Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Март 2022   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Елена Васильевна
Статус: Специалист
Рейтинг: 865
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 34
∙ повысить рейтинг » 		Михаил Александров
Статус: Советник
Рейтинг: 33
∙ повысить рейтинг »

Математика

Номер выпуска:3029
Дата выхода:23.03.2022, 16:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:23 / 135
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 202365: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y0, y'(0)=y'0. y''-4y'+13y=26x+5; y(0)=1; y'(0)=0...

Консультация # 202365:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:

Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y0, y'(0)=y'0.

y''-4y'+13y=26x+5; y(0)=1; y'(0)=0

Дата отправки: 18.03.2022, 15:46
Вопрос задал: Вика Зотова (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Дано ДУ (Дифференциальное уравнение) y'' - 4·y' + 13·y = 26·x + 5
Вычислить частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1 , y'(0) = 0 .

Решение : Следуем алгоритму, рекомендованному в учебной статье по ниже-ссылке в мини-форуме.
Этап1 : Сначала ищем общее решение соответствующего однородного уравнения y'' - 4·y' + 13·y = 0 (обнуляем правую часть).
Составляем характеристическое уравнение λ2 - 4·λ + 13·1 = 0 . Решаем его. Получаем сопряжённые комплексные корни
λ1 = 2 + 3·i и λ2 = 2 - 3·i . Как толковать эти числа? Читаем предыдущий урок "Однородные ДУ 2го и высших порядков" Ссылка2 . Аннотирую : "Если характеристич-уравнение λ2 + p·λ + q = 0 имеет сопряжённые комплксные корни λ1 = α - β·i , λ2 = α + β·i (дискриминант D < 0), то общее решение однородного уравнения принимает вид:
y = eα·x·[C1·cos(β·x) + C2·sin(β·x)] , где C1 , C2 - константы".
В нашем случае α = 2 , β = 3 . Значит, наше общее решение: Y = e2·x·[C1·cos(3·x) + C2·sin(3·x)]

Этап2: Ищем решение НЕоднородного уравнения. Используем методический материал "Подбор частного решения НЕоднородного ДУ.pdf" Ссылка3
В таблице "В каком виде нужно искать частное решение…" в примере N2 находим u = A·x + B (я вынужден заменить исходное имя переменной y с тильдой на u изза ограничени й сервера rfpro.ru)

Вычислим первую и вторую производные: u' = (A·x + B)' = A , u'' = (u')' = (A)' = 0
Подставим u, u' и u'' в левую часть нашего НЕоднородного уравнения:
u'' - 4·u' + 13·u = 0 - 4·A + 13·(A·x + B)
К полученной левой части приписываем знак "=" и правую часть исходного ДУ : -4·A + 13·A·x + 13·B = 26·x + 5
Приравняем коэффициенты при соответствующих x-степенях и составим систему линейных уравнений:
13·A·x = 26·x , -4·A + 13·B = 5 , из которой получаем: A = 26/13 = 2 , B = 1 ⇒ u = 2·x + 1

Этап3 : Просто запишем общее решение НЕоднородного уравнени как сумму:
y = Y + u = e2·x·[C1·cos(3·x) + C2·sin(3·x)] + 2·x + 1 , где C1, C2 - const .

Этап4 : Найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0) = 1 ; y'(0) = 0.
y(0) = e2·0·[C1·cos(3·0) + C2·sin(3·0)] + 2·0 + 1 прира вниваем к y(0) = 1.
Получаем 1·[C1·1 + 0] + 0 + 1 = 1  ⇒   C1 + 1 = 1  ⇒   C1 = 0

Затем вычисляем производную y' = (Y + u = e2·x·[0·cos(3·x) + C2·sin(3·x)] + 2·x + 1)' =
= 3·C2·e2·x·cos(3·x) + 2·C2·e2·x·sin(3·x) + 2
и y'(0) = 3·C2·e2·0·cos(3·0) + 2·C2·e2·0·sin(3·0) + 2 приравниваем к y'(0) = 0 .
3·C2·1·1 + 2·C2·1·0 + 2 = 0  ⇒   3·C2 + 2 = 0  ⇒   C2 = -2/3
Подставляем значения констант в выше-найденное общее решение и получаем
Ответ: частное решение равно y = 2·x - (2/3)·e2·x·sin(3·x) + 1

Проверка: Вычисляем производные:
y' = (2·x - (2/3)·e2·x·sin(3·x) + 1) = 2 - (4/3)·e2·x·sin(3·x) - 2·e2·x·cos(3·x)
y'& #39; = [2 - (4/3)·e2·x·sin(3·x) - 2·e2·x·cos(3·x)]' = (10/3)·e2·x·sin(3·x) - 8·e2·x·cos(3·x)
Подставляем их и частное решение в левую часть исходного уравнения:
y'' - 4·y' + 13·y = (10/3)·e2·x·sin(3·x) - 8·e2·x·cos(3·x) - 4·[2 - (4/3)·e2·x·sin(3·x) - 2·e2·x·cos(3·x)] + 13·[2·x - (2/3)·e2·0·sin(3·x) + 1] → 26·x + 5 - получена правая часть. Значит, проверка успешна!
Тема - трудная для многих. Если что-то непонятно, задавайте вопросы в ниже-мини-форуме.

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 19.03.2022, 12:19

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 19.03.2022, 07:08 Спасибо большое, сама только до середины примерно дошла. Будем разбираться!
-----
Дата оценки: 19.03.2022, 17:56
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное