Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Задачи по математике для поступающих

Подписаться Бесплатная новостная рассылка Подписчиков 12 RSS
←   Апрель 2003   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://www.rml.h10.ru
Открыта: 27-03-2003

Автор
Александр

Статистика

12 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Задачи по математике для поступающих #4


Информационный Канал Subscribe.Ru

Выпуск 4

Задачи по математике для поступающих
12.04.2003
Здравствуйте уважаемые подписчики. Эта рассылка призвана помочь школьникам и абитуриентам в их занятиях по математике. В каждом номере рассылки планируется публикация нескольких задач, решения которых вы можете присылать мне. Наиболее интересные решения будут опубликованы в следующих номерах рассылки. Также в рассылку включены справочные материалы, которые могут помочь вам в ваших занятиях. Если у вас есть интересные задачи, или задачи, которые вы не смогли решить, присылайте их мне. Будем пытаться их решить все вместе.
Задачи

16. Доказать, что если a = log1218 и b = log2454, то a*b+5(a-b)=1. Ответить.

17. Вычислить lg tg 1 + lg tg 2 + ... + lg tg 89. Ответить.

18. Найти геометрическую прогрессию с действительными членами, если сумма первых ее четырех членов равна 15, а сумма их квадратов равна 85. Ответить.

19. Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, составляют геометрическую прогрессию. Найти все возможные значения знаменателя этой последней прогрессии. Ответить.

20. Найти сумму чисел, являющихся одновременно членами двух арифметических прогрессий 5, 9, 13, ... и 3, 9, 15, ... , если известно, что каждая из этих прогрессий содержит по 200 членов. Ответить.

*) Ответы на данные задачи будут опубликованны в следующих выпусках, когда придет хотя бы одно решение.

**) Свои решения присылайте мне. Наиболее интересные из них будут опубликованы.
Справочный материал

1. logaNb = b*logaN (N>0, b - любое число)

2. logabNc = (c/b)*logaN (N>0, b<>0)

3. logbN = logaN/logab (N>0)

4. logba * logab = 1

5. Если a>1, то из 0<b<c следует, что logab<logac, а из logab<logac - что 0<b<c.

6. Если 0<a<1, то из 0<b<c следует, что logab>logac, а из logab>logac - что 0<b<c.

7. Геометрическая прогрессия: геометрической пргрессией называется такая числовая последовательность, у которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих равен своему предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля.
Факультатив

Данный раздел рассылки посвящен материалам и разделам математики, которые выходят за рамки школьной программы, но могут быть интересны школьникам интересующимся математикой. Материалы данного раздела не требуют знания специальных разделов математики и для их понимания достаточно школьных знаний.

НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ

Приведем несколько аксиом, содержащих утверждения, равносильные V постулату. Римский математик I века до н.э. Посидоний, византийский или армянский математик V-VI веков Аганис, багдадский математик IX века Саиб ибн Корра и каирский математик X-XI веков Хасан ибн ал-Хайсам доказывали V постулат на основании утверждения: "геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой и находящихся по одну сторону от нее, есть прямая". Греческий математик V века Прокл Диадох доказывал V постулат, опираясь на следующее допущение: "расстояние между двумя перпендикулярами к одной прямой ограничено". Греческий математик VI века Симпликий, багдадский математик IX века Аббас ал-Джуахари, среднеазиатский математик XII века Шамс ад-Дин ас-Самарканди и французкий математик XVIII-XIX веков Адриан Мари Лежандр доказывали V постулат при помощи допущения: "через точку внутри угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны". Английский педагог XVIII века Джон Плейфер заменял V постулат аксиомой: "через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данной".

Так, например, ясно, что если V постулат имеет место, то через тоску A, взятую вне прямой DD, можно провести в плоскости ADD единственную прямую BB, не пересекающую прямой DD. Действительно, для такой прямой должны быть выполнены соотношения: LBAC + LDCA >= 180o (где С - произвольно выбранная точка прямой DD) и LBAC + LDCA >= 180o (рисунок), т.е. LBAC + LDCA = 180o (и LBAC + LDCA = 180o). С другой стороны, если имеет место аксиома Плейфера, т.е. если через точку A, взятую вне прямой DD, в плоскости ADD проходит единственная прямая BB, не пересекающая DD, то эта прямая, как нетрудно убедится, будет определятся условием LBAC + LDCA = 180o;все же остальные прямые будут пересекать прямую DD, причем именно так, как это указывается в V постулате. Таким образом, V постулат в самом деле эквивалентен аксиоме Плейфера. Ввиду того, что аксиома Пейфера эквивалентна V постулату, но формулируется несколько проще, в современных изложениях элементарной геометрии вместо V постулата используют аксиому параллельности (в форме, предложенной Плейфером). Использована она и в гильбертовой аксиоматике евклидовой геометрии. Вопрос о доказуемости или недоказуемости V постулата полностью совпадает с вопросом о доказуемости или недоказуемости аксиомы параллельности (аксиомы Плейфера).
Решения

Ввиду того, что я не получил ни одного решения от читателей рассылки,

я не буду публиковать пока свои решения (ответы тоже).

Они будут опубликованны только после того, как я получу ваши варианты решения задач(и).
Словарик

Так, как HTML-редактор это все же не Mathcad, то пришлось ввести специальные обозначения для некоторых математических символов:

1. LABC - следует понимать, как угол ABC.

2. (Для получателей TXT версии рассылки) 180o - 180 градусов.

*) Для получателей TXT версии рассылки настоятельно рекомендую перейти на HTML.

Юмор
Ездил как-то один физтех в Штаты в аспер учиться... И заодно местных
старшеклассников (лет по 17-18, это важно) математике учить.
Урок.
- Ребята, есть такое понятие, предел ( lim ).
Даёт определение, объясняет....
- Вот, например, при X стремящемся к нулю, предел, например, восемь
делить на X равен бесконечности (пишет формулу, в конце знак
бесконечности, восьмерка на боку). Поняли?
- Да...
- Ну, кто-нибудь, решите предел lim(4/Х)... Кто готов?
К доске вызывается выйти парнишка, типа "я всё понял и могу".
Выходит и с гордым видом (а как же, я самый умный в классе), рисует
... "4" (четверку), лежащую на боку!

P.S. Класс долго не понимает, почему преп сполз под стол в коликах..
Автор рассылки: Александр ; по всем вопросам пишите.

©2003

Какое-либо распространение метериала рассылки без разрешения автора запрещено
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное