Юри Ярвет родился в Таллине. На сцену он вышел еще в 1941 году, выступал в различных театрах и ансамблях Эстонии.
В 1946 году Ярвет поступил в Таллинский театральный институт, после окончания которого в 1949 году работал главным режиссером Южно-Эстонского театра. В 1952 году он стал актером Эстонского академического театра имени В.Кингисеппа.
В кино Юри Ярвет начал сниматься в 1955 году, первую свою роль, Роберта, сыграл в фильме "Счастье Андруса". Известность пришла к нему с ролью профессора О’Рейли в политическом детективе Саввы Кулиша "Мертвый сезон", но заслуженную славу талантливый актер снискал, блистательно воплотив на экране образ Лира в фильме Григория Козинцева "Король Лир".
В числе лучших работ Юри Ярвета - роль Снаута в научно-фантастической картине "Солярис", созданной Андреем Тарковским по роману Станислава Лема. Сыграл актер также и в еще одной экранизации научно-фантастического произведения - в "Отеле "У погибшего альпиниста" по книге братьев Стругацких. В роли жандарма графа Сегеди в телевизионном сериале "Берега", поставленном по книге Чабуа Амирэджиби, Ярвет настолько убедителен и достоверен, что нельзя не подпасть под большое обаяние его "отрицательного" героя. В числе
прочих создателей этого фильма актер был удостоен Государственной премии СССР.
В числе последних работ признанного мастера - небольшая роль в фильме Георгия Юнгвальда-Хилькевича "Тайна королевы Анны, или Мушкетеры тридцать лет спустя".