Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Финансы и финансовая математика

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Оперативные финансовые и экономические новости" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Март 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Станислав Агапов

Статистика

516 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Финансы и финансовая математика: Правило торговца


 

§ 8. Правило торговца

Станислав Агапов

В предыдущем параграфе мы рассмотрели актуарный метод, используемый банками при учёте частичных платежей по кредитам. Однако существует ещё один подход к этому вопросу, называемый правилом торговца. Правило торговца в большей степени, чем актуарный метод, отражает дух простых процентов, так как не предполагает уменьшение величины основного долга до завершения срока ссудной операции.

Суть правила торговца

Смысл этого метода достаточно прост и заключается в следующем. На каждый внесённый частичный платёж, так же, как и на основной долг, начисляются проценты. В момент окончания сделки сравниваются итоговая задолженность и все частичные платежи с начисленными на них процентами. Если необходимо, то делается последний погашающий платёж.

Поясним принцип действия правила торговца на том же примере, что и для актуарного метода.

Пример.

Напомню, что мы рассматривали ссуду размером 1000 фунтов стерлингов Соединённого Королевства, выданную на год под простую процентную ставку i = 20%. До окончания ссудной операции было сделано три частичных платежа:

  • A1 = 600 фунтов стерлингов через 3 месяца (t1 = ¼) после начала сделки;
  • A2 = 10 фунтов стерлингов через полгода (t2 = ½) после начала сделки;
  • A3 = 300 фунтов стерлингов через 9 месяцев (t3 = ¾) после начала сделки.

Согласно принципу правила торговца, проценты начисляются:

  • На сумму основного долга S0 = 1000 фунтов стерлингов в течение всего срока ссуды (итоговая задолженность составляет 1000 + 20% · 1 · 1000 = 1200 фунтов).
  • На первый частичный платёж A1 = 600 фунтов стерлингов, сделанный в момент времени t1 = ¼, в течение девяти месяцев (сумма платежа с начисленными процентами составляет 600 + 20% · ¾ · 600 = 690 фунтов).
  • На второй частичный платёж A2 = 10 фунтов стерлингов, сделанный в момент времени t2 = ½, в течение полугода (сумма платежа с начисленными процентами составляет 10 + 20% · ½ · 10 = 11 фунтов).
  • На третий частичный платёж A3 = 300 фунтов стерлингов, сделанный в момент времени t3 = ¾, в течение трёх месяцев (сумма платежа с начисленными процентами составляет 300 + 20% · ¼ · 300 = 315 фунтов).

Сумма всех частичных платежей с начисленными на них процентами равна 690 + 11 + 315 = 1016 фунтов стерлингов. Последний (погашающий) платёж A4 равен разности между величиной итоговой задолженности (1200 фунтов) и этой суммой и составляет 1200 – 1016 = 184 фунта стерлингов.

Отметим, что всего за год заёмщик вернул кредитору 600 + 10 + 300 + 184 = 1094 фунта, что на 106 фунтов меньше, чем если бы он возвращал долг одним платежом в конце года.
 

Как видите, правило торговца является действительно простым методом. Правда, на практике он используется не так часто (фактически, а где он вообще используется?).

Сравнение актуарного метода и правила торговца

В конце этого параграфа для гурманов, любителей красивых математических доказательств мы выведем одно интересное неравенство. Если вы таковым не являетесь, то дальше можете не читать.

Итак, пусть ссуда размером S0, выданная на срок T лет под простую процентную ставку i, погашается частичными платежами A1, A2, ..., An в моменты времени t1, t2, ..., tn соответственно, причём tn = T. Пусть, как и в параграфе 7, τ1, τ2, ..., τn — это промежутки времени между датами внесения платежей.

Обозначим через An,акт последний платёж, вычисленный с использованием актуарного метода, а через An,торг — последний платёж, найденный по правилу торговца. Значение первой величины можно найти по формуле (7.2), а чтобы получить выражение для An,торг , достаточно вспомнить суть правила торговца и убедиться, что справедливо представление:

(8.1)

An,торг = .

Утверждение

Если при расчётах с использованием актуарного метода все частичные платежи A1, A2, ..., An идут на погашение процентов и на уменьшение основного долга, а не присоединяются к следующему платежу, то выполняется соотношение An,акт > An,торг .

Доказательство

Введём набор вспомогательных функций

, t ∈ [0, τk], 1 ≤ k ≤ n .

Каждая из функций ψ1(t), ψ2(t), ..., ψn–1(t) является убывающей, а функция ψn(t) — постоянной (тождественно равной нулю) в области своего определения. Это следует из того, что

,

причём равенство достигается только для k = n. Кроме того, очевидно, что ψk(τk) = ψk+1(0) для любого 1 ≤ k < n. Следовательно, выполняется цепочка неравенств:

ψ1(0) > ψ2(0) >... > ψn–1(0) > ψn(0) = 0.

Воспользуемся теперь формулами (8.1) и (7.2) и рассмотрим разность An,акт и An,торг :

An,акт – An,торг = 

,

причём равенство достигается только в случае n = 1 (это вырожденный случай, когда частичных платежей вообще нет, а есть только один завершающий).

□


  Этот и все остальные выпуски рассылки вы можете найти на сайте www.finmath.ru


В избранное