Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Март 2006   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RusFAQ.ru: Математика


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RUSFAQ.RU

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 97
от 13.03.2006, 21:35

Администратор:Tigran K. Kalaidjian
В рассылке:Подписчиков: 91, Экспертов: 22
В номере:Вопросов: 1, Ответов: 2

Вопрос № 37043: Здравствуйте Уважаемые Эксперты! Помогите решить задачу: Найти точку Q симметричную точке M1(0;0;1) относительно прямой: 3x+4y+5z-26=0, 3x-3y-2z-5=0. {система линейных уравнений} Заранее благодарю за ответ! ..

Вопрос № 37.043
Здравствуйте Уважаемые Эксперты! Помогите решить задачу:

Найти точку Q симметричную точке M1(0;0;1) относительно прямой:
3x+4y+5z-26=0,
3x-3y-2z-5=0. {система линейных уравнений}

Заранее благодарю за ответ!
Отправлен: 08.03.2006, 21:19
Вопрос задал: Тимур (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2
Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Sergio-dns
Здравствуйте, Тимур!
Примерно так:
Прямая задается двумя пересекающимися плоскосями. Вектор нормали первой плоскости (3,4,5), второй (3,-3,-2). Находим их векторное произведение, получаем (7,21,-21) - направляющий вектор нашей прямой, или, сокращая (1,3,-3). Проведем плоскость, перпендикулярную заданной прямой, проходящей через точку M1. Долго считать, сами посчитайте. Находим точку пересечения прямой и построенной плоскости (решение системы трех линейных уравнений). Получаем координаты точки, относительно которой необходимо строить симметрию, допустим точка O. А дальше элементарно продолжаем отрезок M1 O, вдвое увеличивая его длину, находим искомую точку Q.
Надеюсь, понятно объяснил. Если что, пиши, напишу решение поподробнее.
---------
Работать ащще не прёт...
Ответ отправил: Sergio-dns (статус: 1-ый класс)
Ответ отправлен: 09.03.2006, 12:57
Оценка за ответ: 5
Отвечает: Ayl
Здравствуйте, Тимур!

1. Выражаем переменные y и x через переменную z из заданных уравнений:

{ 3x+4y+5z-26=0; 3x-3y-2z-5=0 => вычитаем второе уравнение из первого:

7y+7z-21=0 <=> y+z-3=0 <=> y=3-z

Подставляем в первое уравнение:

3x+12-4z+5z-26=0 <=> 3x+z-14=0 <=> x=(14-z)/3

Т.о., любая точка на заданной прямой имеет координаты: ((14-z)/3;3-z;z)

2. Возьмем любые 2 точки A и B на этой прямой:

z=2 => A(4;1;2); z=-1 => B(5;4;-1)

3. Определим вектор AB: AB = (1;3;-3)

4. Найдем основание перпендикуляра X из точки M1 на прямую. Для этого прировняем скалярное произведение векторов M1X и AB нулю:

X((14-z)/3;3-z;z) => M1X = ((14-z)/3;3-z;z-1)

M1X*AB=(14-z)/3*1+(3-z)*3+(z-1)*(-3)=(14-z)/3+9-3z-3z+3=0

14-z+27-9z-9z+9=0 <=> 19z=50 <=> z=50/19

X(72/19;7/19;50/19)

5. Определим уравнение прямой l=M1X:

M1X=(72/19;7/19;31/19) => a=7*M1X=(72,7,31)

x=0+72t => t=x/72
y=0+19t => t=y/19
z=1+31t => t=(z-1)/31

Каноническое уравнение прямой: x/72=y/19=(z-1)/31

Ищем уравнение прямой через систему 2-х уравнений:

{ 7x=72y; 31y=7z-7 <=> { 7x-72y=0; 31y-7z+7=0

6. Выразим координаты y и z через координату x:

y=7x/72
31*7x/72-7z+7=0 <=> 7z=(31*7z+7*72)/72 <=> z=31x/72+1

Т.о., любая точка на прямой l имеет координаты (x; 7x/72; 31x/72+1)

7. Для решения задачи нужно найти точку Q такую, что Q лежит на прямой l и расстояние от точки Q до точки X равно расстоянию от точки M1 до точки X.

Найдем квадрат длины отрезка M1X:

|M1X|^2 = 72^2/19^2+7^2/19^2+31^2/19^2=6194/19^2

Координаты вектора XQ: (x-72/19; 7x/72-7/19; 31x/72-31/19)

|XQ|^2 = 72^2*(x/72-1/19)^2+7^2*(x/72-1/19)^2+31^2*(x/72-1/19)^2=(72^2+7^2+31^2)*(x/72-1/19)^2=6194*(x/72-1/19)^2

Приравняем квадраты длин отрезков:

6194*(x/72-1/19)^2=6194/19^2
19^2*(x/72-1/19)^2=1
(19x/72-1)^2=1 <=> (19x/72-1)^2-1=0 <=> (19x/72-1-1)*(19x/72-1+1)=0 <=> (19x/72-2)*(19x/72)=0

Т.о., данное уравнение (как и следовало ожидать!) имеет 2 решения:
{ 19x/72=0; 19x/72-2=0 <=> { x=0; x=144/19

Первое решение (x=0) дает точку M1, второе - точку Q.

Осталось определить координаты y и z для точки Q:

y=7x/72 <=> y=7/72*144/19 <=> y=14/19
z=31x/72+1 <=> z=31/72*144/19+1 <=> z=62/19+1 <=> z=81/19

Ответ: точка Q, симметричная точке M1(0;0;1) относительно заданной прямой имеет координаты (144/19; 14/19; 81/19)
---------
Трудное - то, что можно сделать немедленно. Невозможное - то, для выполнения чего требуется немного больше времени
Ответ отправил: Ayl (статус: Академик)
ICQ: 5163321
---------
Ответ отправлен: 09.03.2006, 13:27
Оценка за ответ: 5
Комментарий оценки:
Спасибо, очень подробно и предельно понятно!

Отправить вопрос экспертам этой рассылки

Приложение (если необходимо):

* Код программы, выдержки из закона и т.п. дополнение к вопросу.
Эта информация будет отображена в аналогичном окне как есть.

Обратите внимание!
Вопрос будет отправлен всем экспертам данной рассылки!
Для того, чтобы отправить вопрос выбранным экспертам этой рассылки или
экспертам другой рассылки портала RusFAQ.ru, зайдите непосредственно на RusFAQ.ru.


Форма НЕ работает в почтовых программах The BAT! и MS Outlook (кроме версии 2003+)!
Чтобы отправить вопрос, откройте это письмо в браузере или зайдите на сайт RusFAQ.ru.

© 2001-2006, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва.
Идея, дизайн, программирование: Калашников О.А.
Email: adm@rusfaq.ru, Тел.: +7 (926) 535-23-31
Авторские права | Реклама на портале
Версия системы: 4.18 от 09.03.2006 		Яндекс Rambler's Top100
В избранное