У следующих двух актеров нашей драмы есть определенные общие черты. И фон Нейман, и Канторович были математиками, а не экономистами. Вклад в экономику был лишь одним из результатов их исследований. Оба учёных были отчасти задействованы в ранних программах по разработке ядерного оружия для США и СССР [50] соответственно. Что касается фон Неймана, то связь его экономической деятельности с атомной физикой была более чем случайной. Одним из его крупных достижений была математическая формализация квантовой механики [61], которая объединила матричную механику Гейзенберга с волновой механикой Шрёдингера. Его работа над квантовой механикой совпала с первым проектом модели [39] экономического роста, изложенной в 1932 году на лекции в Принстоне. В обеих областях он использует векторные пространства и матричные операторы для векторных пространств, комплексных векторных пространств в квантово-механическом случае и действительных векторных пространств в модели роста. Курц и Сальвадори [30] утверждают, что модель роста фон Неймана должна рассматриваться как ответ на предшествующую работу социалистически настроенного математика Ремака [48], который работал над концепцией "суперпозиции цен".

Математические ссылки Ремака на зарождающуюся в то время матричную механику поражают: язык суперпозиций, использование унитарного матричного оператора C, аналогичного эрмитовым операторам в квантовой механике (9) . Однако каково экономическое значение теории Ремака для дискуссии о социалистическом расчёте?

Оно в следующем. Ремак впервые показывает, как, начиная с описания условий производства в натуральной форме, можно получить равновесную систему цен. Это подразумевает, что натуральная система содержит информацию, необходимую для ценообразования, и что цены представляют собой проекцию натуральной системы на пространство меньшей размерности (10) . Если это так, то любые вычисления, которые могут быть проделаны с данными в редуцированной системе p, могут быть в принципе выполнены и при помощи некоторой алгоритмической процедуры, берущей за основу C. Ремак выражает уверенность в том, что с развитием электрических вычислительных машин необходимые большие системы линейных уравнений станут решаемы.

Слабость анализа Ремака состоит в том, что он ограничивается экономикой, находящейся в устойчивом состоянии. И Мизес признавал, что социалистический расчёт возможен при таких обстоятельствах.

Фон Нейман продолжил обсуждение в двух различных направлениях:

1. Он моделирует растущую, а не статичную экономику. Экономика рассматривается в состоянии однородного пропорционального роста. Фон Нейман прямо отказывается от рассмотрения факторов ограниченности природных или трудовых ресурсов, предполагая взамен, что трудовые ресурсы могут быть увеличены, чтобы обеспечить рост. Возможно, это не так уж фантастично по отношению к экономике, подвергающейся быстрой индустриализации (например, экономике Советской России во времена написания работы фон Неймана).

2. Он учитывает существование множества методов производства каждого продукта, в то время как Ремак предполагает только один. Эти различные методы производства используют разные наборы ресурсов, и только некоторые из этих методов будут воплощены в жизнь.

Фон Нейман использует идею технологической матрицы, введенной Ремаком, но разделяет её на две матрицы: A, содержащую сведения о продуктах, потребляемых в производстве, и B, содержащую сведения о производимых продуктах. Таким образом, a_ij - количество j-го продукта, используемого в производственном процессе i, а b_ij - количество продукта j производимого в процессе i. Эта формулировка учитывает связанное производство, а также позволяет моделировать изнашивание средств производства следующим образом: процесс производства расходует новые машины и производит, как побочный продукт, старые, изношенные машины. Число процессов не обязательно должно равняться числу различных видов продуктов, следовательно, мы не обязательно имеем дело с квадратными матрицами.

Как и Ремак, фон Нейман предполагает существование ценового вектора y, но вдобавок к нему вводит также вектор интенсивности x, касающийся каждого производственного процесса. Мы покажем ниже, что та же самая формулировка используется Канторовичем. Две оставшихся переменных β и α - процентная ставка и темп роста экономики соответственно.

Фон Нейман делает два дополнительных предположения. Первое: "Не существует никакой прибыли". Под этим он подразумевает то, что все процессы производства с положительной интенсивностью возвращают доход, равный процентной ставке. Прибылью считается только доход, превосходящий процентную ставку. Это также означает, что не существует процессов, приводящих к убытку (с выходом меньше чем β). Второе предположение фон Неймана: цена любого продукта, произведенного в чрезмерном количестве, равна нулю.

Далее он показывает, что в этой системе существует состояние равновесия, в котором есть уникальный темп роста α = β, а также определённые векторы интенсивности и цен. Интенсивность и цены высчитываются одновременно.

Каковы существенные результаты?

- Натуральные методы, доступные экономике, представленной в виде матриц A и B, определяют, какие процессы производства должны использоваться и с какой интенсивностью.

- Они также определяют набор равновесных цен. Никакой системы субъективных предпочтений для этого не требуется.

- Натуральные методы также определяют темп роста и процентную ставку.

Какова социальная составляющая этой модели?

Она туманная. Говоря о капиталистической экономике, придется делать сказочное предположение: вся прибыль реинвестируется и проценты из выплат банкам превращаются в бухгалтерскую условность. Также неясно, как реальная капиталистическая экономика может достичь найденного равновесного пути. Сраффа [52] представил весьма похожую модель, явно связывая её с капиталистическим производством, но допустил капиталистическое потребление свыше процента на капитал. В отсутствие капиталистического потребления модель фон Неймана может, вероятно, рассматриваться как один из видов административной экономики. В то же время это будет экономика с по крайней мере расчётными ценами и воображаемым учётным платежом за использование капитала. Если фон Нейман всё-таки имеет в виду капиталистическую экономику, то ему необходимо доказать, что два его условия - о нулевых ценах за производимые сверх спроса товары и абсолютно однородной норме прибыли - могут быть достигнуты посредством рыночной конкуренции. Доказательство этого было бы весьма нетривиальным. Есть серьёзные причины подозревать, что однородная норма прибыли не может быть достигнута в динамических моделях этого типа [18].

Если мы предположим, что фон Нейман описывает административную экономику, то она значительно отличается от идей Нейрата из-за существования хотя бы административного ценового вектора. Но этот ценовой вектор возникает, наряду с процентной ставкой, исключительно из натуральной структуры экономики; итак, цены, как и у Ремака, - производное подпространство. В работе фон Неймана, однако, отсутствует описание процедуры, при помощи которой может быть найдено равновесное решение для экономики. Он доказывает существование такого решения, но не дает средства для его нахождения.

Если у нас нет связанного производства и существует только один процесс производства каждого продукта, то найти решение для модели фон Неймана сравнительно просто. Предположим, что у нас есть несколько видов продуктов, одним из которых является зерно, с фон-неймановскими матрицами A, B, которые являются квадратными, и B = I. Предположим далее, что у нас есть переменные из таблицы 1, тогда алгоритм 1 найдет цены, темп роста и интенсивность, максимально близкие к решению фон Неймана в зависимости от заданного e.

Если A, B имеют значения, данные в таблице 2, то с e = 0.001 алгоритм дает приблизительное решение, показанное в нижней части таблицы 2.

Алгоритм 1. Решение модели фон Неймана без выбора методов производства

начальные интенсивности x ← T;

начальные цены y ← 1;

предполагаемая прибыль β ← 0.2;

β ← α;

вычисляем затраты на единицу c ← (A.y) × (1 + β);

устанавливаем ценыy ← c;

рассчитываем использование μ ← Σ(A^T × x)

sales ← x.y;

n ← x - μ;

costs ← y.μ;

пересчитываем прибыль β ← (sales-costs)/costs

x ← 0,5×(x+μ×(1+α))

Строка выше будет смещать y в направлении соотношения, в котором физические пропорции ресурсов и выпускаемой продукции будут одинаковыми

пока |β-α|<ε

α = 1,01806

β = 1,01806

В начале 30-х не были известны алгоритмические методы, позволяющие решить более общую задачу, включающую связанное производство и множество возможных способов производства каждого продукта. Но в 1939 [25] советский математик В. Канторович открыл метод, который позже стал известен как линейное программирование или линейная оптимизация, за который он был позже награжден Сталинской и Нобелевской премиями. О своём открытии он писал:

Существенным в работе Канторовича было его открытие: основываясь на описании в простых физических терминах различных доступных методов производства, можно затем использовать определенную математическую процедуру, чтобы определить, какая комбинация методов лучше всего достигнет целей плана. Он косвенно бросил вызов фон Мизесу (11) , как доказывая, что расчёт в натуральной форме возможен, так и показывая, что может существовать не денежная объективная скалярная функция: степень, в которой достигнуты цели плана.

Практические задачи, решением которых был занят Канторович, были связаны с производством фанеры. Он хотел определить самый эффективный способ использования ряда машин в целях максимизации объёма выпускаемой продукции. Предположим, что производство конечного продукта требует использования двух компонентов, A и B. Вместе они должны быть поставлены в равных количествах. У нас также есть три типа машин, производительность которых показана в таблице 3.

Предположим, что каждая машина производит равные количества A и B. Три фрезерных станка могут выдать в час 30 единиц A или 60 единиц B. Если эти три станка производят A в течение 40 минут, а затем B в течение 20 минут, то за час они произведут 20 единиц каждого продукта. Применяя подобное разделение времени, мы можем производить по 36 A и B на револьверных токарных станках и по 21 A и B на автоматическом револьверном токарном станке (Таблица 4).

Но Канторович далее показывает, что такое использование станков не является оптимальным. Если мы будем использовать автоматический токарный станок только для производства B, револьверные токарные станки только для производства A, а время фрезерных станков разделим таким образом, чтобы они тратили по 6 минут в час на производство B, а остальное время на производство A, то общий объем производства в час повысится с 77 единиц A и B до 86 единиц A и B.

Главная идея заключается в том, что каждый станок должен быть по возможности использован для производства того продукта, в изготовлении которого он обладает наибольшей относительной эффективностью. Относительная эффективность производства A/B для этих трех видов станков составляет: для фрезерного станка 1/2, для карусельного токарного станка - 2/3 и для автоматического токарного станка - 3/8. Очевидно, что карусельный токарный станок наиболее эффективен при производстве A, автоматический токарный станок наиболее эффективен при производстве B, а фрезерный имеет равную относительную эффективность при производстве этих продуктов. Таким образом, автоматический токарный станок должен производить только B, токарные карусельные станки - только A, а время фрезерных станков должно разделяться, чтобы обеспечить производство равного количества каждого продукта.

Ключ к построению диаграммы и к алгоритму решения - упорядочение станков по их относительной производительности. Сделав это, вы получите выпуклый многоугольник, стороны которого соответствуют различным машинам. Уклоны сторон - относительная производительность станков. Слева расположена сторона, соответствующая станку, который обладает наибольшей относительной эффективностью при производстве B; затем следуют станки в порядке убывания относительной производительности. Поскольку относительная производительность монотонно уменьшается, граница будет гарантированно выпуклой. Затем необходимо найти пересечение границы многоугольника с лучом, исходящим из начала координат, и имеющим наклон 45 градусов. Этот луч представляет собой производство A и B в одинаковом объёме. Найденная точка пересечения - оптимальный способ выполнения плана. Использование термина "линейное программирование" обусловлено тем фактом, что функции производства представлены в виде прямых для 2 продуктов, плоскостей для 3 продуктов, и для более сложных случаев - линейными функциями. То есть функциями, в которых переменные могут присутствовать только в первой степени.

Уклон границы, с которой пересекается луч плана, Конторович назвал разрешающим отношением. Любой станок, уклон границы для которого меньше величины этого отношения, нужно использовать для производства B, а любой станок, уклон границы для которого больше разрешающего отношения, должен быть использован для производства A.

При рассмотрении двух продуктов метод прост и легко может быть представлен в виде схемы. Но он применим и для решения задач более высоких порядков, подразумевающих рассмотрение трёх и более продуктов. В этих случаях мы не можем использовать графическое решение, но Канторович разработал алгоритмическое, при помощи которого разрушающие отношения для различных пар продуктов могут быть получены путём последовательных приближений. Работа Канторовича была неизвестна за пределами СССР до конца 50-х годов. Чуть ранее Данциг независимо от Канторовича разработал подобный алгоритм для решения задач линейного программирования, так называемый симплекс-метод [12]. Впоследствии этот метод был включен в свободно распространяемые программные пакеты (12) . Эти пакеты позволяют ввести задачу в виде системы линейных уравнений или линейных неравенств, а затем решают её.

A;
m1 <= 3;

m2 <= 3;

m3 <= 1;

A - B = 0;

m1 - 0.1 x1a - 0.05 x1b = 0;

m2 - 0.05 x2a - 0.033333 x2b = 0;

m3 - 0.033333 x3a - 0.0125 x3b = 0;

x1a + x2a + x3a - A = 0;

x1b + x2b + x3b - B = 0;

int A;

На Западе линейное программирование использовалось для того, чтобы оптимизировать использование производственного оборудования в условиях капиталистического рынка. Это означало, что целевая функция, которая максимизировалась, представляла собой не фиксированное соотношение различных видов продукции (в первом примере Канторовича - равное количество продуктов A и B), а сумму денег, которые будут получены от продажи продукции: цена A × êоличество A + цена B × êоличество B. Руководства и учебники, основывающиеся на западных программных пакетах для решения задач линейного программирования, предполагают именно такой вид целевой функции. Однако, как мы вскоре увидим, задачи Канторовича могут быть сформулированы при помощи этих программных пакетов путём добавления дополнительных уравнений. Сейчас мы покажем, как можно использовать пакет lp_solve, чтобы воспроизвести решение Канторовичем его задачи.

Программа требует, чтобы вы ввели выражение, которое будет максимизировано или минимизировано, а затем последовательность уравнений или неравенств. В Алгоритме 2 мы приводим задачу Канторовича в формате, которого требует lp_solve. В этом примере мы используем следующие переменные:

A - количество произведенных единиц A;

B - количество произведенных единиц B;

m1 - количество использованных фрезерных станков;

m2 - количество использованных токарных карусельных станков;

m3 - количество использованных автоматических карусельных токарных станков;

xij - количество единиц j, произведённых на машине i.

Таким образом, x1a означает количество A, произведённых на фрезерных станках.

Первая строка входных данных - целевая функция, которая будет максимизироваться. Мы задаем её как A, что означает максимизацию производства A. Следующие строки задают ограничения, в рамках которых должен производиться процесс максимизации.

A - B = 0

Это другой способ записи того, что A = B, или того, что должно быть произведено равное количество A и B.

m1 <= 3

Это значит, что количество использованных фрезерных станков должно быть меньше или равно 3. Символы "<" и "=" использованы здесь, так как "≤" отсутствует на компьютерной клавиатуре. Аналогичные ограничения введены и для других станков.

m1 - 0.1 x1a - 0.05 x1b = 0

Это выражение точно определяет следующее: m1 = 0.1 x1a + 0.05 x1b = 1/10 x1a + 1/20 x1b или, в словесном выражении, что использование фрезерного станка для производства единицы A требует 1/10 часа его работы, а использование фрезерного станка для производства единицы B требует 1/20 часа его работы. Мы приводим аналогичные производственные уравнения для других видов станков.

x1a + x2a + x3a - A = 0

Это уравнение говорит о том, что суммарное количество произведённых A равно сумме количеств A, произведённых каждым станком. Мы приводим аналогичное уравнение и для B.

Заметим, что все выражения должны быть представлены в таком виде, чтобы в левой части содержались константы и переменные, а в правой - только константы. Привести выражения к такому виду довольно просто. Последняя строка входных данных содержит указание на то, что количество производимых единиц A должно быть целым числом. Когда уравнения вводятся в lp_solve, то он выдаёт следующий ответ:

Value of objective function: 86

Actual values of the variables:

A 86

B 86

x1a 26

x1b 6

x2a 60

x2b 0

x3a 0

x3b 80

m1 2.9

m2 3

m3 1

Что в точности воспроизводит собственное решение Канторовича (таблица 4), полученное при использовании его алгоритма.

В первом примере Канторович имеет дело с очень простой задачей, в которой два продукта производятся в равных пропорциях с использованием небольшого набора станков. Он знал, даже в 1939, что потенциал применения математического планирования намного шире. Мы разберём две задачи, рассмотренные Канторовичем, которые важны для более общей формулировки метода.

1. Производство продукции в заданном отношении, а не в строго равных количествах.

2. Принятие во внимание потребления сырья и других ресурсов.

Предположим, что вместо того, чтобы стремиться произвести одну единицу A для каждой единицы B, как это было бы, скажем, в случае автомобильных кузовов и автомобильных двигателей, мы хотим произвести 4 единицы A для каждой единицы B, как это было бы в случае соответствия колес двигателям (при игнорировании запасных колес). Метод Канторовича можно использовать и в этом случае. Рассмотрим рисунок вновь. На нём луч плана изображён под углом 45, при котором он проходит через точку (1;1), что соответствует отношению числа A к числу B, равному 1:1. Если бы мы повернули луч плана таким образом, чтобы он проходил через точку (4;1), что соответствует отношению 4:1, то его пересечение с границей производства дало бы нам новое решение. Так как геометрический подход работает только для случая с двумя продуктами, рассмотрим алгебраическую реализацию.

Как было продемонстрировано, первоначальная задача (13) Канторовича может быть решена алгебраическими средствами. В Алгоритме 2 мы определили это A - B = 0 или, другими словами, A = B. Если нам необходимо 4 единицы A для каждого B, мы должны указать, что A = 4B или, изъясняясь в стандартной форме, используемой при линейной оптимизации, A - 4B = 0. Предположим, что A - это количество двигателей, а B - количество колес. Если мы теперь представим, что колёса поступают в наборах из 4 штук, то мы можем переформулировать задачу с точки зрения производства равного количества двигателей и наборов колес. Введём новую переменную β = 4B, чтобы обозначить наборы колес, перепишем уравнения с точки зрения β, и перейдём, таким образом, к случаю, при котором уравнение, определяющее соотношение продукции, имеет вид A - β = 0. В этом случае, как нам известно, задача является разрешимой.

Каким образом мы можем учитывать потребление сырья или промежуточных продуктов?

В нашем предыдущем примере мы использовали переменные, подобные x1b (производство продукта B станком 1). Эти переменные всегда имели положительные значения. Предположим, есть третий продукт, который принимается в расчёт - электроэнергия, и каждый станок потребляет электроэнергию в разном объёме, в зависимости от того, что он производит. Обозначим электроэнергию C и введём новые переменные x1ac, x1bc и т.д., обозначающие объём электроэнергии, потребляемый станком 1 при производстве, соответственно, продуктов A и B. Затем добавим уравнения, определяющие, сколько электроэнергии потребляется каждым станком при выполнении каждой задачи, и модель определит общую сумму потребляемой электроэнергии.

Теперь мы знаем, каким образом:

1. Использовать подход Канторовича в случае, если различные виды продукции должны быть произведены в определенных отношениях.

2. Использовать его в случаях, когда необходимо принять во внимание потребление сырья и других ресурсов.

Если мы можем решить эти две задачи, то можем, в принципе, осуществить расчёт в натуральной форме для всей плановой экономики. При наличии конечного набора продуктов потребления и средств производства для максимизации, а также данных о наличии ресурсов, можно решить систему линейных уравнений и неравенств и, тем самым, получить структуру плана. Начиная с простой задачи, оптимизируя производство фанеры на различных станках, Канторович придумал математический подход, который мог быть расширен для решения задачи оптимизации функционирования экономики в целом.

Давайте рассмотрим более сложный пример, в котором мы должны составить план для относительно простой экономики. Представим себе экономику, в которой производится три вида продукции: энергия, пища и машины. Производство использует труд, ветер и силу речной воды, а также два типа почвы: плодородную землю долины и менее плодородную горную местность. Если мы строим дамбы, чтобы использовать силу воды, часть плодородной земли затопляется. Сила ветра, с другой стороны, может быть использована на холмистой земле, не ставя под угрозу ее употребление для сельского хозяйства. Мы хотим составить план, который обеспечит наиболее рациональное использование наших ограниченных ресурсов: людей, рек и земли.

Чтобы осуществить рациональное планирование, мы должны знать соотношение конечной продукции - луч Канторовича. Для простоты предположим, что конечное потребление должно состоять из пищи и энергии, и что мы хотим потреблять их в отношении 3 единицы пищи на одну единицу энергии. Мы также должны составить уравнения, касающиеся производительности различных технологий и объёма доступных ресурсов.

Долины более плодородны. Когда мы выращиваем пищу в долинах, каждая долина требует 10 000 рабочих, 1000 машин и 20 000 единиц энергии для производства 50 000 единиц пищи. Если мы выращиваем пищу в горах, то каждая горная область производит только 20 000 единиц пищи, используя 10 000 рабочих, 800 машин и 10 000 единиц энергии.

Электроэнергия может быть произведена двумя способами. Гидроэлектростанция производит 60 000 единиц энергии, используя одну долину, 100 рабочих и 80 машин. Ветроэлектростанция производит 500 единиц электричества, используя 4 рабочих и 6 машин, но земля, на которой она расположена, может также использоваться для сельского хозяйства.

Предположим, что производство одной машины требует 20 единиц электроэнергии и 10 рабочих.

Наконец, ограничим себя в объёме рабочей силы, которая составит 104 000 человек.

Таблицы 5 и 6 показывают, как выразить ограничения, накладываемые на экономику, и план в виде уравнений. Если мы введём их в lp_solve, мы получим план, показанный в таблице 7. Решатель уравнений показывает, что цели плана могут лучше всего быть достигнуты при отсутствии дамб, производстве всего электричества при помощи 541 ветряной мельницы, и использовании речной долины для сельского хозяйства.

План также показывает, как лучше всего распределить рабочую силу: 40000 человек должны быть задействованы в сельском хозяйстве в долине, 109 человек должны работать фермерами в горной местности, 2164 человека должны участвовать в выработке энергии, и 61727 человек должны работать на производстве машин.

Результаты, полученные нами, ни в коем случае не были очевидны с самого начала. Не было изначально ясно, что лучше использовать все речные долины для сельского хозяйства вместо того, чтобы строить дамбы на некоторых из них. На самом деле преимущество гидроэлектростанций или ветроэлектростанций зависит от целой системы факторов, а не только от их индивидуальных норм производства электроэнергии. Мы можем проиллюстрировать это, рассмотрев случай, при котором численность работников уменьшается в два раза - до 52000 человек. Если мы введём это ограничение в систему уравнений, то увидим, что оптимальное использование ресурсов изменилось. План теперь предусматривает наличие одной гидроэлектростанции и 159 ветряков. Уменьшите численность работников ещё немного, до 50000 человек, и оптимальный план будет включать затопление двух долин под гидроэлектростанции и построение всего 23 ветряков. Почему? Поскольку население уменьшилось, больше нет в наличии достаточного числа людей для обработки долины и производства сельскохозяйственных машин. В таких условиях более высокое плодородие долин несущественно, поэтому лучше использовать одну или некоторые из них для производства электроэнергии. При использовании подхода Канторовича для социалистического планирования становятся возможными две вещи, которые фон Мизес считал невыполнимыми:

1. План может принимать во внимание ограниченность природных ресурсов - в данном случае земли в долинах реки, которая может быть использована различными способами.

2. Становится возможным рациональный выбор между различными технологиями - в данном случае между ветро- и гидроэлектростанциями, а также между долинным и горным сельским хозяйством.

Вопреки заявлениям фон Мизеса, весь расчёт может быть выполнен в физических единицах без помощи денег или цен.

(9)  Как и эрмитовы операторы в квантовой механике, оператор производства Ремака унитарен, потому что p, собственный вектор C, и |p| остаются неизменным при операции.

(10)  Предположим, что C - квадратная матрица n×n, а p - n-мерный вектор. Применяя оператор преобразования Айверсона [24, 23] ρ, мы можем редуцировать C до вектора размерности n², таким образом c ← (n×n)ρC, итак мы увидим, что ценовая система, имея n измерений, представляет собой огромное сокращение размерности от n²-размерного вектора c.

(11)  Не существует никаких причин считать, что он знал о фон Мизесе в то время.

(12) Например, lp_solve и GLPK

(13)  В первоисточнике это была задача "А".

Список литературы - в конце работы.