Вопрос № 95926: Помогите правильно составить интеграл.
Задача:
по тонкому стержню длиной L равномерно распределен заряд Q.
Стержень вращается с частотой n относительно оси, перпендикулярной стержню и
проходящей через стержень на расстоянии ...
Вопрос № 95.926
Помогите правильно составить интеграл.
Задача:
по тонкому стержню длиной L равномерно распределен заряд Q.
Стержень вращается с частотой n относительно оси, перпендикулярной стержню и
проходящей через стержень на расстоянии a = L/3 от одного из его концов.
Определить магнитный момент Pm, обусловленный вращением стержня.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Мои размышления:
магнитный момент такого вращения можно рассмотреть как суперпозицию
магнитных моментов двух стержней (pm1 и pm2), вращение каждого из которых происходит
относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через стержень
на его конце. Ось вращения заданного стержня на расстоянии a = L/3 будет осью
вращения на расстоянии 0 для каждого из составных стержней. А так как
ось вращения у составных стержней будет общей, то векторы ↑pm1 и ↑pm2 (вектор обозначим ↑)
лежат на одной пространственной прямой . Направления вращения составных стержней совпадают,
значит одинаковыми будут направления круговых токов и ↑pm1 и ↑pm2 будут одинаково направлены
(↑pm = i*S*↑n i - круговой ток; S - площадь, обтекаемая током; ↑n - единичный вектор нормали).
Направление нормали к плоскости вращения выберем совпадающим с направлением ↑Pm. Тогда
|Pm| (модуль) будет равен:
|↑Pm| = |↑pm1| + |↑pm2|
Найдем выражение для определения pm, рассматривая вращение стержня, ось вращения которого
перпендикулярна стержню и проходит через его конец.
Весь заряд стержня можно рассматривать как сумму элементарных зарядов, тогда
магнитный момент вращения стержня будет равен интегральной сумме элементарных
магнитных моментов вращения.
pm = [0;r] ∫dpm
[0;r] ∫dpm = [0;r] ∫d(i*S)
Заряд равномерно распределен по стержню, это значит, что величина элементарного заряда
в любой точке стержня постоянна; dq/dl = 0;
величина элементарного кругового тока:
i = q*n q - элементарный заряд, n - частота вращения;
тогда на всей длине стержня i = const.
∫r*dr - табличный, а вот как q найти не знаю. Из условия задачи известна длина стержня L и его равномерно
распределенный заряд Q; можно определить заряд на единице длины: ∆q = Q/L и записать интеграл иначе
(не выносить элементарный круговой ток из интеграла).
а так дифференциал получается в квадрате и корявый интеграл.
Отправлен: 22.07.2007, 04:28
Вопрос задал: Alexei_FAQ (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: spaar
Добрый день, Alexei_FAQ.
Дело в том, что
S - площадь, которую ограничивает круговой ток, т.е. вовсе не бесконечно малая величина, Вы же вместо площади круга радиусом r (S = п ∙ r2) посчитали площадь бесконечно узкого кольца радиусом r толщиной dr (dS = 2 ∙ п ∙ r ∙ dr).
Правильно так:
d(i ∙ S) = S ∙ di = S ∙ n ∙ dq = S ∙ n ∙ (Q / L) ∙ dr = п ∙ n ∙ (Q / L) ∙ r2 ∙ dr .
Интеграл, соответственно, таков:
Pm = п ∙ n ∙ (Q / L) ∙ ([0, L/3] ∫r2 ∙ dr + [0, 2L/3] ∫r2 ∙ dr)
Edited by Alexandre V. Tchamaev --------- http://www.youtube.com/watch?v=4i6-drnQzsg
Ответ отправил: spaar (статус: Студент)
Ответ отправлен: 22.07.2007, 13:59 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Про площадь я не продумал, сразу бросился интеграл считать, как абизяна за бананом
