РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Алексеев Владимир Николаевич Статус: Мастер-Эксперт Рейтинг: 984 ∙ повысить рейтинг »

Михаил Александров Статус: Советник Рейтинг: 282 ∙ повысить рейтинг »

epimkin Статус: Профессионал Рейтинг: 205 ∙ повысить рейтинг »

Математика

Номер выпуска:	2972
Дата выхода:	01.12.2021, 03:45
Администратор рассылки:	Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:	22 / 134
Вопросов / ответов:	5 / 5

Консультация # 201773:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Известно, что (sin3x)/((2cos2x+1)sin2y)=1/5+cos^2(x-2y) и (cos3x)/((1-2cos2x)cos2y)=4/5+sin^2(x-2y). Найдите все возможные значения выражения cos(x-6y), если известно, что их не менее двух.

Дата отправки: 25.11.2021, 20:38
Вопрос задал: Виталий Кочманюк (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, Виталий Кочманюк!

Как условие, так и решение Вашей задачи приводятся здесь: Ссылка >>. Кроме того, я повторил решение в прикреплённых файлах.

Вряд ли кто-то экспертов взялся бы за столь трудоёмкое решение олимпиадной задачи. Имейте, пожалуйста, это в виду, задавая вопросы на нашем портале. Здесь теперь нет профессиональных математиков, увы и ах...

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 29.11.2021, 19:53 Спасибо, я уже решил эту задачку) ----- Дата оценки: 29.11.2021, 20:04

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультация # 201775:

Уважаемые эксперты данного раздела,я в который раз нуждаюсь в вашей помощи! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Вместо "выбрать" нужно поставить соответствующие названия или числа. (зависимо от ситуации)
Дан четырёхугольник ABCD, симметричный относительно своей диагонали AC. На его стороне AB построили равносторонний треугольник AEB во внешнюю сторону, а на стороне BC — равносторонний треугольник BCF во внутреннюю сторону. Докажите, что точки E, F и D лежат на одной прямой.



Решение. Рассмотрим поворот с центром в точке B на
Выбрать
, переводящий точку E в точку A. По условию этот же поворот переводит точку
Выбрать
. При этом точка D переходит в точку D? такую, что треугольник
Выбрать
является равносторонним; в частности, точка D? лежит на серединном перпендикуляре к отрезку
Выбрать
. Вместе с ней на этом же серединном перпендикуляре по условию лежат и вершины A и C четырёхугольника. Таким образом, точки A, C и D? лежат на одной прямой. Следовательно, и до поворота, будучи точками E, F и D соответственно, они лежали на одной прямой.

Дата отправки: 25.11.2021, 21:45
Вопрос задал: Александр Айдурамов Микилович (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие : 4х-угольник ABCD симметричен относительно своей диагонали AC. На его стороне AB построили равносторонний треугольник AEB во внешнюю сторону, а на стороне BC - равносторонний треугольник BCF во внутреннюю сторону.
Требуется доказать, что точки E, F и D лежат на одной прямой. При этом надо использовать полу-готовое Доказательство, в котором надо заменить слова "Выбрать" на соответствующие названия или числа.

Решение: Я заменил обязательные слова "Выбрать" на выражения, выделенные мною жирным шрифтом, и добавил в текст пояснения в скобках. Ниже показываю результат.
Рассмотрим поворот с центром в точке B на 60° , переводящий точку E в точку A. По условию этот же поворот переводит точку F (прокрут в точку C).
При этом точка D переходит в точку G такую, что треугольник BDG является равносторонним; в частности, точка G лежит на серединном перпендикуляре (AC) к отрезку BD .
Вместе с ней на этом же серединном перпендикуляре по условию лежат и вершины A и C 4х-угольника. Таким образом, точки A, C и G лежат на одной прямой. Следовательно, и до поворота, будучи точками E, F и D соответственно, они лежали на одной прямой.

Для проверки я построил точный чертёж в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с вычислениями методом Аналитической геометрии прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом. =Удачи!

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 27.11.2021, 14:42

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 27.11.2021, 12:43 нет комментария ----- Дата оценки: 27.11.2021, 18:42

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультация # 201776:

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Надо вместо "ПРОПУСК" вставить числа либо названия (чаще числа,но 1 слово,1 название отрезка и 1 название площади). Буква S означает площадь в данной задаче,а не название точки!
Внутри правильного треугольника отметили точку с расстояниями до вершин, равными 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

Решение. Предположим, что внутри правильного треугольника ABC отмечена такая точка P, что PA=3, PB=4, PC=5. Пусть при повороте относительно точки A на 60? точка B переходит в точку C, точка C переходит в точку C1, а точка P — в точку P1.



Тогда треугольник PAP1 является
Выбрать
и его площадь равна ПРОПУСК
?3–?. Отрезок CP1 получается поворотом из отрезка
ПРОПУСК
, поэтому у треугольника PCP1 стороны равны 3, 4 и 5. Следовательно, по теореме Пифагора треугольник PCP1 является прямоугольным и его площадь равна ПРОПУСК
. С другой стороны,
ПРОПУ СК?3–?+ ПРОПУСК
=SPAP1+SPCP1=SAPC+SAP1C=SAPC+
ПРОПУСК
.
Аналогичными рассуждениями, рассматривая повороты на 60? с центрами в точках B и C, получаем равенства
ПРОПУСК?3–?+ПРОПУСК
=SBPA+SCPB
и
ПРОПУСК?3–?+ПРОПУСК
=SCPB+SAPC.Складывая все три полученных равенства и деля пополам, заключаем, что
SABC=
ПРОПУСК?3–?+ПРОПУСК
.

Дата отправки: 25.11.2021, 21:50
Вопрос задал: Александр Айдурамов Микилович (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие: Внутри правильного треугольника ABC точка P имеет расстояния до вершин, равные 3, 4 и 5 соответственно.
Вычислить площадь S треугольника ABC. При этом надо следовать алгоритму уже-заданного Решения, в котором вместо слов "Пропуск" надо вставить соответствующие смыслу числа либо МатВыражения.

Решение: Выражения, которыми я заменил слова "Пропуск", я выделил жирным шрифтом. Дополнительные пояснения я подкрасил зелёным шрифтом в скобках. Результат показываю ниже.

Предположим, что внутри правильного треугольника ABC отмечена такая точка P, что PA = 3, PB = 4, PC = 5. Пусть при повороте относительно точки A на 60° точка B переходит в точку C, точка C переходит в точку C₁, а точка P - в точку P₁.

Тогда треугольник PAP₁ является правильным (равно-сторонним) и его площадь равна a²·√3 / 4 = 3²·√3 / 4 .
Отрезок CP₁ получается поворотом из отрезка BP , поэтому у треугольника PCP₁ стороны равны 3, 4 и 5. Следовательно, по теореме Пифагора треугольник PCP₁ является прямоугольным и его площадь равна a·b/2 = 3·4 / 2 = 6 .
С другой стороны, 3²·√3 / 4 + 6 = S_PAP1 + S_PCP1 = S_APC + S_AP1C = S_APC + S_APB (так как ΔAP₁C = ΔAPB).

Аналогичными рассуждениями, рассматривая повороты на 60° с центрами в точках B и C, получаем равенства
4²·√3 / 4 + 6 = S_BPA + S_BPC и
5²·√3 / 4 + 6 = S_CPB + S_CPA .

Складывая все 3 полученных равенства и деля пополам, заключаем, что
(3²·√3 / 4 + 6) + (4²·√3 / 4 + 6) + (5²·√3 / 4 + 6) = (S_APC + S_APB) + (S_BPA + S_BPC) + (S_CPB + S_CPA)
Раскрываем скобки: 3²·√3 / 4 + 4²·√3 / 4 + 5²·√3 / 4 + 6 + 6 + 6 = 2·S_ABC
S_ABC = (1/2)·[(3² + 4² + 5²)·√3 / 4 + 18] = 50·√3 / 8 + 9 = 25·√3 / 4 + 9 ≈ 19,83
Ответ: площадь треугольника ABC равна 19,8 кв.ед.

Для проверки правильности Решения и Ответа я вычислил площадь треугольника ABC методом Аналитической геометрии в популярном приложении Маткад (ссылка) . Маткад-скриншот с уточнённым чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом. =Удачи!

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 29.11.2021, 12:23

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 29.11.2021, 10:32 нет комментария ----- Дата оценки: 29.11.2021, 19:32

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультация # 201777:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос,я похожий уже задавал раннее,но всё же мне нужна помощь:
Чевианы AA1, BB1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке P. Известно, что AB1:B1C=2:1, BA1:A1C=8:1. Найдите следующие отношения.
AC1:C1B=
AP:PA1=
BP:PB1=

Дата отправки: 25.11.2021, 21:54
Вопрос задал: Александр Айдурамов Микилович (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие: В треугольнике ABC чевианы AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке P .
Заданы соотношения: AB₁ : B₁C = 2:1 , BA₁ : A₁C = 8:1 .
Вычислить отношения : AC₁ : C₁B , AP : PA₁ , BP : PB₁ .

Решение: Зададим переменные с удобными именами для операций с отношениями : AbC = AB₁ : B₁C = 2:1 = 2 ,
BaC = BA₁ : A₁C = 8:1 = 8 , искомое AcB = AC₁ : C₁B .
Как и в Вашей прошлой консультации rfpro.ru/question/201643 (Ссылка1) на эту же тему, вспоминаем, что такое Чевианы (см Ссылка2) и их главные свойства. Чевианы - это менее замечательные отрезки треугольников, чем привычные нам высоты, медианы и би ссектрисы, однако все чевианы пересекаются в одной точке, и древние математики сочинили из этого свойства несколько полезных теорем для решений задач. Из множества этих теорем, для решения текущей задачи нам понадобятся всего две:

1)Теорема Чевы связывает соотношения всех треугольниковых сторон, разделённых чевианами:
(AB₁ : B₁C)·(CA₁ : A₁B)·(BC₁ : C₁A) = 1 - в этом изящном выражении Чева великодушно разрешил нам менять буквы на свои, начинать перечисление-обход с любой Вершины и двигаться в любом направлении (по часовой стрелке, либо против). Однако, надо строго соблюдать последовательность перечисления букв и НЕ менять выбранное направление до окончания написания уравнения!

Я начал AB₁ : B₁C только потому, что это отношение дано в Условии, и его можно заменить числом
AbC = AB₁ : B₁C = 2:1 = 2 . А далее продолжаем, как завещал умный италиец!
В место CA₁ : A₁B нам задано BA₁ : A₁C = 8:1 , и, чтоб воплотить Чева-идею, выворачиваем отношение наизнанку и получаем:
AbC·(1 / BaC)·(1 / AcB) = 1 , откуда вычисляем искомое AC₁ / C₁B :
AcB = AbC / BaC = 2 / 8 = 1/4 . Половина задачи решена, все стороны треугольника ABC разделены чевианами.

2)Теорема Ван-Обеля о треугольнике связывает соотношения 3х отрезков, исходящих из любой одной вершины треугольника: а именно: какой-либо Чевианы и прилежащих к ней сторон. В её уравнении все отношения начинаются с одинаковой буквы, тк все 3 связанные отрезка исходят из общей вершины:
AP : PA₁ = AB₁ : B₁C + AC₁ : C₁B = AbC + AcB = 2 + 1/4 = 9/4 .
BP : PB₁ = BC₁ : C₁A + BA₁ : A₁C = BcA + BaC = 1 / AcB + 8 = 1 / (1/4) + 8 = 12
Ответ : Искомые отношения: AC₁ : C₁B = 1/ 4 , AP : PA₁ = 9/4 , BP : PB₁ = 12/1

Мне нельзя выдавать ошибки. Поэтому, чтобы убедиться в правильности Ответа я вычислил эти же соотношения методом Аналитической геометрии. Этот метод гораздо более трудоёмкий для текущей задачи, поэтому я использовал популярное приложение Маткад (ссылка3) . Маткад избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот с чертежом реального треугольника прилагаю. В моём треугольнике точно выдержаны Условия соотношений (в отличие от исходного, схематичного чертежа от автора задачи). Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.

Доказательство теоремы Чевы Вы можете посмотреть в статье "Вокруг теорем Чевы и Менелая.pdf" 630 кБ Ссылка4 . =Удачи!

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 28.11.2021, 12:29 нет комментария ----- Дата оценки: 28.11.2021, 21:10

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Консультация # 201778:

Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Надо вместо "выбрать" поставить нужные названия или слова
Точки E и F — середины сторон BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали AC и BD в одном и том же отношении.

Решение. Случай, когда ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, очевиден (в этом случае EFllAB и утверждение следует из теоремы Фалеса). Поэтому, не умаляя общности, можно считать, что прямые EF и AB пересекаются. Обозначим их точку пересечения через X.
Точки пересечения отрезка EF с диагоналями AC и BD обозначим через M и N соответственно. Запишем теорему
Выбрать
для треугольника
Выбрать
и
Выбрать

1=AF/FD?DN/NB?
Выбрать

и, учтя, что AF=FD, получим, что
BN/ND=
Выбрать
.
Аналогично, используя теорему
Выбрать
для треугольника
Выбрать
и
Выбрать
, находим, что
CM/AM=
Выбрать
,
откуда
BN/ND=
Выбрать
.

Дата отправки: 25.11.2021, 21:58
Вопрос задал: Александр Айдурамов Микилович (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие: В выпуклом 4х-угольнике ABCD точки E и F есть середины сторон BC и AD.
Требуется доказать, что отрезок EF делит диагонали AC и BD в одном и том же отношении. В процессе доказательства надо использовать текст полу-готового доказательства и заменить все слова "Выбрать" на подходящие по смыслу математические выражения.

Решение: Выражения, которыми я заменил слова "Выбрать", я выделил жирным шрифтом. Дополнительные пояснения я подкрасил зелёным шрифтом в скобках. Результ показываю ниже.

Точки пересечения отрезка EF с диагоналями AC и BD обозначим через M и N соответственно. Запишем теорему Менелая для треугольника ABD и AXF :
1 = (AF / FD)·(DN / NB)·(BX / XA) и, учтя, что AF = FD, получим, что BN / ND = BX / XA .

Аналогично, используя теорему Менелая для треугольника ABC и AXM ,
(расписываю подробно: 1 = (CM / MA)·(AX / XB)·(BE / EC) , тут BE / EC = 1 , значит: CM / MA = XB / AX ⇒ CM / AM = BX / XA )
находим, что CM / AM = BX / XA , откуда BN / ND = CM / AM , что и требовалось доказать.

Для проверки правильности Решения можно измерить длины отрезков линейкой, но такая проверка даёт всего 2 знака точности, возможны совпадения и пропуски ошибок. Поэтому, я вычислил длины отрезков и их отношения методом Аналитической геометрии в популярном приложении Маткад (ссылка1) . Маткад-скриншот с точным чертежом и формулами прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
См учебную статью "Теорема Менелая" Ссылка2 . =Удачи!

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) Дата отправки: 30.11.2021, 10:55 нет комментария ----- Дата оценки: 30.11.2021, 19:45

Рейтинг ответа: +1 поблагодарить эксперта

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка