Вопрос № 44337: Помогите разобраться с задачами:
1)Длинный прямой цилиндр радиуса R равномерно заряжен с объёмной плотностью p.Определите напряженность электрического поля как функцию расстояния r от оси цилиндра.
2)По поверхности тонкого диска радиусом R ра...
Вопрос № 44.337
Помогите разобраться с задачами:
1)Длинный прямой цилиндр радиуса R равномерно заряжен с объёмной плотностью p.Определите напряженность электрического поля как функцию расстояния r от оси цилиндра.
2)По поверхности тонкого диска радиусом R равномерно распределён заряд с поверхностной плотностью j(сигма). Чему равна напряжённость электрического поля на оси диска на расстоянии x от его цента ?Ось проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости. Постройте график зависимости напряжённости от расстояния x.
Заранее благодарен!
Отправлен: 26.05.2006, 21:19
Вопрос задал: Vitek11 (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Макаренко Е.В.
Здравствуйте, Vitek11!
Начнем с диска.
Если я правильно помню, то для точечного заряда Е(r)=(1/4*Pi*epsilon0)*q/(r^2).
Здесь имеется в виду именно расстояние до заряда, а не до поверхности диска.
Неизменный коэффициент (1/4*Pi*epsilon0) положим равным А.
Теперь выделим на диске маленький кусочек площади, находящийся на расстоянии а от центра диска.
С учетом того, что кусочек ОЧЕНЬ маленький, его полагаем квадратным с длиной da и шириной а*dw. Следует иметь в виду, что угол dw, образующий сектор, измеряется в радианах.
Этот кусочек на расстоянии х от диска образует поле Е(х) = А*dS*sigma/(sqrt(r^2+a^2)), где
dS = da*а*dw.
Загвоздка в том, что направлен этот вектор не по оси Х, а под углом к ней. Однако этот момент компенсируется тем, что диск круглый и результирующий вектор поля будет направлен все-таки по оси. Нарисуете рисунок - будет яснее.
Теперь превратим кусочек площади в кольцо. Для этого надо проинтегрировать выражение
А*dS*sigma/(sqrt(r^2+a^2)) от 0 до 2*Pi. То, что в данном случае выражение домножается на косинус угла проекции, можно пока что не учитывать: мы не по ней интегрируем.
Выражение примет вид:
Е(х)= (1/(4*Pi*epsilon0*sqrt(r^2+a^2)))*sigma*dS (небольшая перестановка :))
только теперь dS = 2*Pi*а*da, (упрощать выражение проще на бумаге, чем здесь).
Вот тут уже появляется проекция на ось Х. Таким образом по поверхности диска следует интегрировать такое выражение:
E(x)=(интеграл от 0 до R){(1/(4*Pi*epsilon0*sqrt(r^2+a^2)))*sigma*2*Pi*а*(COS(ARCTG(a/x)))*da}
Большими буквами умышленно выделен член, отвечающий за проекцию. Полагаю условиями задачи не ставится вычисление интеграла? В противном случае предлагаю сделать это самостоятельно. :)
Следует также отметить, что при x>>R диск можно рассматривать, как точечный заряд.
Расписывать задачу про цилиндр здесь нахожу слишком громоздким. Просто в данном случае Вам придется иметь дело с третьим измерением. Это просто приведет к тому, что вместо малой площади появится малый объем. И еще Вам придется вычислять вторую проекцию (то есть не на ось, а на плоскость, перпендикулярную цилиндру). Также следует отметить, что интеграл по удаленности данного элемента объема от текущей плоскости Вам следует брать от -бесконечности до +бесконечности. Геометрический рисунок все прояснит. Если
этих разъяснений будет мало - пишите в мыло.
Удачи.
--------- осторожность, точность... и горит все синим пламенем! :))
Ответ отправил: Макаренко Е.В. (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 29.05.2006, 13:16
