Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

По страницам математики

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 216 RSS
  Август 2006   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://www.mathpages.ho.com.ua
Открыта: 02-08-2006

Автор
Vince

Статистика

216 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

По страницам математики. Выпуск 2.


По страницам математики. Выпуск 2

Приветствую всех, кто получил это выпуск рассылки "По страницам математики".
Начинаю с этого выпуска рассылка претерпит некоторые изменения. Отныне статьи не будут выкладываться полностью в рассылке, а будет публиковаться только некоторая их (статей) часть со ссылкой на полную версию материала. Это сделано в первую очередь для уменьшения размера отсылаемых писем, во вторую очередь это сделано для удобства и качества оформления писем, т.к. рисунки сложновато прикреплять к письмам + они весят дополнительное место и не все подписчики получают HTML версию рассылки.
Поэтому рассылка будет представлять части свежих статей, которые полностью будут выкладываться на www.mathpages.ho.com.ua.

Теория вероятностей

  Теория вероятностей возникла в середине XVII в. в связи с задачами расчета шансов выигрыша игроков в азартных играх. Страстный игрок в кости француз де Мере, стараясь разбогатеть, придумывал новые правила игры. Он предлагал бросать кость четыре раза подряд и держал пари, что при этом хотя бы один раз выпадет шестерка (6 очков). Для большей уверенности в выигрыше де Мере обратился к своему знакомому, французскому математику Паскалю, с просьбой рассчитать вероятность выигрыша в этой игре. Приведем рассуждения Паскаля. Игральная кость представляет собой правильный кубик, на шести гранях которого нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (число очков). При бросании кости "наудачу" выпадение какого-либо числа очков является случайным событием; оно зависит от многих неучитываемых воздействий: начальные положения и начальные скорости различных участков кости, движение воздуха на ее пути, те или иные шероховатости в месте падения, возникающие при ударе о поверхность упругие силы и т. д. Так как эти воздействия имеют хаотичный характер, то в силу соображений симметрии нет оснований отдавать предпочтение выпадению одного числа очков перед другим (если, конечно, нет неправильностей в самой кости или какой-то исключительной ловкости бросающего).
  Поэтому при бросании кости имеется шесть исключающих друг друга равновозможных случаев, и вероятность выпадения данного числа очков следует принять равной 1/6 (или 100/6 %). При двукратном бросании кости результат первого бросания - выпадение определенного числа очков - не окажет никакого влияния на результат второго бросания, следовательно, всех равновозможных случаев будет 6 6 = 36. Из этих 36 равновозможных случаев в 11 случаях шестерка появится хотя бы один раз и в 5 5 = 25 случаях шестерка не выпадет ни разу.
  Шансы на появление шестерки хотя бы один раз будут равны 11 из 36, другими словами, вероятность события А, состоящего в том, что при двукратном бросании кости появится хотя бы один раз шестерка, равна 11/36, т. е. равна отношению числа случаев благоприятствующих событию А к числу всех равновозможных случаев. Вероятность того, что шестерка не появится ни разу, т. е. вероятность события A, называемого противоположным событию A, равна 25/36. При трехкратном бросании кости число всех равновозможных случаев будет 36 6 = 63, при четырехкратном 63 6 = 64. При трехкратном бросании кости число случаев, в которых шестерка не появится ни разу, равно 25 5 = 53, при четырехкратном 53 5 = 54. Поэтому вероятность события, состоящего в том, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет шестерка, равна 54/64, а вероятность противоположного события, т. е. вероятность появления шестерки хотя бы один раз, или вероятность выигрыша де Мере, равна 1-54/64=1-625/1296=671/1296>1/2.
  Таким образом, у де Мере было больше шансов выиграть, чем проиграть.
  Рассуждения Паскаля и все его вычисления основаны на классическом определении понятия вероятности как отношения числа благоприятствующих случаев к числу всех рзвновозможных случаев.
  Важно отметить, что произведенные выше расчеты и само понятие вероятности как числовой характеристики случайного события относились к явлениям массового характера. Утверждение, что вероятность выпадения шестерки при бросании игральной кости равна 1/6, имеет следующий объективный смысл: при большом количестве бросаний доля числа выпадений шестерки будет в среднем равна 1/6; так, при 600 бросаниях шестерка может появиться 93, или 98, или 105 и т. д. раз, однако при большом числе серий по 600 бросаний среднее число появлений шестерки в серии из 600 бросаний будет весьма близко к 100.
  Отношение числа появлений события к числу испытаний называется частостью события. Для однородных массовых явлений частости событий ведут себя устойчиво, т. е. мало колеблются около средних величин, которые и принимаются за вероятности этих событий (статистическое определение понятия вероятности).
  В XVII-XVIII вв. теория вероятностей развивалась незначительно, так как область ее применения, ввиду низкого уровня естествознания ограничивалась небольшим кругом вопросов (страхование, азартные игры, демография). В XIX в. и до настоящего времени, в связи с запросами практики, теория вероятностей непрерывно и быстро развивается, находя применения все в более разнообразных областях науки, техники, экономики (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, молекулярная и атомная физика, химия, метеорология, вопросы планирования, статистический контроль в производстве и т. д.)
  Теория вероятностей является разделом математики, изучающим закономерности случайных массовых событий устойчивой частости.
>>> Полная версия >>>

Вариационное исчисление

Раздел математики, занимающийся решением задач, связанных с отысканием экстремальных значений; одной из таких задач является нахождение кривой, обращающей некоторую величину в минимум (или в максимум). И.Ньютон решил задачу такого типа, найдя форму поверхности вращения, при которой тело, двигаясь в сплошной среде, испытывает наименьшее сопротивление. Свои результаты Ньютон изложил в Математических началах натуральной философии (1687). В 1696 И.Бернулли сформулировал задачу о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска: найти траекторию, соединяющую две точки в вертикальной плоскости, двигаясь по которой материальная частица под действием только силы тяжести переместится из одной точки в другую за кратчайшее время. Различными методами и независимо друг от друга И.Бернулли и его брат Якоб доказали, что такой кривой является циклоида.
>>> Полная версия >>>

Бернулли

(Bernoulli), династия швейцарских ученых родом из Антверпена, бежавших из города после захвата его испанцами и поселившихся в 1622 в Базеле. По крайней мере восемь ее представителей оставили заметный след в истории точных наук, а трое, о которых пойдет речь ниже, стали фигурами исключительного значения.
>>> Полная версия >>>

Блез Паскаль

(Pascal, Blaise) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Мать Паскаля умерла в 1626. Его отец Этьен, выбранный королевский советник, а позднее второй президент палаты сборов в Клермоне, знаток математики и астрономии, переехал в Париж вместе с детьми в 1631. Покинув службу, он посвятил себя образованию Блеза и двух его сестер – Жильберты (1620–1685), в будущем блестящего биографа Паскаля, и Жаклины (1625–1661), изящной и талантливой девочки, такого же чуда-ребенка, как и ее брат. Этьен удерживал Блеза от занятий математикой, считая, что изучение столь сложной науки следует начинать в 15–16 лет. Однако дар мальчика требовал проявления, и в 12 лет он самостоятельно, пользуясь собственным словарем и схемами, которые рисовал в комнате для игр, пришел к некоторым геометрическим выводам и пытался (не будучи знаком с Началами) построить доказательство 32-й теоремы первой книги Евклида: сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов. После этого отец разрешил ему читать Евклида и брал на заседания научного кружка, собиравшегося у Мерсенна. Мальчик чрезвычайно быстро развивался и вскоре на равных обсуждал научные проблемы с крупными учеными своего времени. В 16 лет он написал замечательный Опыт о конических сечениях (Essai pour les coniques), содержащий теорему (называемую теперь теоремой Паскаля), согласно которой во всяком шестиугольнике («мистическом шестивершиннике»), вписанном в эллипс, гиперболу или параболу, точки пересечения трех пар противоположных сторон лежат на одной прямой.
>>> Полная версия >>>

Введение в криптографию

Разные люди понимают под шифрованием разные вещи. Дети играют в игрушечные шифры и секретные языки. Это, однако, не имеет ничего общего с настоящей криптографией. Настоящая криптография (strong cryptography) должна обеспечивать такой уровень секретности, чтобы можно было надежно защитить критическую информацию от расшифровки крупными организациями --- такими как мафия, транснациональные корпорации и крупные государства. Настоящая криптография в прошлом использовалась лишь в военных целях. Однако сейчас, с становлением информационного общества, она становится центральным инструментом для обеспечения конфиденциальности.

По мере образования информационного общества, крупным государствам становятся доступны технологические средства тотального надзора за миллионами людей. Поэтому криптография становится одним из основных инструментов обеспечивающих конфиденциальность, доверие, авторизацию, электронные платежи, корпоративную безопасность и бесчисленное множество других важных вещей.

Криптография не является более придумкой военных, с которой не стоит связываться. Настала пора снять с криптографии покровы таинственности и использовать все ее возможности на пользу современному обществу. Широкое распространение криптографии является одним из немногих способов защитить человека от ситуации, когда он вдруг обнаруживает, что живет в тоталитарном государстве, которое может контролировать каждый его шаг.
>>> Полная версия >>>

До следующего выпуска...

В избранное