Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 746 RSS
←   Август 2007   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Открыта: 09-06-2007

Автор
Салимжанов Рафик Михайлович

Статистика

746 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Как за несколько секунд решить уравнения в тестовых заданиях и продолжение критического анализа учебного материала в школьном учебнике - содержание этого выпуска рассылки.


МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ И ЕНТ. ВЫПУСК 18
ЗДРАВСТВУЙТЕ!  СЕГОДНЯ В ВЫПУСКЕ:
  • Тесты ЕГЭ и ЕНТ
  • Статья
  • Ссылка
  • Анекдот

    • Тесты ЕГЭ и ЕНТ

    Как известно, новости бывают приятными и неприятными. Так и у нас. Есть примеры трудные и простые. Начнем с простых.

    Пример 1. Вычислите сумму корней уравнения (х2- 2х)1/3= 2.

    1) 6;         2) 2;         3) -6;         4) -2.

    Возведем обе части данного уравнения в квадрат и получим равносильное ему уравнение х2 - 2х= 8 или х2 - 2х - 8= 0.

    Далее рука сама просится вычислить дискриминант, найти оба корня последнего уравнения и их сумму.

    Но всего этого делать не нужно. Ответ и так известен 2). Действительно, сумма корней квадратного уравнения по теореме Виета равно второму коэффициенту с противоположным знаком.

    Пример 2. Найти сумму корней уравнения sin4(х/3) + cos4(х/3)= 5/8, принадлежащих отрезку [-90o;90o].

    1) 90о;         2) -90о;         3) 135о;         4) 0о.

    Здесь проще, чем в предыдущем примере. Ответ очевиден 5).

    Действительно, функция, расположенная в левой части уравнения является четной на отрезке [-90o;90o]. Это означает, что если какое-то число хо является корнем уравнения, то -хо тоже корень этого уравнения. Поэтому сумма всех корней данного уравнения равна 0.

    В завершение самое трудное задание.

    Пример 3. Укажите сумму корней уравнения 49·72х - 50·7х + 1= 0.

    1) 1;         2) 2;         3) -2;         4) 50.

    Пусть t= 7х, тогда 49t2 - 50t + 1= 0.

    При этом дискриминант последнего уравнения положителен: D= 2500 - 4·49·1> 0.

    Так как произведение корней этого уравнения равно 1/49> 0 и сумма этих корней равна 50/49> 0, то Уравнение имеет два положительных корня.

    Пусть х1 и х2 корни искомого уравнения. Тогда 7х1·7х2= 7х1 + х2= 1/49= 7-2. Поэтому х1 + х2= -2. Правильный ответ 3).
    Статья

    ЗА СТРАНИЦАМИ ШКОЛЬНОГО УЧЕБНИКА
    (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

    В предыдущих вупусках рассылки я осуществил критический анализ содержания только одного параграфа школьного учебника алгебры с позиции теории развивающего обучения. Здесь Вашему вниманию предлагается завершение этого анализа.

    О том, какие развивающие возможности скрываются в стандартных задачах из школьных учебников, говорится в нашем продолжении.

    Рассмотрим еще одно решение биквадратного уравнения из указанного выше школьного учебника алгебры для восьмого класса.

    9x4 - 10x2 + 1= 0.        (3)

    Так как x= 0 не является корнем уравнения (3), то обе его части можно разделить на х2.

    9x2 - 10 + 1/x2= 0.

    Введем обозначение y= 3x + 1/x2. Тогда y2= 9x2 + 6 + 1/x2 или y2 - 6= 9x2 + 1/x2.

    Поэтому y2 - 6 - 10= 0; y2= 16; y= - 4 или y= 4.

    Решая уравнения 3x + 1/x2= -4 и 3x + 1/x2= 4 находим все четыре корня уравнения (3):± 1/3;±1.

    Справедливости ради, следует отметить, что приведенный нами способ решения уравнения (3) не рациональнее общепринятого способа решения трехчленных уравнений, в частности биквадратных. Однако, рассмотренный нами способ, может быть использован в дальнейшем при решении так называемых симметрических уравнений.

    Кроме, этого полезно обсудить с учащимися вопрос о том, случайно или неслучайно при решении биквадратного уравнения получены пары взаимно противоположных корней.

    Приведем без комментариев еще одно решение уравнения (3).

    9x4 - 10x2 + 1= 0;       9x4 - 6x2 + 1 - 4х2= 0;       (3х2 - 1)2= 4х2;

    3х2 - 1= -2х или 3х2 - 1= 2х. Думаю, что читатель сам завершить это решение.

    Конечно, уравнение (3) имеет и другие решения. В частности, корни±1 можно подобрать устно, а далее легко разложить многочлен 9x4 - 10x2 + 1 на множители, один из которых равен х2 - 1= (х - 1)(х + 1) методом предложенным, например, в предыдущем выпуске.

    Я постарался показать, что критический анализ текста школьного учебника на уроке дает большие возможности для творческого развития учащихся, способствует к привычке всегда искать альтернативу, как средство для выбора из нескольких возможностей наиболее приемлемого в данной ситуации.

    Для прочного усвоения способов решения рассмотренных в трех последних выпусках рассылки уравнений предлагаю решить уравнения, которые имеются в упражнениях к тому пункту учебника алгебры восьмого класса, из которого мы заимствовали наши примеры.

    Возможно, что в этой непростой работе будут найдены и другие, не рассмотренные в нашей статье способы этих задач. Я всегда готова рассмотреть наиболее оригинальные из них и опубликовать в будущих выпусках рассылки.
    Полезная ссылка

    Единый государственный экзамен(http://ege.ru/) - сервер информационной поддержки ЕГЭ.

    Тестландия (http://testland.ru) - коллекция On-line тестов для всех.

    Телетестинг(http://teletesting.ru/) - Всероссийское компьютерное тестирование для старшеклассников, ознакомительные тесты.
    Напоследок анекдот

    Маленький мальчик потерялся в супермаркете. Подходит к нему женщина и спрашивает:
    - Мальчик, как тебя зовут?
    - Не знаю.
    - А твою маму как зовут?
    - Не знаю.
    - Ну адрес, адрес, хоть помнишь?
    - Помню! malchik@mail.ru!
    Если у Вас есть интересные материалы, вопросы и др., то пишите по адресу egeent"собачка"(замените "собачка" на @) bk.ru. Предыдущие выпуски рассылки находятся здесь.
    До новых встреч!
    2007 При перепечатке, цитировании и другом использовании материалов ссылка на Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ обязательна.
    Наверх
    В избранное