Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Задачи по математике для поступающих

Подписаться Бесплатная новостная рассылка Подписчиков 12 RSS
←   Апрель 2003   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://www.rml.h10.ru
Открыта: 27-03-2003

Автор
Александр

Статистика

12 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Задачи по математике для поступающих


Информационный Канал Subscribe.Ru

Выпуск 5

Задачи по математике для поступающих
19.04.2003

Здравствуйте уважаемые подписчики. Эта рассылка призвана помочь школьникам и абитуриентам в их занятиях по математике. В каждом номере рассылки планируется публикация нескольких задач, решения которых вы можете присылать мне. Наиболее интересные решения будут опубликованы в следующих номерах рассылки. Также в рассылку включены справочные материалы, которые могут помочь вам в ваших занятиях. Если у вас есть интересные задачи, присылайте их мне. Будем пытаться их решить все вместе.

Героем этой недели объявляю Скороходова Виктора, за его решение задачи №18
Задачи

21. Найти все действительные значения a, при которых уравнение x8+ax4+1=0 имеет ровно четыре различных действительных корня и эти корни образуют арифметическую прогрессию. Ответить.

22. Найти все комплексные числа x и y такие, что числа x, x+2y, 2x+y образуют арифметическую прогрессию, а числа (y+1)2, xy+5, (x+1)2, образуют геометрическую прогрессию. Ответить.

23. Найти все действительные значения a, при которых уравнение x(x12-ax6+a4)=0 имеет ровно пять различных действительных корней, и эти корни образуют арифметическую прогрессию. Ответить.

24. Машинистка должна была выполнить набор рукописи на компьютере за 6 дней. Однако она набирала каждый день на 5 страниц больше, и за 2 дня до срока ей оставалось набрать 30 страниц. Сколько страниц в день набирала машинистка? Ответить. Прислал: Корж Максим

*) Ответы на данные задачи будут опубликованны в следующих выпусках, когда придет хотя бы одно решение.

**) Свои решения присылайте мне. Наиболее интересные из них будут опубликованы.
Справочный материал

1. sin2x+cos2x=1

2. tg(x)*ctg(x)=1

3. sin(x)*csc(x)=1

4. cos(x)*sc(x)=1

5. sc2x = 1+tg2x

6. csc2x = 1+ctg2x

7. cos2x = 1/(1+tg2x) = ctg2x/(1+ctg2x)

8. sin2x = 1/(1+ctg2x) = tg2x/(1+tg2x)
Факультатив

Данный раздел рассылки посвящен материалам и разделам математики, которые выходят за рамки школьной программы, но могут быть интересны школьникам интересующимся математикой. Материалы данного раздела не требуют знания специальных разделов математики и для их понимания достаточно школьных знаний.

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

В чем состоит смысл решения задачи на построение? Решить задачу на построение - значит, по данному геометрическому образу построить другой геометрический образ. Это может быть выполнено различными методами, например, методом геометрических мест и другими способами, в частности, при помощи геометрических преобразований. Применение геометрических преобразований при решении задач на построение состоит в следующем: если требуется по условию задачи фигуру Ф непосредственно построить трудно, то вначале строят преобразованную фигуру Ф1, которую построить легче, а затем при помощи обратного преобразования строят искомую фигуру.

При решении задач на построение часто рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из четырех этапов: 1) анализа; 2) построения; 3) доказательства; 4) исследования.

НЕБОЛЬШОЙ ОПРОС

Нужно ли продолжать публикацию материала по неевклидовой геометрии? Следующие темы: 1)Исследования Лежандра; 2) Неевклидова геометрия Римана; 3) псевдоевклидова геометрия; и т.д.

Да Нет
Решения

17. lg tg 1 + lg tg 2 + ... + lg tg 89 = lg ( tg 1 * tg 2 * ... * tg 89);
т.к. tg 89 = ctg 1 (по формулам приведения), а tg x * ctg x = 1, то
... = lg (1 * tg 45); tg 45 = 1. => ... = lg 1 = 0.

Правильные решения прислали: Юлия, кАй, Felix, Swandle.

Вынужден извиниться перед всеми. Велечины углов даны в градусах.

18. Ответ 1,2,4,8, то есть b1=1; q=2, или 8,4,2,1, т.е. b1=8; q=1/2.
Решение этого примера я начал с анализа задачи:
Понятно, что если сумма 4 членов прогрессии равна 15, то
b1(q3 + q2 + q+ 1)=15, a

b12(q6+ q4 + q2+ 1)=85.
Подставляя во 2 уравнение b1 мы получим уравнение 6 степени от q решение этого уравнения занимает порядка 2 страниц, так что приводить все решение я считаю глупо и долго.... Основные моменты: приводя подобные получим

(q2+1)(14q4 - 14q2 + 14- 17q3- 3q2 -17q)=0
Первый сомножитель больше 0 на него можно сократить!!!!!!
Получается уравнение 4 степени!!!!!!!
Сразу можно увидеть, что одно решение данного уравнения "2"(q=2)
делим столбиком получаем уравнение 3 степени.... видим, что ещё одно решение "1/2" делим...
Получаем:

7q2+ 9q + 7= 0
Это уравнение не имеет действительных решений!!!!!!!!

Значит всего 2 случая: q=2, q=1/2
Подставляя q в уравнения (которые самые первые) мы получаем ответ!!!!!!!!!!
ВОТ И ВСЕ!!!!!!!!!!!!!

Автор решения: Скороходов Виктор

Правильные решения прислал: Скороходов Виктор

19. Дано: a,b,c-арифметическая прогрессия
a2,b2,c2-геометрическая прогрессия

Найти:q
Решение: по характеристическому свойству арифметической прогрессии.
b=(a+c)/2 следовательно c=2b-a
q=c2/b2=(2b-a)2/b2=(4b2-4ab+a2)/b2=4-4a/b+a2/b2=4-4/Vq+1/q;
Получили
q2=(2Vq-1)2
1) q=2Vq-1, т.е. q=1
2) q= - 2Vq+1
q+2Vq-1=0
q=3+2V2,3-2V2
Ответ: 1, 3+2V2, 3-2V2
Va-квадратный корень из a
Матвей.

Правильные решения прислали: Софьин Матвей, Позин Александр.

20. a1=5 a2=9 a3=13; b1=3 b2=9 b3=15

При первом взгляде на эти две прогрессии возникает предположение, что их общие члены образуют арифметическую прогрессию с первым членом с1=9 и разностью 12. Докажем это.

1) Докажем, что все члены прогрессии c содержатся среди членов прогрессии a. Очевидно, что c1=9 принадлежит к прогрессии a. Пусть ck принадлежит к прогрессии a, т.е. ck=an, тогда ck+1=ck+12=ck+4+4+4=an+1+4+4=an+2+4=an+3. Т.е. ck+1 принадлежит к прогрессии a. Аналогично доказывается принадлежность к b.

2)Докажем, что прогрессией c исчерпываются все обшие члены этих двух последовательностей. Приравняем общие члены прогрессий a и b: 5+4(n-1)=3+6(p-1). После приведения подобных членов получаем: 2(1+n)=3p, т.е. (1+n) делится на 3, а p делиться на 2. Получили условие, которому должны удовлетворять n и p, что бы an=bp. Получаем n=2,5,8; p=2,4,6. Члены прогрессий с этими номерами входят в прогрессию c. Предположение доказано.

Найдем теперь сумму членов прогрессии c. Т.к. прогрессия a возрастает медленнее, то очевидно, что достаточно узнать, какой член прогрессии c будет последним впрогрессии a. 200 - ый член прогрессии a равен 5+4*199= 801. Но 801=9+12*66, т. е. всего членов прогрессии c, находящихся в прогрессии a, 67. Отсюда их сумма равна (9+801)*67/2= 27135

Правильные решения прислали: Соколова Ольга, Позин Александр.

Обращаю внимание на то, что в 20 задаче нужно найти сумму чисел, являющихся одновременно членами двух арифметических прогрессий, а не сумму членов этих прогрессий.
Словарик

Так, как HTML-редактор это все же не Mathcad, то пришлось ввести специальные обозначения для некоторых математических символов:

1. Va - квадратный корень из a.

*) Для получателей TXT версии рассылки настоятельно рекомендую перейти на HTML.

Рейтинг

1. Позин Александр - 2 очка

2. Юлия - 1 очко

3. кАй - 1 очко

4. Felix - 1 очко

5. Swandle - 1 очко

6 Софьин Матвей - 1 очко

7 Скороходов Виктор - 1 очко

8 Соколова Ольга - 1 очко

9 LadyZ - 1 очко

Юмор

1.Из дневника иракского партизана:
"Понедельник. Мы выбили американцев из Ум-Касра и захватили порт и
нефтяные вышки.
Вторник. Американцы нанесли массированный удар и захватили Ум-Каср и
нефтяные вышки.
Среда. Появилась служба безопасности "Лукойла", долго ругалась и выгнала
нас с американцами на три какие-то странные буквы в пустыню..."

2.В Ираке продолжаются кровопролитные бои между элитными подразделениями
американской и британской армий.

3. жутко реет Вова в небе
черной молнии подобен
он разит оттуда матом
толстых, вредных мерикосов

4.- Аэропорт, аэропорт, я борт 57, терплю бедствие! - Борт 57, борт 57, вас понял! Вычеркиваю!

5.Лицо любимой омрачила тень,
И вспыхнул взгляд, такой обычно кроткий.
Последнее, что помню в этот день -
Был черный диск чугунной сковородки!

Автор рассылки: Александр ; по всем вопросам пишите.

©2003

Какое-либо распространение метериала рассылки без разрешения автора запрещено
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное