Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Март 2022   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

epimkin
Статус: Профессионал
Рейтинг: 30
∙ повысить рейтинг » 		Михаил Александров
Статус: Советник
Рейтинг: 22
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 22
∙ повысить рейтинг »

Математика

Номер выпуска:3024
Дата выхода:15.03.2022, 16:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:23 / 135
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 202277: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию y(0) = y(не знаю как поставить маленький нолик, но он тут должен быть) y'=(x^2)+(y^2...

Консультация # 202277:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:


Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию y(0) = y(не знаю как поставить маленький нолик, но он тут должен быть)

y'=(x^2)+(y^2); y(0) = 2

Дата отправки: 10.03.2022, 15:45
Вопрос задал: Вика Зотова (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие : ДУ (Дифференциальное уравнение) : y' = x2 + y2 ; Начальное условие : y(0) = 2 .
Вычислить 3 первые отличные от нуля члена разложения в степенной ряд.

Решение : Берём за основу алгоритм, хорошо описанный в учебной статье "Как найти частное решени ДУ приближённо с помощью ряда?" Ссылка1 , где в Примере3 рассмотрено такое же, как у Вас ДУ с чуть другим Начальным условием.

Разложение частного решени y = y(x) ДУ при начальном условии y(x0) = y0 имеет общий вид:
y(x) = y(x0) + [y'(x0) / 1!]·(x - x0) + [y''(x0) / 2!]·(x - x0)2 + [y'''(x0) / 3!]·(x - x0)3 + …
В нашем случае: x0 = 0 , y(x0) = y(0) = 2 . При x0 = 0 общий ряд Тейлора вырождается в упрощённый ряд МаклОрена :
y(x) = y(0) + [y'(0) / 1!]·x + [y''(0) / 2!]·x2 + [y'''(0) / 3!]·x3 + …

Первая производная y' = x2 + y2 дана в Условии.
В правую часть y' = x2 + y2 подставим x = x0 = 0 , y = y(0) = 2 :
y'(0) = 02 + (2)2 = 0 + 4 = 4 ≠ 0 .

Вычислим вторую производную : y'' = (x2 + y2)' = 2·x + 2·y·y'
Подставим x = x0 = 0 , y = y(0) = 2 , y' = y'(0) = 4 :
y''(0) = 2·x + 2·y·y' = 2·0 + 2·2·4 = 0 + 16 = 16 ≠ 0

Вычислим третью производную : y''' = (2·x + 2·y·y')' = 2·x' + 2·(y'·y' + y·y'') = 2 + 2·[(y')2 + y·y'']
Подставим x = x0 = 0 , y = y(0) = 2 , y' = y'(0) = 4 , y'' = y''(0) = 16 :
y'''(0) = 2 + 2·[(y')2 + y·y''] = 2 + 2·(42 + 2·16) = 2 + 2·(16 + 32) = 2 + 2·48 = 98 ≠ 0

Таким образом, искомое приближённое разложение частного решения:
y(x) ≈ y(0) + [y'(0) / 1!]·x + [y''(0) / 2!]·x2 + [y'''(0) / 3!]·x3 = 2 + (4/1)·x + (16/2)·x2 + (98/6)·x3
Ответ : 3 первые члена разложения в степенной ряд: y(x) ≈ 2 + 4·x + 8·x2 + (49/3)·x3

Проверка : Для выполнения проверки я попытался получить точное значение Решения на Онлайн-решателях ДУ. Однако, mathdf.com/dif/ru/ возвратил: "Не удалось найти решение для дифура y' = x2 + y2 либо Решение в элементарных функциях НЕ существует". wolframalpha.com/ возвратил очень громоздкую дробь с большими и сложными Якобианами! Популярное прил ожение Маткад (ссылка2) вычислило Вашу функцию с высочайшей точностью (15 знаков!). Маткад-скриншот с таблицей числовых значений и графиком прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Вам повезло с Начальным условием (ряд Маклорена чуть проще, чем ряд Тейлора), но НЕ повезло с исходным ДУ. Полученный ряд НЕ есть быстро-сходящийся, и поэтому кривая приближённого Решения (3х-членного ряда) сильно отличается от кривой Точных значений при больших значениях x-аргумента. Надо вычислить много членов ряда, чтобы расширить область совпадения кривых.
Но в окрестности Начального условия (в интервале малых значений "x") мы видим, что обе кривые полностью совпадают. Значит, проверка успешна!

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 13.03.2022, 15:22

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 13.03.2022, 13:53 Спасибо большое!!
-----
Дата оценки: 14.03.2022, 14:48
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное