1·cos(α) = 5·(1/2) = 5/2 .

Зная 2 координаты вершины A1 и длину ребра AA1, вычисляем аппликату вершины A1.
Маткад-скриншот с чертежом и вычислениями прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Ответ: Длина диагонали BD1 равна 5·√3 ≈ 8,66 ед.

Интересно отметить, что если бы все грани параллелепипеда были квадратами, то диагональ BD1 имела бы точно такую же длину!
Наклон ребра AA1 в одну сторону OX увеличивает длину диагонали BD1, а второй наклон в сторону OY - уменьшает её.

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 02.04.2022, 05:46 Спасибо большое за помощь!!!
-----
Дата оценки: 02.04.2022, 05:58
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное