Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 746 RSS
←   Октябрь 2007   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Открыта: 09-06-2007

Автор
Салимжанов Рафик Михайлович

Статистика

746 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Как быстро и правильно решать сложные тестовые задания ЕГЭ и ЕНТ по математике.


МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ И ЕНТ. ВЫПУСК 24
Рассылка сайта ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике. Полезные ссылки
ЗДРАВСТВУЙТЕ! СЕГОДНЯ В ВЫПУСКЕ:
  • Помогите решить задачу
  • Тесты ЕГЭ и ЕНТ
  • Статья
  • Ссылка
  • Анекдот

    • Помогите решить задачу

    На сайт ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике. Полезные ссылки" написал письмо Александр Парфенков. Он сообщил, что готовится самостоятельно к тестированию (молодец!) и просил помочь решить задачу:

    Найти сумму корней уравнения ((x-4)/x)2 + 8*((x-4)/(x-6))- 20*(x/(x-6))2 = 0.

    Решение. Пусть (x-4)/x = а, x/(x-6) = b. Тогда ab = (x-4)/(x-6) (проверьте сами!). Пэтому данное уравнение запишется так:
    a2 + 8ab - 20b2 = 0. Решать его будем как квадратное относительно а (считая b параметром). D = 64b2 + 80b2 = 144b2. Тогда a = -10b или a = 2b (подсчитайте сами).

    (x-4)/x = -10x/(x-6) или (x-4)/x = 2x/(x-6).

    Решим сначала первое уравнение: (x-4)/x = -10x/(x-6); (x - 4)(x - 6) = -10x2; x2 - 6x - 4x + 24 = -10x2; 11x2 -10x + 24 = 0. Дискриминант этого уравнения отрицателен. Значит оно не имеет решений.

    Рассмотрим теперь второе уравнение. (x-4)/x = 2x/(x-6); x2 - 6x - 4x + 24 = 2x2; x2 + 10x - 24 = 0; D = 100 + 96 = 196 = 142. x1 = 2, x2 = -12. Искомая сумма равна 2 - 12 = -10.

    Вообще говоря, это стандартное уравнение, сводящееся к решениею однородного уравнения второй степени. Здесь непросто заметить, что произведение дробей (x-4)/x и -10x/(x-6) дает дробь, входящую в средний член данного уравнения.

    Всем, кто хотел бы вовремя получить скорую помощь в решении математических задач следует оставлять свои публикации на соотвествующих форумах. Такой форум есть и у сайта ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике. Полезные ссылки".
    Тесты ЕГЭ и ЕНТ

    Пример 1. Упростие: [cos(α + 32o) + cos(α - 28o)]/cos(88o - α)

    1)-3;     2)√3;      3) √3/2;      4)-√3/2;      4) 1.

    Решение. Хорошо тому, кто помнит формулу преобразования суммы косинусов в произведение. А если забыл ее (честнее - не знал, вовремя не выучил). Как быть в этом случае? На уроке математики, конечно, получите заслуженную "двойку", а при решении этого тестового задания можно выкрутиться.

    Обратим внимание на то, что правильный ответ не должен зависеть от значения √. Тогда подвставив в данное выражение вместо √, например, 28о, получим (cos60o + 1)/cos60o. Шерлок Холмс в этой ситуации сказал бы, что задача решена - правильный ответ 2). Его верный друг Ваттсон, конечно, попросил бы объяснить этот странный выбор. Действительно, числитель полученного выражения cos60o + 1 явно больше 1, а его знаменатель cos60o - меньше 1 (дробь), а при делении числа на дробь результат увеличивается (это знают даже дети из 4-5 классов). Значит ответ должен быть больше 1. Таковым является только ответ 2.

    А вот еще один пример, расчитанный токого ученика, который не теряется в любых ситуациях.

    Пример 2. Найдите значение выражения (4y2 - 3xy + x2)/(x2 - xy + y2), если x/y = 2.

    1) 2/3;     2)3/2;      3) 1;     4)-2/3      5) -3/2.

    Здесь также в деле пустим ответы, которые явно говорят, что правильный ответ от х и y не зависит, лишь бы x/y = 2.

    Поэтому подберем х и y так, чтобы x/y = 2, например, х = 2 и y = 1. Тогда данное выражение примет значение 2/3 (вычислите сами!). Значит, правильный ответ 1). И это все, могут спросить некоторые. Да, все, ответ найден.

    Остается неприятное чувство, что мы кого-то обманули. Все наоборот, мы никого не обманули, а это нас обманули. Вмето математики посунули какую-то чепуху. Но это уже не тема моей рассылки. Кого интересуют последствия введения тестовых экзаменов в форме ЕГЭ и ЕНТ могут почитать мою статью "Почем опиум для народа?". Эта статья опубликована в моем блоге (ссылка на моем сайте).

    ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ


    Если учащийся только слушает, смотрит или читает готовые решения матматических задач, то он сам никогда не научится их решать без посторонней помощи. Поэтому предлагаю две задачи для самостоятельного решения.

    Пример 1. Упростите: (sin5α - sin3α)/(cos5α + cos3α).

    1) -ctgα;     2) -tg4α;      3) tgα;     4) tg4α;      5) ctgα.

    Пример 2. Вычислите значение дроби (3xz +x2 -2xy)/(4y2 - yz - 2z2) при условии, что x/z = -2, z/y = -1.

    1) 1,6;     2) 2,5;      3) 3;     4) -1,5;      5) -2.

    Правильные ответы на эти задачи будут располагаться на моем сайте "ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике. Полезные ссылки" (http://egeent.narod.ru/) в рубрие "Тесты ЕГЭ и ЕНТ", "Ответы к задачам рассылки".
    Статья

    ЛОГИКА - ДЕТИЩЕ АРИСТОТЕЛЯ


    В дореволюционной России, и в Советский период до середины пятидесятых годов прошлого тысячелетия почти во всех учебных заведениях (школах, вузах, техникумах) изучали логику. Позднее этот учебный предмет оказался ненужным. Теперь снова, наверное, как дань к ретро-моде, эта дисциплина опять кое-где возрождается. Так что такое наука Логика, и кому она нужна? На эти вопросы мы попытаемся дать ответ в нашей статье.

     Слово "логика" используется для обозначения науки о формах и законах мышления. Этот термин ввел в самом начале III в. до н.э. основатель стоического направления в философии - Зенон из г. Китиона, что на Кипре (ок. 336-264 гг. до н.э.). Из письменных источников известно, что Аристотель (384-322 гг. до н. э.) - подлинный создатель логики как науки, пользовался для ее обозначения другим словом - "аналитика". Скорее всего, слово "логика" происходит от древнегреческого "логос", которое в те времена представляло собой крайне многозначное выражение, являющееся основополагающим для философских взглядов многих античных философов. Многозначность логоса отразилась и на значении слова "логика". "Логос" - это понятие и слово, мысль и разум, идея, принцип, закон, порядок и пр.

    Отсюда, наверное, идет и многозначность современного слова "логика".

    В обыденной практике слово "логика" часто используется для обозначения необходимой, закономерной связи предметов и событий в окружающем мире, связи последующего с предыдущим: логика вещей, логика событий, логика действительности, физическая, предметная, причинно-следственная логика, объективная логика и т. п.

    В таком значении слово "логика" входит составной частью в название многих наук (физиология, биология, психология, геология и др.), чем и подчеркивается, что они исследуют законы, существующие свойства и связи предметного, естественного мира. Мы же будем вести речь о совсем другой логике.

    Весьма часто, чтобы показать красоту или процесс мышления отдельного человека или определенной возрастной категории, говорят о логике рассуждения Иванова, Петрова или Сидорова, детской логике, "железной логике", субъективной логике и т. д.

    Здесь, вероятно, следует говорить уже о психологии как науки, изучающей сам ход, процесс мышления.

    Иногда говорят, что логика - это наука о формах и законах мысли. Это и есть предмет той, почти потерянной для современного образования науки Логика.

    Однако не совсем понятно, что такое форма и закон мысли. Попытаемся дать ответ на первую часть вопроса путем рассмотрения нескольких примеров.

    Правильно ли рассуждает человек, когда говорит: "Если бы алюминий был металлом, он проводил бы электрический ток; алюминий проводит ток; значит, он металл?" Чаще всего отвечают: правильно, алюминий металл, и он проводит ток.

    Этот ответ, однако, неверен. Как так, возмутится иной читатель, ведь алюминий металл и он проводит ток. Все так, но не надо уходить от ответа на наш вопрос. Правильны ли рассуждения? Хотя все три суждения: "алюминий металл", "алюминий проводит ток", и "все металлы проводят ток" - каждое в отдельности верно, а способ, механизм вывода неверен.

    Попытаемся убедиться в этом путем построения схемы рассуждений в нашем примере.

    Если А металл, то А проводит ток.
    А проводит так.
    ---------------------------------------
    Значит, А металл.

    Такую схему вывода принято называть силлогизмом, все суждения, расположенные над чертой - посылками, под чертой - заключением.

    В нашем примере все посылки абсолютно верны, верно и заключение. Однако сам силлогизм неверен. Действительно, на основе схеме данного силлогизма построим другой конкретный пример.

    Если А металл, то А проводит ток.
    Вода проводит так.

    ---------------------------------------
    Значит, вода - металл.

    В этом случае вывод содержательно ложный, потому что из курса физики и химии известно, что вода не является металлом.

    Логическая правильность, должна не зависеть от того, истинны ли используемые в выводе ут-верждения или нет. Предыдущее рассуждение построено по неправильной схеме: "Если есть первое, то есть второе; второе есть; значит, есть и первое". Такая схема от истинных исходных положений может вести не только к истинному, но и к ложному заключению, она не гарантирует получения новых правильных выводов из имеющихся в наличии истин.

    Таким образом, схема (форма) рассуждений в нашем примере первый раз привела к правиль-ному итогу, а второй раз - к неправильному. Поэтому, такие формы рассуждений ненадежны. Ими пользоваться в науке не следует, они противопоказаны и даже для обыденной практики. Рассмотрим еще один пример силлогизма биологического содержания.

    Все рыбы дышат жабрами;
    кит - не рыба;
    ------------------------------
    киты не дышат жабрами.

    Вывод случайно может оказаться верным, однако аналогичный силлогизм точно такого же строения дает явно ложный вывод, не соответствующий реальной действительности:

    помидоры съедобны;
    огурцы - не помидоры;
    ---------------------------
    огурцы не съедобны.

    Значит, неверны и все силлогизмы, имеющие такое же строение как в первом примере.

    Абсурдность примера с помидорами и огурцами говорит о том, что неправильны силлогизмы вида

    А есть В;
    C не есть А;
    -----------------------
    Значит, С не есть В.

    Теперь мы в достаточной степени приблизились к тому, чтобы ответить на вопрос "Что такое форма мышления?".

    Логическая форма - это структура или способ связи составных частей мыслимого содержа-ния. Например, "Суворов был храбр", "Бой был жесток", "День был дождлив". Очевидно, что эти суждения имеют далеко не одинаковое смысловое содержание, но у них в принципе одинаковая логическая структура. Схематически это выглядит так: S есть P, где S - предмет мысли, Р - свой-ство, которое приписывается этому предмету.

    Возьмем два рассуждения: "Все космонавты - отважные люди. Комаров - космонавт. Следо-вательно, Комаров - отважный человек" и "Все жидкости упруги. Ртуть - жидкость. Следова-тельно, ртуть упруга".

    В этих рассуждениях речь идет о совершенно разных вопросах. Но логическая схема, струк-тура, форма рассуждений одинакова. В логике ее записывают часто так:

    М есть Р
    S есть М
    -------------------------------
    Следовательно, S есть Р

    Суждения "М есть Р" и "S есть М" связаны друг с другом общим для них понятием М и благодаря этому возможен совершенно верный вывод: ""S есть Р". Понятно, что силлогизмы такой структуры вполне допустимы для применения в рассуждениях.

    Логика, изучая подобного рода структуры мыслей в отвлечении от их конкретного содержания, устанавливает законы и правила рассуждений, ведущие от одних истинных утверждений к другим. Поскольку логика в узком смысле этого слова интересуется формой построения мыслей и отвлекается при этом от конкретной информации, заключенной в них, она называется формальной логикой.

    Почему логика должна абстрагироваться от конкретных мыслей, и изучать только формы этих мыслей? Ответ на этот вопрос весьма прост.

    Все мысли перечислить невозможно, следовательно, нельзя сформулировать особое правило для каждой отдельной мысли. Правила должны быть общими. Но какого рода будет эта общность? Если сформулировать отдельно правила к мыслям, относящимся к какой-либо одной группе предметов, например, правило к рассуждениям о всех людях или правило, относящееся к рассуждениям о звездах, то и в этом случае правил оказалось бы слишком много.

    Так поступают не только в логике, но и во многих других науках. Например, грамматика и геометрия. Грамматика не может сформулировать, скажем, одни правила для слов, относящихся к промышленности, другие - для слов, связанных с сельским хозяйством, третьи - для высказываний о любви. Геометрия не может устанавливать особые правила о том, как, измерять земляные, чугунные, деревянные, картонные тела. Грамматика формулирует общие правила, относящиеся к грамматической форме слов, независимо от того, к какой области знаний относятся эти слова, точно так же, как геометрия формулирует общие правила, относящиеся к геометрической форме тел, независимо от материала, твердости, прочности, цвета и других физических свойств этих тел.

    ВМЕСТО ПОСЛЕСЛОВИЯ

    Итак, мы по мере возможности рамок газетной статьи рассказали, что логика изучает логические формы и законы правильного мышления. Нужно ли школьникам знать основы логики? Об этом, наверное, и спрашивать не стоит. Ведь правильно мыслить нужно всем и всегда. Наличие логических знаний и позволит человеку правильно мыслить.

    Часто возражают, что человек может рассуждать правильно, и совершенно не думая ни о каких-либо логических правилах. Это, конечно, верно. Если у человека уже имеется навык логичного мышления, то он рассуждает, правильно, не думая о логических правилах. Такого человека можно сравнить с тем, кто привык писать грамотно даже при слабых знаниях грамматических правил. Но навыки, позволяющие избегать логических, ошибок, вырабатываются на основе знания логических правил с гораздо большим успехом и быстрее, чем без них. Человек без логических знаний в лучшем случае может заметить, что в каком-либо рассуждении есть непонятная ему ошибка. Однако он навряд ли сможет точно указать тип этой логической ошибки и объяснить другим, почему та или иная мысль неправильна, почему нельзя доверять данному выводу. Это особенно относится к тем случаям, когда ложность выводов не бросается в глаза.

    Наличие логических знаний и логической культуры позволяет людям правильно рассуждать и не терять рассудок в ситуациях целенаправленного психологического воздействия на него: гадания, мгновенные литореи, обещание быстрых успехов, мгновенного излечения от болезней, воздействия рекламы ненужных товаров и прочего шарлатанства.

    К сожалению, в учебных планах не только общеобразовательных, но и инновационных гимназий и лицеев нет актуального для нашего времени учебного предмета "Логика", а ведь именно познание основных логических закономерностей мышления может позволить каждому школьнику (и не только) наиболее функционально формировать и выстраивать весь объем воспринимаемой в ходе учебного процесса информации, реально оценивать свои действия и возможности, адекватно вести себя в обществе. Мы с этим советуем не пропустить в следующих номерах статьи, посвященные формированию логической и критической культуре мышления.

    Р. М. Салимжанов, egeent@bk.ru
    Полезные ссылки

    Образовательный портал. Математика и не только... ЕГЭ по всем предметам. Варианты вступительных экзаменов и учебники. Так громко назвал себя сайт расположенный по адресу http://2x2.110mb.com/index.php. Девиз сайта: "Сделаем сложное - понятным, понятное - легким". Это так, но за одним исключеним - за ваши деньги.
    Хотя справедливости следует отметить, что варианты тестов ЕГЭ предлагатся в режиме on-line тестирования совершенно бесплатно. При этом к некоторым заданиям даются достаточно подробные решения.

    Занимательная математика (http://rapidshare.com/files/63069714/Zanim_matematika.rar). Так называется книга, которая является сборником интересных математических и физических задач - головоломок из различных областей науки. Каждая задача изложена в форме короткой истории. Сборник будет интересен школьникам старших классов.
    Напоследок анекдот

    Мальчик 10-ти лет объявляет родителям:
    - Мне надоело с вами жить, вы вредные и слишком требовательные. Я ухожу от вас, буду жить один, делать что захочу, развлекаться как могу!
    Оглядываясь около двери говорит:
    - Пап, даже не думай меня останавливать!
    - Я не останавливаю, я с тобой!
    Если у Вас есть интересные материалы, вопросы и др., то пишите по адресу egeent"собачка" (замените "собачка"на @) bk.ru. Тема рассылки шире и подробнее освещена на сайте ЕГЭ и ЕНТ. Учебные материалы по математике и информатике. Полезные ссылки".
    До новых встреч!
    2007 При перепечатке, цитировании и другом использованииматериалов ссылка на Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ обязательна.
    Наверх
    В избранное