Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Задачи по математике для поступающих

Подписаться Бесплатная новостная рассылка Подписчиков 12 RSS
←   Апрель 2003   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://www.rml.h10.ru
Открыта: 27-03-2003

Автор
Александр

Статистика

12 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Задачи по математике для поступающих #6


Информационный Канал Subscribe.Ru

Выпуск 6

Задачи по математике для поступающих
26.04.2003

Здравствуйте уважаемые подписчики. Эта рассылка призвана помочь школьникам и абитуриентам в их занятиях по математике. В каждом номере рассылки планируется публикация нескольких задач, решения которых вы можете присылать мне. Наиболее интересные решения будут опубликованы в следующих номерах рассылки. Также в рассылку включены справочные материалы, которые могут помочь вам в ваших занятиях. Если у вас есть интересные задачи, присылайте их мне. Будем пытаться их решить все вместе.

Хотелось бы также сказать, что я не буду отвечать на вопросы связанные с использованием тех или иных программ! Также я не занимаюсь рассылкой предыдущих выпусков. Их все можно найти в интернете. Также должен огорчить тех, кто думает, что за первое место в рейтинге им вручат мешок денег. Рассылка полностью некоммерческое предприятие и денег я с нее не получаю никаких. Поэтому никаких материальных призов не будет. Также хотелось бы отметить, что для ответов на задачи существует ссылка "Ответить". В письме должно содержаться решение только 1 задачи! Решения не удовлетворяющие этим требованиям нерасматриваются! Будьте внимательны и не изменяйте тему письма!

Результаты опроса: за - 6 голосов, против - 1 голос.
Задачи

Новые задачи, а также решения задач прошлых выпусков рассылки будут опубликованы в следующем выпуске. В дальнейшем они будут публиковаться через один номер, чтобы большее количество подписчиков успело отправить мне свои решения. Также если решение задачи не опубликовано, то количество баллов, которые можно получить за решение задачи, увеличивается на единицу. Так, к примеру, за решение задачи №16 из 4 номера рассылки даю уже 2 балла. За решения задач 3 номера - 3 балла, 2 - 4 балла, 1 - 5 баллов!
Справочный материал

1. sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)

2. sin(x-y) = sin(x)*cos(y) - cos(x)*sin(y)

3. cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

4. cos(x-y) = cos(x)*cos(y) + sin(x)*sin(y)

5. tg(x+y) = (tgx + tg y)/(1 - tg(x)*tg(y))

6. tg(x-y) = (tgx - tg y)/(1 + tg(x)*tg(y))
Факультатив

Данный раздел рассылки посвящен материалам и разделам математики, которые выходят за рамки школьной программы, но могут быть интересны школьникам интересующимся математикой. Материалы данного раздела не требуют знания специальных разделов математики и для их понимания достаточно школьных знаний

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ

1.2 Исследования Лежандра. Французский математик и педагог А. М. Лежандр является автором замечательного школьного учебника "Начала геометрии", вышедшего в свет первым изданием в 1794 году и переиздававшегося при жизни автора 14 раз. Лежандр весьма существенно менял свою книгу от издания к изданию. При этом больше всего его заботила теория параллельных. Во всех прижизненных изданиях "Начал геометрии", кроме 9, 10 и 11-го, Лежандр доказывал V постулат, меняя, однако, доказательства от издания к изданию. Объяснялось это тем, что каждый раз после выхода очередного издания Лежандр обнаруживал ошибку в опубликованном доказательстве (точнее, не ошибку, а неявное использование утверждения, эквивалентного V постулату). Безупречного доказательства V постулата Лежандр так и не получил (и, как будет ясно из сказанного ниже, не мог получить). Однако его исследования очень поучительны и, что самое главное, вскрывают глубокие связи между V постулатом и другими предположениями. Особенно важны три замечательные теоремы Лежандра о связи V постулата с теоремами о сумме углов треугольника. Мы рассмотрим их подробнее. Доказательства этих теорем приводятся без использования V постулата (или аксиомы о параллельных).

Теорема 1. Во всяком треугольнике сумма внутренних углов не превосходит 180o

Доказательство. Предположим, что наша теорема неверна, т.е. что существует треугольник ABA1, сумма углов которого больше 180о. Продолжим сторону AA1 этого треугольника и построим на прямой AA1 ряд треугольников A1B1A2, A2B2A3, ... , An-1Bn-1An, AnBnAn+1, равных треугольнику ABA1; точки B и B1, B1 и B2, ... , Bn-1 и Bn соединим отрезками (рис.1; заметьте, мы не утверждаем, что отрезки BB1, B1B2, ... ,Bn-1Bn составляют прямую линию - доказать это, не опираясь на V постулат, невозможно). Так как на рис.1 L1 + L2 + L3 > 180o, а L1 + L2 + L3 = 180o, то L2 < L2; таким образом, стороны A1B и A1B1 треугольника A1BB1 соответственно равны сторонам BA1 и BA треугольника ABA1, а заключенный между ними угол A1 меньше угла B. Отсюда вытекает, что AA1 > BB1 (заменим, что теорема о двух треугольниках, имеющих по две равные стороны, во всех учебниках геометрии доказывается до аксиомы параллельности и, следовательно, не зависит от V постулата).

Но, очевидно, не только тр.ABA1 = тр.A1B1A2 = ... = тр.AnBnAn+1 но и тр.BA1B1 = тр.B1A2B2 = ... = тр.Bn-1AnBn. Поэтому, если положить AA1 - BB1 = a, то мы получим AAn - (BB1 + B1B2 + ... + Bn-1Bn) = na. Выбрав теперь число n настолько большим, что na>2AB, мы найдем, что (AB + BB1 + B1B2 + ... + Bn-1Bn + BnAn) - AAn = AB + AnBn - na < 0, т.е. что отрезок AAn больше ломаной ABB1 ... BnAn, соединяющей его концы. Но последнее невозможно (причем невозможность эта устанавливается без обращения к аксиоме параллельности). Полученное противоречие и доказывает теорему.
Словарик

Так, как HTML-редактор это все же не Mathcad, то пришлось ввести специальные обозначения для некоторых математических символов:

1. LA - угол A.

2. тр.ABC - треугольник ABC

*) Для получателей TXT версии рассылки настоятельно рекомендую перейти на HTML.

Юмор

МЭРФОЛОГИЯ

Закон Мэрфи
-----------
Если какая-нибудь неприятность может произойти, она случается.

Следствия
---------
1. Все не так легко, как кажется;
2. Всякая работа требует больше времени, чем вы думаете;
3. Из всех неприятностей произойдет именно та, ущерб от которой больше;
4. Если четыре причины возможных неприятностей зарание устранены, то всегда
найдется пятая;
5. Предоставленые сами себе, события имеют тенденцию развиваться от плохого
к худшему;
6. Как только вы принимаетесь делать какую-то работу, находится другая,
которую надо сделать еще раньше;
7. Всякое решение плодит новые проблемы;

Коментарий Каллагана к закону Мэрфи
-----------------------------------
Мэрфи был оптимистом !

Первый закон Чизхолма
---------------------
Все, что может испортиться, портится.

Следствия
---------
Все, что не может испортиться, портится тоже.

Второй закон Чизхолма
----------------------
Когда дела идут хорошо, что-то должно случиться в самом ближайшем будущем.

Следствия
---------
1. Когда дела идут хуже некуда, в самом ближайшем будущем они пойдут
еще хуже.
2. Если вам кажется, что ситуация улучшается, значит вы чего-то не
заметили.

Третий закон Чизхолма
---------------------
Любые предложения люди понимают иначе, чем тот кто их вносит.

Следствия
----------
1. Даже если ваше объяснение настолько ясно, что исключает всякое ложное
толкование, все равно найдется человек, который поймет вас неправильно.
2. Если вы уверены, что ваш поступок встретит всеобщее одобрение, кому-то
он обязательно не понравится.

Первый закон Скотта
-------------------
Неважно, что что-то идет неправильно. Возможно это хорошо выглядит...

Первый закон Финэйгла
---------------------
Если эксперимент удался, что-то здесь не так...

Третий закон Финэйгла
---------------------
В любом наборе исходных данных самая надежная величина, не требующая
никакой проверки, является ошибочной.

Четвертый закон Финэйгла
------------------------
Если работа проваливается, то всякая попытка ее спасти ухудшит дело.

Комментарий Эрманя к теореме Гинсберга
--------------------------------------
1. Перед тем, как улучшится, ситуация ухудшается.
2. Кто сказал, что она улучшится ?..

Второй закон термодинамики Эверита
-----------------------------------
Неразбериха в обществе постоянно возрастает. Только очень упорным трудом
можно ее несколько уменьшить. Однако сама эта попытка приведет к росту
совокупной неразберихи.

Закон термодинамики Мэрфи
-------------------------
Под давлением все ухудшается.

Закон Паддера
----------------------------------------
Все, что хорошо начинается, кончается плохо. Все, что начинется плохо,
кончается еще хуже.

Теорема Стакмайера
------------------
Если кажется, что работу сделать легко, это непременно будет трудно.
Если на вид она трудна, значит, выполнить ее абсолютно невозможно.

Первый закон создания динамики систем Зимерги
---------------------------------------------
Если уж вы открыли банку с червями, то единственный способ снова их
запечатать - это воспользоваться банкой большего размера.

Дополнительные замечания :
--------------------------
Ошибка ? Это не ошибка, это системная функция !

Компьютер "делает из всех нас дураков".

Если отладка - процесс удаления ошибок, то программирование должно быть
процессом их внесения. -- Э.Дейкстра

Вы уже дошли до состояния, когда у вас нет времени, чтобы разрешить те
проблемы, которые отнимают у вас все время ? -- Марк Дэвисон

.................

Автор рассылки: Александр ; по всем вопросам пишите.

©2003

Какое-либо распространение метериала рассылки без разрешения автора запрещено
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное