Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Сдай ЕГЭ и ЕНТ по математике на отлично!

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 746 RSS
←   Август 2007   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Открыта: 09-06-2007

Автор
Салимжанов Рафик Михайлович

Статистика

746 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Очередной набор приемов работы с тестовыми заданиями по решению уравнений и анализ содержания школьного учебника с позиции концепции развивающего обучения.


МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ И ЕНТ. ВЫПУСК 17
ЗДРАВСТВУЙТЕ!  СЕГОДНЯ В ВЫПУСКЕ:
  • Тесты ЕГЭ и ЕНТ
  • Статья
  • Ссылка
  • Анекдот

    • Тесты ЕГЭ и ЕНТ

    Иногда в тестовых заданиях на решение уравнений в ответах для выбора указывают не корни уравнения, а промежутки, которым могут принадлежат эти корни. Конечно, это несколько затрудняет поиск правильного ответа, минуя математическое решение задания. Однако, как говорится "Голь на выдумки хитра". Покажем некоторые приемы решения таких заданий.

    Пример 1. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения (3 - х)0,5= 2х - 1 принадлежат промежутку

    1) [0,5; 1,0];          2) (2,0; 2,5);          3) (1,0; 1,5);          4) [1,5; 2,0];          5) [2,5; 3,0].

    Cразу cледует отметить, что данное уравнений имеет не более одного корня, так как левая часть уравнения является убывающей функцией, а правая часть - возрастающей. При этом тестовая специфика - наличие единственного ответа, говорит нам о том, что уравнение обязательно имеет этот единственный корень.

    Решив вопрос качественно (установив количество корней уравнения), приступим к определению правильного ответа.

    Рассмотрим функцию, представляющую собой разность между левой и правой частями данного уравнения: f(x)= (3 - х)0,5 - 2х + 1.

    Найдем теперь значения этой функции на концах тех промежутков, которые указаны в возможных ответах.

    Так как f(0,5)> 0, f(1)= - 1> 0 и f(1,5)= - 2< 0, то на промежутке (1,0; 1,5) содержится тот единственный корень уравнения, о котором говорилось ранее.

    Здесь мы пользовались известной из курса математики теоремой: "Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, то на промежутке (a; b) существует хотя бы один корень уравнения f(x)= 0".

    Иногда, "работает" следующий, на наш взгляд, также эффективный прием решения уравнений.

    Пример 2. Сумма корней уравнения|х2 - 12|= -4х равна.

    1) 8;          2) -8;          3) 0;          4) -4;          5) 4.

    Легко понять, что корнями данного уравнения могут быть только отрицательные числа. Действительно, так как |х2 - 12|≥ 0, то -4х≥ 0 и х≤ 0. Так как х= 0 не является корнем данного уравнения, то х< 0.

    Поэтому ответы 1), 3) и 5) не следует брать во внимание.

    Нетрудно также устно подобрать хотя бы один корень данного уравнения, например, х= -2. Исходя из ответа 1) устанавливаем, что сумма остальных отрицательных корней должна равняться -6. При этом само число -6 также является корнем данного уравнения. Так как в ответах нет чисел меньших -8, то следует признать ответ 2) правильным.

    Вот такие оригинальные решения сконструировали мои бывшие ученики (теперь они уже студенты). Такие решения находят, несомненно, только те учащиеся, которые хорошо владеют теоретическим материалом, имеют навык не только решения, но и составления "быстрых" алгоритмов поиска правильных ответов в тестовых заданиях.

    Поэтому в заключение дадим один полезный совет. Не только решайте тестовые задания, но и ищите различные алгоритмы их решения. Даже если ваши поиски приведут вас в данном задании к неэффективным алгоритмам, при решении других заданий эти алгоритмы могут оказаться весьма полезными.
    Статья

    ЗА СТРАНИЦАМИ ШКОЛЬНОГО УЧЕБНИКА
    (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

    В предыдущем выпуске в статье с таким же названием я показал несколько способов решения одного и того же уравнения
    (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6)= 120          (1),

    взятого из объяснительного текста школьного учебника под редакцией С. А. Теляковского.

    Казалось бы, исчерпана несложная критика школьного учебника. Однако нет. В этом же параграфе авторы учебника заявляют, что после раскрытия скобок и приведения подобных членов в уравнении (1) получится уравнение

    x4 - 10x3 + 35x2 - 50x - 96= 0          (2),

    для которого трудно найти способ решения.

    Отчасти это правда. Однако трудности надо преодолевать, а не обходить, как это сделано в школьном учебнике. Хотелось дать любопытному ученику способ решения уравнения (2).

    К сожалению, это также не реализовано в учебнике алгебры под редакцией С. А. Теляковского. Попытаемся исправить чужую ошибку.

    Можно увидеть, что сумма коэффициентов при четных степенях переменной х (1 + 35 - 96= -60) и сумма коэффициентов при нечетных степенях переменной х (-10 - 50= -60) одна и та же. Это наблюдение подсказывает, что одним из корней уравнения (2) является число -1.

    Постараемся теперь разложить левую часть уравнения (2) на множители так, чтобы одним из них был двучлен x + 1.

    Применим следующий прием:
    x4 + x3 - 11x3 - 11x2 + 46x2 + 46x - 96x - 96= 0;
    x3(x + 1) - 11x2(x + 1) + 46x(x + 1) - 96(x + 1)= 0;
    (x + 1)(x3 - 11x2 + 46x - 96)= 0.

    Остается лишь решить уравнение x3 - 11x2 + 46x - 96=0.

    Также нетрудно понять, что если последнее уравнение имеет целый корень, то он может быть только делителем числа 96. Путем перебора делителей числа 96 находим еще один корень уравнения 6.

    Применяя указанный выше прием, разложим многочлен x3 - 11x2 + 46x - 96 на множители путем выделения общего множителя х - 6.

    х3 - 11x2 + 46x - 96= x3 - 6x2 - 5x2 + 30x + 16x - 96= x2(x - 6) - 5x(x - 6) + 16(x - 6)= (x - 6)(x2 - 5x + 16).

    Очевидно, что уравнение x2 - 5x + 16= 0 не имеет вещественных корней.

    Таким образом, категорическое утверждение авторов о непреодолимой трудности нахождения способа решения уравнения (2) является верным не для всех учащихся. В частности, в классах с углубленным изучением курса математики решение уравнений типа (2) должно занять такое же место, как и решение квадратных уравнений. При этом и учащиеся обычных, общеобразовательных классов должны иметь хотя бы возможность прочитать в учебнике, как решаются такие уравнения.
    Продолжение следует.
    Полезная ссылка

    Международный математический конкурс КЕНГУРУ(http://www.kenguru.sp.ru/) - Российская страница международного математического конкурса Кенгуру.

    Математические олимпиады и олимпиадные задачи(http://zaba.ru/) - задачная база, математический кружок, методический материал, ссылки.
    Напоследок анекдот

    Мальчик, только что разбив окно, говорит разъяренной матери:
    - Ты можешь, конечно, меня наказать! И даже побить! Но я вымещу эту несправедливость на твоих внуках.
    Если у Вас есть интересные материалы, вопросы и др., то пишите по адресу egeent"собачка" (замените "собачка" на @) bk.ru. Предыдущие выпуски рассылки находятся здесь.
    До новых встреч!
    2007 При перепечатке, цитировании и другом использовании материалов ссылка на Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ обязательна.
    Наверх
    В избранное