Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

По страницам математики

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 216 RSS
  Август 2006   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://www.mathpages.ho.com.ua
Открыта: 02-08-2006

Автор
Vince

Статистика

216 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

По страницам математики. Выпуск 1.


Доброго времени суток всем, кто получил этот выпуск рассылки "По страницам математики".

Это первый выпуск рассылки, и в нем я постараюсь дать краткое описание рассылки. Этакий вводный курс, в котором расскажу о рассылке, о том, какая информация будет здесь выкладываться, о чем вы будете читать, получая каждый выпуск рассылки.

Как можно догадаться по названию рассылки ("По страницам математики"), она будет посвящена математике. Рассылка будет представлять собой своеобразный электронный журнал, посвященный математике и всему, что связано с ней. А потому в каждом номере будет несколько разделов, согласно которым и будут подбираться статьи. Статьи я постараюсь подобрать так, чтобы каждый в этой рассылке нашел что-то интересное для себя, будь то школьник, абитуриент, студент, человек, просто интересующийся математикой или желающий почитать о чем-нибудь интересном. В каждом номере я постараюсь придерживаться общей схемы содержания выпуска. На данный момент я буду придерживаться следующего плана:

  • Новости математики;
  • Интересная статья;
  • Биография знаменитого ученого-математика;
  • Вопросы школьной программы;
  • За рамками школьной программы;
  • Компьютерная математика.

Пожалуйста, если у Вас будут какие-то предложения по изменению этого плана, напишите мне (mailto:romkisel@mail.ru). Архив рассылки будет постоянно выкладываться на http://www.mathpages.ho.com.ua. На этом сайте Вы также найдете много интересной информации на тему математики. В будущем предполагается добавить форум и архив литературы по математике. Ну а теперь перейдем непосредственно к первому выпуску журнала.

Введение

К сожалению, пока возможности нашей рассылки ограничены. Это связано с недавним ее открытием, в результате чего рассылка в Subscribe сейчас распространяется как "бронзовая". Через несколько выпусков мы возможно сможем перейти в раздел "серебряные" и раскрыться в полной мере. А сегодня Вас ждет укороченная версия рассылки.

Генераторы простых чисел

Простые числа так причудливо расположены в натуральном ряду, что у математиков не было надежды вывести формулу, которая давала бы все такие числа и никаких других. Поэтому попытались достичь более легкой цели — найти формулу, подставляя в которую вместо п одно за другим натуральные числа можно получать каждый раз простое число. Одну из первых таких формул предложил Ферма. Она имела вид:

Fn=2^(2^n)+1, где ^ - знак возведения в степень.

В письме к Паскалю (1654) Ферма писал: «Последовательное квадрирование двух при увеличении на единицу всегда простое число — это свойство, за истинность которого я ручаюсь». Числа Fn получили название чисел Ферма.

Такой сложный вид показателя Ферма выбрал не случайно: число 2k + 1 при k ≠  2n является составным. (На самом деле, если число k нечетно, т. е. k = 2m + 1, то имеет место разложение 2k + 1 = 22m+1 = (2 + 1)(22m - 22m-1 + ... - 2 +1). Таким же образом доказывается, что 2k + 1 является составным числом, если у числа k есть хотя бы один нечетный множитель). И только когда k является произведением двоек, т. е. k = 2n , можно надеяться на простоту числа 2k + 1.

Однако то был один из редчайших случаев, когда интуиция подвела Ферма. При п=0, 1, 2, 3, 4 действительно получаются простые числа 3, 5, 17, 257, 65537. Но значения п=5 Ферма не проверял, иначе он несомненно бы обнаружил, что число 2^32+1=4294967297 делится на 641. Разглядел это Эйлер. В настоящее время с помощью ЭВМ проверено, что при п=6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21, ... числа Ферма Fn составные. Более того, предполагают, что они являются составными для всех п, больших 4, но определенных результатов здесь не получено.

После неудачи с числами Ферма математики стали искать другие генераторы простых чисел. Так, формула

Pn = (10n - 7)/3

дает простые числа для n от 2 до 8 включительно. Но при п=16т+9 (m=0, 1, 2,...) числа Рп делятся на 17. В самом деле

(1016m + 9 - 7)/3 = (1016m+9-109)/3 = (1016m - 1)/3*109 + (109-7)/3.

Первое слагаемое кратно числу (1016 - 1)/3, которое делится на 17 по малой теореме Ферма; делимость второго слагаемого проверяется непосредственно.

Стремление ученых найти формулу общего члена последовательности, состоящей из одних только простых чисел, понятно. Дело в том, что, хотя простых чисел бесконечно много, указать конкретно достаточно большое простое число нелегко. Но, к сожалению, все предлагаемые формулы давали осечку. Не удались попытки записать желанную формулу и в виде многочлена. Многочлен

f(n) = n2 - n +41

принимает простые значения для всех п=0, 1, 2, ..., 40. Но f(41) = 41^2  — составное число. Еще больше простых чисел дает многочлен

g(n) = n2 -79n + 1601

— они получаются при всех целых п от 0 до 79. Но при п=80 значение многочлена равно 412.

Неизвестно, бесконечно ли множество простых значений многочленов f(n) и g(n). В дальнейшем попытки отыскать формулу для простых чисел в виде многочленов были оставлены в связи с результатами, полученными Эйлером и Гольдбахом — немецким ученым, судьба которого (как и судьба Эйлера) оказалась связанной с Россией.

Христиан Гольдбах (1690—1764) в возрасте 35 лет был приглашен в Петербургскую академию наук, где в течение 15 лет исполнял обязанности конференц-секретаря. Затем он перешел на дипломатическую работу и со временем получил весьма высокий чин тайного советника (выше этого были лишь чины действительного тайного советника и канцлера). Математикой в этих обстоятельствах он стал заниматься меньше и особо крупных достижений не имел. Но у Гольдбаха был дар подмечать различные математические закономерности. В своей переписке с Эйлером он выдвигал различные проблемы, привлекая к ним внимание великого ученого. Сформулируем теорему Гольдбаха — Эйлера: никакой многочлен f(n) с целыми коэффициентами не может npинимать только простые значения.

До сих пор неизвестно, существует ли хотя бы один многочлен f(n) с целыми коэффициентами степени выше первой, удовлетворяющий ослабленному тpебованию, состоящему в том, чтобы среди его значений было бесконечно много простых. Этот же вопрос рассматривался и по отношению к арифметическим прогрессиям (многочленам первой степени). Конечно, легко привести примеры прогрессий, не содержащих ни одного простого числа:

4, 6, 8, ..., 2+2n, ...;

6, 9, 12, ..., 3+3n, ...;

6, 10, 14, ..., 2+4n, ... .

С другой стороны, простейшая прогрессия — натуральный ряд — содержит все простые числа. А в последовательности нечетных чисел отсутствует лишь простое число 2. Спрашивается: каким свойством обладают прогрессии, содержащие бесконечное множество простых чисел? Прежде чем давать ответ, рассмотрим еще одну прогрессию 4n+3. Заметим, что каждое нечетное число, начиная с 5, записывается либо как 4п+1, либо как 4n+3. Ясно, что произведение двух чисел первого вида имеет тот же вид. Поэтому любое составное число типа 4n+3 должно иметь по крайней мере один простой множитель этого же вида. Пользуясь этим замечанием, покажем, что прогрессия 4n+3 содержит бесконечно много простых чисел.

Предположим, что множество простых чисел вида 4n+3 конечно. Обозначим эти числа р1, ..., pk и пусть P = 4*(P1*...*Pn) + 3 . По сделанному выше замечанию, это число должно иметь хотя бы один простой делитель того же вида. Но все такие делители по нашему предположению содержатся в наборе из чисел р1, ..., pk, а Р ни на одно из них не делится. Полученное противоречие показывает, что наше предположение было неверным. Таким же способом доказывается, что прогрессия 6n+5 содержит бесконечно много простых чисел. Эти утверждения являются частным случаем теоремы, сформулированной в 1788 г. французским математиком Адриеном Мари Лежандром: если числа a и d взаимно просты, то в арифметической прогрессии с первым членом a и разностью d содержится бесконечно много простых чисел. Доказал же эту теорему только через 50 лет немецкий математик Лежен Дирихле, чье имя она теперь и носит.

Журнал "Репетитор"

На сегодня пока все. Вас итак, наверное, загрузили по полной программе.

http://www.mathpages.ho.com.ua

mailto:romkisel@mail.ru
В избранное