Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Июнь 2022   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 276
∙ повысить рейтинг » 		epimkin
Статус: Профессионал
Рейтинг: 111
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 60
∙ повысить рейтинг »

Математика

Номер выпуска:3076
Дата выхода:10.06.2022, 01:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:24 / 137
Вопросов / ответов:1 / 2

Консультация # 202972: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Вычислить поверхностный интеграл первого рода, где S -часть плоскости 7x+9y+5z-4=0, лежащая в первом октанте. Интеграл прикреплён в файле...

Консультация # 202972:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Вычислить поверхностный интеграл первого рода, где S -часть плоскости 7x+9y+5z-4=0, лежащая в первом октанте. Интеграл прикреплён в файле

Дата отправки: 04.06.2022, 10:19
Вопрос задал: oligator.a.y (Посетитель)
Всего ответов: 2
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Гордиенко Андрей Владимирович (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, oligator.a.y!

Запишем уравнение заданной плоскости "в отрезках":





Полученный результат означает, что в первом октанте расположена часть заданной плоскости, которая представляет собой треугольник с вершинами в точках Проекция этого треугольника на плоскость представляет собой треугольник с вершинами в точках

Выведем уравнение прямой, проходящей через точки







Из уравнения заданной поверхности получим, что



Значит,




(вычисление интеграла показано здесь: Ссылка >>)

(вычисление интеграла показано здесь: Ссылка >>)


Я ответил на Ваш вопрос, как мог. При таких исходных данных ошибиться более вероятно. чем не ошибиться. Что Вы сделали плохого своему преподавателю, если он выдал Вам такое задание? smile

Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 07.06.2022, 22:22
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +2 одобряю!

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Условие: фрагмент поверхности σ есть плоскость 7x + 9y + 5z - 4 = 0 , расположенная в первом октанте.
Дана также ПодИнтегральная функция f(x, y, z) = -2·x - 2·y + 3·z + 5 .
Вычислить поверхностный интеграл первого рода σ∬f(x; y; z)·dσ .

Я решаю эту задачу по той причине, что автор предыдущего ОтветаN1 выразил сомнение "При таких исходных данных ошибиться более вероятно. чем не ошибиться". Читаем учебную статью "Поверхностные интегралы. Понятие и примеры решений" Ссылка1 и следуем рекомендациям её автора. Уравнение заданной плоскости σ "в отрезках" имеет вид
x / (4/7) + y / (4/9) + z / (4/5) = 1 , что даёт нам координаты треугольной призмы
AOBC : A(4/7 ; 0 ; 0), O(0 ; 0 ; 0), B(0 ; 4/0 ; 0), C(0 ; 0 ; 4/5) с основанием AOB и вершиной C . Фрагмент поверхн ости σ - это треугольник ABC , а его проекция на координатную плоскость XOY есть треугольник AOB , я выделил его на чертеже голубой заливкой.

Интеграл действительно сложный (двойной, да ещё с радикалом и производными…). Поэтому для уверенности в правильном решении лучше разделить это решение на 2 этапа. На первом этапе вычислим площадь σ-фрагмента , приняв f(x, y, z) = 1 .
Двойной интеграл вычисления площади
S = σ∬dσ заменяем последовательным вычислением двух обычных интегралов
iy(x) = 0y(x)∫√[(z'x)2 + (z'y)2 + 1]·dx = (4 - 7·x)·√155 / 45
S = 0A(1)∫iy(x)·dx = 04/7∫[(4 - 7·x)·√155 / 45]·dx = 8·√155 / 315
Здесь z(x; y) = 4/5 - 9·y/5 - 7·x/5 - уравнение плоскости σ в функциональном виде,
z'x = -7/5 , z'y = -9/5 - его частные производные по x , y ;
y(x) = 4/9 - 7·x / 9 - уравнение ребра BA призмы AOBC .

Значение S олицетворяет площадь треугольника ABC , которую легко проверить альтернативным вычислением по школьной формуле Герона (по 3м известным сторонам треугольника). Вы можете вычислять любым удобным Вам способом (на бумажке, используя Windows-калькулятор, OnLine-калькуляторы…). Я люблю вычислять в популярном приложении Маткад (ссылка2) . Маткад избавляет меня от ошибок. Маткад-скриншот с вычислениями и чертежом прилагаю . Я добавил в скрин подробные комментарии зелёным цветом.
На скрине мы видим, что значения площадей совпали, значит, мы правильно применяем метод из учебной статьи, и можно перейти ко второму этапу решения с использованием заданной ПодИнтегральной функции f(x, y, z).
Ответ : поверхностный интеграл равен 38728·√(155) / 297675 ≈ 1,620 ед3 , что совпадает с Ответом Андрея Владимировича и подтверждает его безошибочность.

Ответ отредактирован модератором Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт) 09.06.2022, 12:40

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 09.06.2022, 12:14
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное