Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Октябрь 2007   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
13.10.2007
16:53:28
17:04:24
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Теория игр: Выработка решения в условиях полной неопределенности


   
Математика для экономистов
Сообщество
Теория игр

Выработка решения в условиях полной неопределенности

Задача. Компания "Углич-сыр" - небольшой производитель различных продуктов из сыра. Наибольши спросом в странах ближнего зарубежья пользуется такой продукт, как сырная паста. Финансовый менеджер должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Судя по прошлым месяцам, оптовый спрос на сырную пасту в течение месяца может составлять 6, 7, 8 или 9 ящиков. Затраты на производство одного ящика равны 10 ден. ед. Компания продает каждый ящик по цене 50 ден. ед. Если ящик с сырной пастой не продан в течение месяца, то паста портится, и компания терпит убыток в 10 ден. ед. Если ящиков выпущено меньше спроса, то есть возможность увеличить цену на 2% при условии, что разница между спросом и выпуском составляет 1 ящик. если же фирма произвела сырной пасты на 2 или 3 ящика меньше оптового спроса, то для того чтобы продать товар, придется снизить его цену соотвественно на 3 или 4%. Сколько ящиков следует производить в течение месяца?

Решение. На основании исходных данных построим матрицу последствий (говорят также о матрице игры или платежной матрице в игре с природой).

Стратегиями компании являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые она может производить. Состояниями природы выступают значения оптового спроса на число таких ящиков.

Вычислим доход, который получит производитель, если он примет решение о выпуске 6 ящиков, а спрос будет 8 ящиков.

Итак, пусть компания произвела 6 ящиков пасты, издержки производства которых составили 20 х 6 = 60 ден. ед. Если бы спрос был 6 ящиков, то выручка составила бы 50 х 6 = 300 ден. ед., а прибыль при таком сочетании спроса и предложения - 300 - 60 = 240 ден. ед. Но спрос 8 ящиков, поэтому выручка составит 300 ден. ед. минус 3% от этой суммы, т.е. 291 ден. ед. А прибыль в этом случае будет равна 231 ден. ед.

Таким образом, если принято первое управленческое решение, то первая строка матрицы последствий выглядит следующим образом: 240; 246; 231; 228.

Рассчитаем теперь прибыль, которую получит компания, если будет принято решение произвести 8 ящиков сырной пасты, а спрос найдут только 7 ящиков. Очевидно, выручка в этом случае будет 50 х 7 = 350 ден. ед., а издержки производства 8 ящиков - 10 х 8 = 80 ден. ед. Прибыль при таком сочетании спроса и предложения будет равна 350 х 80 = 270 ден. ед.

Аналогичным образом выполняются расчеты при других сочетаниях спроса и предложения. В итоге получаем матрицу последствий, которая приведена в таблице.

Производство ящиков Спрос на ящики
6 7 8 9
6 240 246 231 228
7 230 280 287 269,5
8 220 270 320 328
9 210 260 310 360

Помимо табличной широко распростарнена матричная форма записи. В общем случае речь идет о матрице Q = (qij) размера m x n, где i = 1,2,...,m - номера возможных управленческих решений, j = 1,2,...,n - набор тех альтернативных вариантов, которые может принимать реальная ситуация.

При этом возникает вопрос об оценке размеров риска, связанного с недополучением дохода при выборе того или иного решения. Обсудим логику соответствующего подхода.

Пусть принимается i-е решение. Очевидно, если бы было известно, что реальная ситуация примет j-й вариант, то ЛПР приняло бы решение, дающее доход qj = maxj qij. Но так как i-е решение принимается в условиях неопределенности, то существует риск получить доход не qi, а всего лишь qij. И этому неблагоприятному исходу можно сопоставить риск rij, размер которого целесообразно оценить как разность rij = qi - qij.

Матрицу R = (rij), составленную из элементов rij (где i=1,2,...,m, а j=1,2,...,n), называют матрицей рисков.

Построим матрицу рисков по полученной выше матрице последствий. Очевидно, q1=240, q2=280, q3=320, q4=360. Следовательно, матрица рисков имеет вид:

R
=
|| 0 34 89 132 ||
|| 10 0 33 90,5 ||
|| 20 10 0 32 ||
|| 30 20 10 0 ||

Как же использовать полученные матрицы для обоснованного выбора управленческого решения? Рекомендации по принятию решений в таких ситуациях сформулированы в виде определенных критериев. Рассмотрим основные из них.

Критерий максимакса (критерий крайнего (розового) оптимизма). По этому критерию наилучшим является решение, дающее максимальный выигрыш.

Применяя этот критерий к матрице последствий, находим наибольшее значение, равное 360. Таким образом, критерий максимакса рекомендует принять четвертое решение.

Критерий Вальда, или максимина. Рассматривая i-е решение, будем полагать, что ситуация складывается наихудшим образом, т.е. приносит минимальный доход. Выберем решение с наибольшим минимальным доходом.

Применяя этот подход к матрице последствий, мы должны принять второе решение.

Очевидно, между абсурдом крайнего оптимизма и консерватизмом крайнего пессимизма Вальда находится средневзвешенное этих подходов.

Альфа-критерий Гурвица рекомендует выбирать такой вариант решенич, при котором достигается максимум выражения сi = [альфа] min qij + (1 - [альфа]) max qij, где [0;1]Э[альфа].

При [альфа]=0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при [альфа]=1 он совпадает с критерием Вальда.

Примем для определенности значение альфа-критерия Гурвица равным 0,9. Рассматривая матрицу последствий по строкам, для каждого решения вычисляем значения сi. Так, с1 = 0,9 х 228 + 0,1 х 246 = 229,8; аналогично находятся с2 = 235,7; с3 = 230,8; с4 = 225. Следовательно, критерий Гурвица при заданном [альфа]=0,9 рекомендует выбрать второе решение.

Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска). Этот критерий аналогичен критерию Вальда, но ЛПР принимает решение, руководствуясь не матрицей последствий, а матрицей рисков. Согласно этому критерию лучшим является решение, при котором максимальное значение риска будет наименьшим.

Рассматривая матрицу рисков, примем четвертое решение, руководствуясь критерием Сэвиджа.



mathematics.economics@rambler.ru

Автор оставляет за собой право:

а) отвечать не на все полученные письма,
б) публиковать полностью или частично полученные письма в рассылке.
В избранное