Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Март 2022   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

epimkin
Статус: Профессионал
Рейтинг: 28
∙ повысить рейтинг » 		Михаил Александров
Статус: Советник
Рейтинг: 22
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 22
∙ повысить рейтинг »

Математика

Номер выпуска:3023
Дата выхода:13.03.2022, 17:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:23 / 134
Вопросов / ответов:1 / 2

Консультация # 202262: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Дано комплексное число a. Требуется: 1)записать числа a и (-a) в алгебраической, тригонометрической и показательной форме; 2)найти все корни уравнения z^3+a=0 и изобразить их на комплексной плоскости. ...

Консультация # 202262:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:


Дано комплексное число a. Требуется:
1)записать числа a и (-a) в алгебраической, тригонометрической и показательной форме;
2)найти все корни уравнения z^3+a=0 и изобразить их на комплексной плоскости.



Дата отправки: 08.03.2022, 16:53
Вопрос задал: Ника Соловьева (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие: Дано комплексное число a = 4 / (1 - i·√3).
Требуется записать числа a и (-a) в алгебраической, тригонометрической и показательной форме;
Вычислить все корни уравнения z3 + a = 0 и изобразить их на комплексной плоскости.

Решение: Вы писали "нам плохо эту тему объяснили", я тоже давно забыл школьную математику. Поэтому читаем вместе замечательную учебную статью "Комплексные числа для чайников" Ссылка1.

В примере5 статьи подробно описано решение Вашего первого пункта. Умножаем знаменатель и числитель на сопряжённое знаменателю выражение (1 + i·√3) .
Вспоминаем простую школьную формулу (a - b)·(a + b) = a2 - b2 а также свойство i2 = -1 :
a = 4 / (1 - i·√3) = [4·(1 + i·√3)] / [(1 - i·√3)·(1 + i·√3)] = [4·(1 + i·√3)] / [12 - (i·√3)2] = 4·(1 + i·√3)] / [1 - i2·3] = 4·(1 + i·√3)] / (1 + 3) = 1 + i·√3 - мы получили число "a" в простейшей алгебраической форме.

Модуль этого числа M = √[12 + (√3)2] = √(1+3) = 2 , Мнимая часть im = √3 , действительная часть Re = 1 .
Аргумент комплекса - это угол φ = arctg(im / Re) = arctg(√3 / 1) = π / 3 рад = 60° .
Число "a" в тригонометрической форме : M·[cos(φ) + i·sin(φ)] = 2·[cos(π/3) + i·sin(π/3)]
Число "a" в показательной форме : M·ei·φ = 2·ei·π/3

Для числа -a , обозначим его A = -a , всё аналогично: алгебраическая форма A = -a = -(1 + i·√3) = -1 - i·√3 ,
Мнимая часть im = -√3 , действительная часть Re = -1 .
Модуль этого числа M = √[(-1)2< /sup> + (-√3)2] = √(1+3) = 2 ,
Число A находится в 3й координатной четверти, и его аргумент нужно вычислять по формуле с поправкой:
φ = arctg(im / Re) - π = arctg[(-√3) / (-1)] - π = arctg(√3) - π = π / 3 - π = -2·π/3 рад = -120° .

Число "A" в тригонометрической форме : M·[cos(φ) + i·sin(φ)] = 2·[cos(-2·π/3) + i·sin(-2·π/3)]
Число "A" в показательной форме : M·ei·φ = 2·ei·(-2·π/3)

Вычислим все корни уравнения z3 + a = 0 - перемещаем "a" в правую часть уравнения:
z3 = -a = -1 - i·√3 . Этот случай также описан в выше-указанной статье в абзаце "Как извлечь Корень из произвольного комплексного числа?" . Аннотирую:
Уравнение вида zn = w имеет ровно n корней : z0 ; z1 ; z2 ; … кот-е можно найти по формуле:
zk = n√(M)·{cos[φ + 2·π·k) / n] + i·sin[φ + 2·π·k) / n]} , где M = |w| - это модуль комплексного числа w , φ - его аргумент, а параметр k принимает значения : k = {0 ; 1 ; 2 ; … ; n-1} .

В нашем случае n = 3 означает наличие 3х корней уравнения.
-a = -1 - i·√3 равно числу "A", для кот-го выше уже вычислены значения M = 2 и φ = -2·π/3 рад .
Все 3 корня имеют одинаковый модуль Zm = 3√(M) = 3√(2) ≈ 1,26
Тогда искомые корни:
z0 = Zm·[cos[φ + 2·π·0) / 3] + i·sin[φ + 2·π·0) / 3]} = 1,26·[cos(-2·π / 9) + i·sin(-2·π / 9)] ≈ 0,965 - i·0,81
z1 = Zm·[cos[φ + 2·π·1) / 3] + i·sin[φ + 2·π·1) / 3]} = 1,26·[cos(4·π / 9) + i·sin(4·π / 9)] ≈ 0,219 + i·1,241
z2 = Zm·[cos[φ + 2·π·2) / 3] + i· sin[φ + 2·π·2) / 3]} = 1,26·[cos(10·π / 9) + i·sin(10·π / 9)] ≈ -1,184 - i·0,431

Изображение корней на Комплексной плоскости я выполнил в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от ошибок. Маткад-скриншот с чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
Надеюсь, теперь Вам будет всё понятно. =Удачи!

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 09.03.2022, 17:06

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 09.03.2022, 17:03 Спасибо большое, теперь все поняла.
-----
Дата оценки: 09.03.2022, 18:52
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +2 одобряю!

Консультирует Megaloman (Мастер-Эксперт):

1.






Формула Эйлера (связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями)






2.




Очевидно, что для k=3,4,5 ... вследствие периодичности функций Cos и Sin можно исключить период 2п, и, следовательно,
уравнение имеет 3 корня.





Ответ отредактирован модератором Megaloman (Мастер-Эксперт) 09.03.2022, 19:02

Консультировал: Megaloman (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 09.03.2022, 18:46 Спасибо большое.
-----
Дата оценки: 09.03.2022, 18:52
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +2 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное