Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Финансы и финансовая математика

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Оперативные финансовые и экономические новости" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Март 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Станислав Агапов

Статистика

516 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Финансы и финансовая математика: Кредиты, возвращаемые по частям


 

§ 7. Кредиты, возвращаемые по частям

Станислав Агапов

Как было отмечено ранее, в России кредиты выдаются под простые проценты (за исключением, возможно, каких-то редких случаев). В этом параграфе мы рассмотрим общий метод, с помощью которого банки производят расчёты по кредитам, когда эти самые кредиты погашаются по частям (собственно, когда кредит погашается одним платежом, то это — простая ссуда, о которой уже всё сказано в предыдущих параграфах).

Актуарный метод

Суть метода (который, кстати, называется актуарным) проста и заключается в следующем. Если величина частичного платежа по кредиту превосходит сумму начисленных к данному моменту процентов, то сначала погашаются проценты, а остаток идёт на уменьшение основного долга. После этого проценты начисляются уже на уменьшенную сумму основного долга. Если же частичный платёж меньше, чем начисленные проценты, то он присоединяется к следующему платежу. Последний частичный платёж должен полностью погасить задолженность.

Поясним принцип действия актуарного метода на примере.

Пример.

Пусть ссуда размером S0 = 1000 фунтов стерлингов Соединенного Королевства выдана на год под простую процентную ставку i = 20%. Допустим, что до окончания ссудной операции было сделано три частичных платежа:

  • A1 = 600 фунтов стерлингов через 3 месяца (t1 = ¼ — а как иначе, мы же не знаем точных дат проведения этой ссудной операции) после начала сделки;
  • A2 = 10 фунтов стерлингов через полгода (t2 = ½) после начала сделки;
  • A3 = 300 фунтов стерлингов через 9 месяцев (t3 = ¾) после начала сделки.

Найдём последний (погашающий) платёж A4, сделанный в момент завершения операции (через год после начала сделки).

За время t1 = ¼ года на сумму основного долга (которая равна размеру кредита) было начислено 20% · ¼ · 1000 = 50 фунтов стерлингов процентных денег. Первый частичный платёж больше, чем эта сумма, поэтому он сначала идёт на погашение процентов (50 фунтов), а затем — на погашение основного долга (550 фунтов). В результате после внесения первого частичного платежа размер задолженности заёмщика составил S1 = 1000 – 550 = 450 фунтов стерлингов. Начиная с момента времени t1 = ¼ начисление процентов осуществляется уже на эту сумму.

С момента времени t1 = ¼ по момент времени t2 = ½ на сумму долга S1 было начислено 20% · ( ½ – ¼ ) · 450 = 22,5 фунтов стерлингов процентных денег. Второй частичный платёж (10 фунтов) меньше, чем эта сумма, поэтому он полностью присоединяется к третьему частичному платежу. Величина задолженности остаётся той же: S2 = S1.

С момента времени t1= ¼ по момент времени t3 = ¾ на задолженность S1 было начислено 20% · ( ¾ – ¼ ) · 450 = 45 фунтов стерлингов процентных денег. Второй и третий частичный платёж в сумме (10 + 300 = 310 фунтов) превосходят эту величину, поэтому они идут на погашение процентов (45 фунтов) и на уменьшение основного долга (310 – 45 = 265 фунтов). Значит, после внесения этих платежей размер задолженности заёмщика составит S3 = 450 – 265 = 185 фунтов стерлингов.

Таким образом, за 3 месяца (¼ года) до окончания срока ссуды заёмщик должен вернуть кредитору лишь 185 фунтов. За оставшееся время на эту сумму будет начислено 20% · ¼ · 185 = 9,25 фунтов стерлингов процентных денег. Следовательно, искомый заключительный платёж составляет A4 = 185 + 9,25 = 194,25 фунтов.


Обратите внимание: всего заёмщиком было выплачено 600 + 10 + 300 + 194,25 = 1104,25 фунтов стерлингов. Если бы речь шла о простой ссуде, то есть если бы заёмщику пришлось возвращать долг одним платежом через год после начала сделки, то он бы заплатил 1000 + 20% · 1 · 1000 = 1200 фунтов. Видно, что сумма в первом случае заметно меньше. Это объясняется тем, что часть основного долга, на который начисляются проценты, была возвращена кредитору ещё до окончания ссудной операции.
 

Контур финансовой операции

Рассмотренный пример можно представить в виде графика, который называется контуром данной финансовой операции. Этот график иллюстрирует изменение задолженности заёмщика: наклонные линии соответствуют начислению процентов, а вертикальные — внесению частичных платежей:

Контур ссудной операции из примера

Контур ссудной операции из примера

Разумеется, нам крупно повезло, что в этом примере было только 4 платежа (а фактически, лишь 3). А если бы их было 44? Очевидно, что в этом случае к концу примера количество читателей данного параграфа заметно бы уменьшилось. Значит, нужно формализовать приведённое в самом начале описание актуарного метода и получить удобные расчётные формулы.

Формализация актуарного метода

Будем рассматривать общий случай — ссуду размером S0, выданную на срок T лет под простую процентную ставку i, которая погашается частичными платежами A1, A2, ..., An в моменты времени t1, t2, ..., tn соответственно, причём tn = T. Обозначим промежутки времени между датами внесения платежей следующим образом: τ1 = t1, τ2 = t2 – t1, ..., τn = T – tn–1. Будем также предполагать, что все частичные платежи достаточно большие по размеру и идут на погашение начисленных процентов и (возможно) основного долга, а не присоединяются к последующим платежам.

Утверждение

При использовании актуарного метода после внесения частичного платежа Ak (1 ≤ k ≤ n) сумма основного долга Sk, служащая базой для начисления процентов в последующих периодах, задаётся формулой

(7.1)

.

Доказательство

Будем доказывать утверждение по индукции. Очевидно, что после внесения первого частичного платежа сумма основного долга станет равной

S1 = (1 + i τ1 ) S0 – A1 ,

то есть для k = 1 формула (7.1) справедлива. Предположим теперь, что она выполняется для некоторого k < n. Рассмотрим частичный платёж с номером k+1. Ясно, что после его внесения сумма основного долга станет равной

Sk+1 = (1 + i τk+1 ) Sk – Ak+1.

Так как по предположению для Sk выполняется соотношение (7.1), то

.

Тем самым мы доказали утверждение для номера k+1. Значит, в силу метода математической индукции, утверждение можно считать доказанным для любого 1 ≤ k ≤ n.

□

Пример.

Кредит размером 2000 евро выдан 16.04.2007 на один год под 15% годовых и погашается ежемесячными платежами. В первые 3 месяца заёмщик совершил следующие выплаты по кредиту:

  • 16 мая — 192 евро;
  • 15 июня — 190 евро;
  • 16 июля — 188 евро.

Необходимо определить остаток задолженности по кредиту через три месяца (на дату 16.07.2007).

Прежде всего, найдём промежутки времени между датами внесения платежей:

  • τ1 = 30/365 ≈ 0,0822 года;
  • τ2 = 30/365 ≈ 0,0822 года;
  • τ3 = 31/365 ≈ 0,0849 года.

Теперь по формуле (7.1) можно определить искомый остаток задолженности:

S3 = 2000 · (1 + 0,15 · 0,0822)2 · (1 + 0,15 · 0,0849)

  – 192 · (1 + 0,15 · 0,0822) · (1 + 0,15 · 0,0849) 

     – 190 · (1 + 0,15 · 0,0849) – 188 ≈ 1498,46 евро
 

Формула (7.1), помимо того, что она самодостаточна и замечательна сама по себе, может быть использована для нахождения размера платежа с номером k, если известны размеры всех предыдущих платежей. В частности, так как Sn = 0, то для заключительного платежа справедлива формула

(7.2)

An =  .

Пример.

Самый первый пример этого параграфа решается с помощью формулы (7.2) в три строчки (и то из-за переносов):

A4 = 1000 · (1 + 0,2 · ¼ ) · (1 + 0,2 · ½ ) · (1 + 0,2 · ¼ )

– 600 · (1 + 0,2 · ½ ) · (1 + 0,2 · ¼ )

      – 310 · (1 + 0,2 · ¼ ) = 194,25 фунтов.



  Этот и все остальные выпуски рассылки вы можете найти на сайте www.finmath.ru


В избранное