Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Октябрь 2007   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
13.10.2007
16:53:28
17:04:24
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Теория игр: Выработка решения в условиях полной неопределенности


<html>

<body bgcolor="white" text="black" link="blue" alink="blue" vlink="blue">
   
<HR NOSHADE>

<!--/noindex-->
<xbody Link="#000000" alink="#0000ff" vlink="#000000">
<table cellspacing=0 cellpadding=0 width="100%" border=0>
<tr><td bgcolor="#000000"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
</table>
<table cellspacing=0 cellpadding=0 width="100%" border=0>
<tr>
<td width="50%" bgcolor="#cc9900">&nbsp&nbsp&nbsp</td>
<td width="50%" bgcolor="#cc9900" align="right"></td>
</tr>
</table>
<table cellspacing=0 cellpadding=0 width="100%" border=0>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#000000"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
</table>
<table cellspacing=0 cellpadding=1 width="100%" border=0>
<tr><td bgcolor="#000000">
<table cellspacing=0 cellpadding=10 width="100%" border=0>
<tr>
<td width=160 bgcolor="#dddddd" valign="top">
</td>
<td bgcolor="#eeeeee" align="center">
<font style=""font-family:" verdana; font-size: 25px; color: #cc9900"><b><i>Математика <nobr>для экономистов</nobr></i></b><br></font>
<br><table cellspacing=0 cellpadding=0 width="100%" border=0>
<tr><td bgcolor="#eeeeee" align="right">
<font style=""font-family:" verdana; color: black; font-size: 10px">
<b><a href="http://community.livejournal.com/math_economics/">Сообщество</a></b>
</font>
</td></tr></table>
</td>
</tr>
</table>
</td></tr>
</table>
<table cellspacing=0 cellpadding=0 width="100%" border=0>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
</table>

<table cellspacing=0 cellpadding=1 width="100%" border=0>
<tr><td bgcolor="#000000">
<table cellspacing=0 cellpadding=10 width="100%" border=0>
<tr>
<td width=160 bgcolor="#dddddd" valign="top" align="center">
</td>
<td bgcolor="#ffffff" valign="top">
<center><hr width="80%"><font style=""font-family:" arial; font-size: 20px; color: #ff0000; text-decoration: none"><b><i>Теория игр</i></b></font><hr width="80%"></center><br>
<div align="center"><font style=""font-family:" arial; font-size: 20px; color: #cc9900"><b><i>
Выработка решения в условиях полной неопределенности</nobr>
</i></b></font></div><br>
<p align="justify"><font style=""font-family:" arial cyr; font-size: 14px; color: black">
<b>Задача.</b> Компания "Углич-сыр" - небольшой производитель различных продуктов из сыра. Наибольши спросом в странах ближнего зарубежья пользуется такой продукт, как сырная паста. Финансовый менеджер должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Судя по прошлым месяцам, оптовый спрос на сырную пасту в течение месяца может составлять 6, 7, 8 или 9 ящиков. Затраты на производство одного ящика равны 10 ден. ед. Компания продает каждый ящик по цене 50 ден. ед. Если ящик с сырной пастой не продан в течение месяца, то паста портится, и компания терпит убыток в 10 ден. ед. Если ящиков выпущено меньше спроса, то есть возможность увеличить цену на 2% при условии, что разница между спросом и выпуском составляет 1 ящик. если же фирма произвела сырной пасты на 2 или 3 ящика меньше оптового спроса, то для того чтобы продать товар, придется снизить его цену соотвественно на 3 или 4%. Сколько ящиков следует производить в течение месяца?<br><br>
<b>Решение.</b> На основании исходных данных построим матрицу последствий (говорят также о <i>матрице игры</i> или <i>платежной матрице в игре с природой</i>).<br><br>
Стратегиями компании являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые она может производить. Состояниями природы выступают значения оптового спроса на число таких ящиков.<br><br>
Вычислим доход, который получит производитель, если он примет решение о выпуске 6 ящиков, а спрос будет 8 ящиков.<br><br>
Итак, пусть компания произвела 6 ящиков пасты, издержки производства которых составили <nobr>20 х 6 = 60 ден. ед.</nobr> Если бы спрос был 6 ящиков, то выручка составила бы <nobr>50 х 6 = 300 ден. ед.,</nobr> а прибыль при таком сочетании спроса и предложения - <nobr>300 - 60 = 240 ден. ед.</nobr> Но спрос 8 ящиков, поэтому выручка составит 300 ден. ед. минус 3% от этой суммы, т.е. 291 ден. ед. А прибыль в этом случае будет равна 231 ден. ед.<br><br>
Таким образом, если принято первое управленческое решение, то первая строка матрицы последствий выглядит следующим образом: 240; 246; 231; 228.<br><br>
Рассчитаем теперь прибыль, которую получит компания, если будет принято решение произвести 8 ящиков сырной пасты, а спрос найдут только 7 ящиков. Очевидно, выручка в этом случае будет <nobr>50 х 7 = 350 ден. ед.,</nobr> а издержки производства 8 ящиков - <nobr>10 х 8 = 80 ден. ед.</nobr> Прибыль при таком сочетании спроса и предложения будет равна <nobr>350 х 80 = 270 ден. ед.</nobr><br><br>
Аналогичным образом выполняются расчеты при других сочетаниях спроса и предложения. В итоге получаем матрицу последствий, которая приведена в таблице.</font></p>

<table align="center" border="1">
<tr>
<td rowspan="2">Производство ящиков</td>
<td align="center" colspan="4">Спрос на ящики</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">6</td>
<td align="center">7</td>
<td align="center">8</td>
<td align="center">9</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">6</td>
<td align="center">240</td>
<td align="center">246</td>
<td align="center">231</td>
<td align="center">228</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">7</td>
<td align="center">230</td>
<td align="center">280</td>
<td align="center">287</td>
<td align="center">269,5</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">8</td>
<td align="center">220</td>
<td align="center">270</td>
<td align="center">320</td>
<td align="center">328</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">9</td>
<td align="center">210</td>
<td align="center">260</td>
<td align="center">310</td>
<td align="center">360</td>
</tr>
</table>

<p align="justify"><font style=""font-family:" arial cyr; font-size: 14px; color: black">Помимо табличной широко распростарнена матричная форма записи. В общем случае речь идет о матрице Q = (q<sub>ij</sub>) размера m x n, где i = 1,2,...,m - номера возможных управленческих решений, j = 1,2,...,n - набор тех альтернативных вариантов, которые может принимать реальная ситуация.<br><br>
При этом возникает вопрос об оценке размеров риска, связанного с недополучением дохода при выборе того или иного решения. Обсудим логику соответствующего подхода.<br><br>
Пусть принимается i-е решение. Очевидно, если бы было известно, что реальная ситуация примет j-й вариант, то ЛПР приняло бы решение, дающее доход <nobr>q<sub>j</sub> = max<sub>j</sub> q<sub>ij</sub>.</nobr> Но так как i-е решение принимается в условиях неопределенности, то существует риск получить доход не q<sub>i</sub>, а всего лишь q<sub>ij</sub>. И этому неблагоприятному исходу можно сопоставить риск r<sub>ij</sub>, размер которого целесообразно оценить как разность <nobr>r<sub>ij</sub> = q<sub>i</sub> - q<sub>ij</sub>.</nobr><br><br>
Матрицу R = (r<sub>ij</sub>), составленную из элементов r<sub>ij</sub> (где i=1,2,...,m, а j=1,2,...,n), называют <i>матрицей рисков</i>.<br><br>
Построим матрицу рисков по полученной выше матрице последствий. Очевидно, q<sub>1</sub>=240, q<sub>2</sub>=280, q<sub>3</sub>=320, q<sub>4</sub>=360. Следовательно, матрица рисков имеет вид:</font></p>
<table align="center" border="0">
<tr>
<td rowspan="6" align="center">R</td>
</tr>
<tr>
<td rowspan="6" align="center">=</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">||</td>
<td align="center">0</td>
<td align="center">34</td>
<td align="center">89</td>
<td align="center">132</td>
<td align="center">||</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">||</td>
<td align="center">10</td>
<td align="center">0</td>
<td align="center">33</td>
<td align="center">90,5</td>
<td align="center">||</td>
</tr>
<tr>
<td align="center">||</td>
<td align="center">20</td>
<td align="center">10</td>
<td align="center">0</td>
<td align="center">32</td>
<td align="center">||</td>
<tr>
<td align="center">||</td>
<td align="center">30</td>
<td align="center">20</td>
<td align="center">10</td>
<td align="center">0</td>
<td align="center">||</td>
</tr>
</tr>
</table>

<p align="justify"><font style=""font-family:" arial cyr; font-size: 14px; color: black">Как же использовать полученные матрицы для обоснованного выбора управленческого решения? Рекомендации по принятию решений в таких ситуациях сформулированы в виде определенных критериев. Рассмотрим основные из них.<br><br>
<b>Критерий максимакса (критерий крайнего (розового) оптимизма).</b> По этому критерию наилучшим является решение, дающее максимальный выигрыш.<br><br>
Применяя этот критерий к матрице последствий, находим наибольшее значение, равное 360. Таким образом, критерий максимакса рекомендует принять четвертое решение.<br><br>
<b>Критерий Вальда, или максимина.</b> Рассматривая i-е решение, будем полагать, что ситуация складывается наихудшим образом, т.е. приносит минимальный доход. Выберем решение с наибольшим минимальным доходом.<br><br>
Применяя этот подход к матрице последствий, мы должны принять второе решение.<br><br>
Очевидно, между абсурдом крайнего оптимизма и консерватизмом крайнего пессимизма Вальда находится средневзвешенное этих подходов.<br><br>
<b>Альфа-критерий Гурвица</b> рекомендует выбирать такой вариант решенич, при котором достигается максимум выражения <nobr>с<sub>i</sub> = [альфа] min q<sub>ij</sub> + (1 - [альфа]) max q<sub>ij</sub>,</nobr> где [0;1]Э[альфа].<br><br>
При [альфа]=0 критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при [альфа]=1 он совпадает с критерием Вальда.<br><br>
Примем для определенности значение альфа-критерия Гурвица равным 0,9. Рассматривая матрицу последствий по строкам, для каждого решения вычисляем значения с<sub>i</sub>. Так, <nobr>с<sub>1</sub> = 0,9 х 228 + 0,1 х 246 = 229,8;</nobr> аналогично находятся <nobr>с<sub>2</sub> = 235,7;</nobr> <nobr>с<sub>3</sub> = 230,8;</nobr> <nobr>с<sub>4</sub> = 225.</nobr> Следовательно, критерий Гурвица при заданном [альфа]=0,9 рекомендует выбрать второе решение.<br><br>
<b>Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска).</b> Этот критерий аналогичен критерию Вальда, но ЛПР принимает решение, руководствуясь не матрицей последствий, а матрицей рисков. Согласно этому критерию лучшим является решение, при котором максимальное значение риска будет наименьшим.<br><br>
Рассматривая матрицу рисков, примем четвертое решение, руководствуясь критерием Сэвиджа.<br><br>
<br><br>
</font></p>

</td></tr></table>
</td></tr></table>

<table cellspacing=0 cellpadding=0 width="100%" border=0>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#cc9900"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#cc9900"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#cc9900"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#cc9900"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#cc9900"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#cc9900"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
</table>
<table cellspacing=0 cellpadding=1 width="100%" border=0>
<tr><td bgcolor="#000000">
<table cellspacing=0 cellpadding=10 width="100%" border=0>
<tr>
<td width=160 bgcolor="#dddddd" valign="top">
</td>
<td bgcolor="#eeeeee">
<table cellspacing=0 cellpadding=5 width="100%" border=0>
<tr><td width="100%" bgcolor="#eeeeee">
<a href="http://mathematics.boom.ru/">
<font style=""font-family:" arial cyr; font-size: 14px; color: black"><a href="mailto:mathematics.economics@rambler.ru?subject=mathematics">mathematics.economics@rambler.ru</a><br><br>
Автор оставляет за собой право:<br><br>
а) отвечать не на все полученные письма,<br>
б) публиковать полностью или частично полученные письма в рассылке.<br><br>
</font>
</td></tr></table>
</td></tr></table>
</td></tr></table>
<table cellspacing=0 cellpadding=0 width="100%" border=0>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#cc9900"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#cc9900"></td></tr>
<tr><td bgcolor="#ffffff"></td></tr>
</table>
<!-- --><!--noindex-->
<!-- 5939 --><HR NOSHADE>

</body>
</html>
В избранное