Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Июль 2020   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Алексеев Владимир Николаевич
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 705
∙ повысить рейтинг » 		Konstantin Shvetski
Статус: Академик
Рейтинг: 541
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Профессор
Рейтинг: 34
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2712
Дата выхода:27.07.2020, 15:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:142 / 121
Вопросов / ответов:2 / 2

Консультация # 199028: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на полупериоде [0;T ] графиком, приведенном на рисунке, если даны значения A=B=0;C=3;D=T=4 , и функция нечетная. Построить графики первых трех гармонических приближений функции. ...
Консультация # 199029: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Вычислить двойной интеграл ∫∫ln(x^2 + y^2 )dxdy, если область D ограничена линиями D: x^2 + y^2 = e^3 , x^2 + y^2 = e^4 ...

Консультация # 199028:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:

Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на полупериоде [0;T ] графиком, приведенном на рисунке, если даны значения A=B=0;C=3;D=T=4 , и функция
нечетная. Построить графики первых трех гармонических приближений функции.

Дата отправки: 22.07.2020, 14:45
Вопрос задал: naks1mok (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, naks1mok!
Условие: Функция задана точками на графике с длинами отрезков : A = B = 0 ; C = 3 ; D = T = 4 . Функция нечётная.
Задача: Разложить в ряд Фурье эту функцию, заданную на полупериоде [0 ; D].

Решение: На картинке Условия изображена трапеция. Однако значения A = B = 0 вырождают эту трапецию так, что точка A(A ; 0) смещается в начало координат (0 ; 0), а точка B(B , 1) смещается влево вплотную к оси OY в точку (0 ; 1). В итоге исходная функция имеет вид, показанный мною чёрным цветом на чертеже. Чертёж прилагаю ниже.

Условие "Функция нечётная" в сочетании с условием нечётности f(-x) = - f(x) означают, что функция продлевается в левую полу-плоскость симметрично относительно начала координат точка O(0 ; 0). Эту "зеркальную" часть я изобразил коричневым цветом на графике. Свойство нечётности избавля ет нас от обработки левой части коричневой ломаной, её Фурье-отображение получится автоматически после вычисления Фурье-гармоник правой ломаной, если мы правильно сообразим, что интервал 0T - это полупериод, а не период.

В большинстве учебников принято обозначать период буквой T . Авторы задачи задали условие "T = 4", которое по здравому смыслу не может быть периодом, ибо период нечётной функции должен быть не менее удвоенных значений C = 3 ; D = 4 . Будем полагать, что авторы задачи проявили разгильдяйство либо умышленно запутывают студентов, проверяя прочность их знаний. Нам придётся НЕ использовать букву T в ниже-расчётах, чтобы НЕ запутать решение двусмысленным толкованием. Используем L = 4 как полупериод.

Нам предстоит интегрировать исходное значение фунции. Для этого её правую половинку представим в аналитическом виде:
f(x) = 1 при 0 < x <= 3
f(x) = 4 - x при 3 <= x <= 4

"Если данная функция инте грируема на отрезке [-L , L] , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье" - это аннотация из замечательной учебной статьи "Ряды Фурье. Примеры решений" Ссылка по Вашей теме.
Общий вид полученного разложения:
f(x) ≈ a0/2 + n=1∞∑[an·cos(π·n·x / L) + bn·sin(π·n·x / L)]
где a0 , an , bn - так называемые коэффициенты Фурье.

"С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается… нечётная функция раскладывается в ряд Фурье т-ко по синусам" - цитаты из той же статьи, где Вы можете почитать подробные пояснения.
С учётом упрощения, наша цель - получить ряд:
f(x) ≈ n=1∞∑bn·sin(π·n·x / L) , для которого надо вычислить единственный коэффициент Фурье по формуле:
bn = (2/L)·0L∫f(x)·sin(π·n·x / L)·dx

Вычисляем: b1 = (2/L)·0L∫f(x)·sin(π·1·x / L)·dx = (2/4)·04∫f(x)·sin(π·1·x / L)·dx = 1,210
b2 = (2/L)·0L∫f(x)·sin(π·2·x / L)·dx = (2/4)·04∫f(x)·sin(π·2·x / L)·dx = 0,116
b3 = (2/L)·0L∫f(x)·sin(π·3·x / L)·dx = (2/4)·04∫f(x)·sin(π·3·x / L)·dx = 0,276

На скриншоте я показал интеграл-формулы, графики отдельных гармоник U1(x) = b1·sin(π·1·x / 4) , U2(x) = b2·sin(π·2·x / 4) , U3(x) = b3·sin(π·3·x / 4)
А также сумму первых трёх приближений (гармоник) S3(x) = U1(x) + U2(x) + U3(x)
Для проверки правильности вычислений я добавил в график сумму первых 7 приближений S7(x) = S3(x) + U4(x) + U5(x) + U6(x) + U7(x)
Синус-сумма S7(x) достаточно плотно "обвивает" исходную ломаную f(x) , что означает правильность вычислений коэффициентов Фурье и разложения в целом.

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 27.07.2020, 12:45
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Консультация # 199029:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:

Вычислить двойной интеграл ∫∫ln(x^2 + y^2 )dxdy, если область D ограничена линиями D: x^2 + y^2 = e^3 , x^2 + y^2 = e^4

Дата отправки: 22.07.2020, 14:49
Вопрос задал: naks1mok (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, naks1mok!
Условие: Функция f(x,y) = ln(x2 + y2) , границы области D : x2 + y2 = e3 , x2 + y2 = e4 .
Вычислить двойной интеграл I2 = D∫∫f(x,y)·dx·dy

Решение : Область интегрирования D задана двумя кривыми x2 + y2 = e3 , x2 + y2 = e4 . Что означают эти формулы?
Вспоминаем, что x2 + y2 = R2 - это уравнение окружности радиусом R с центром в начале координат.
Значит наша область интегрирования - это кольцо м-ду 2мя концентрическими окружностями с радиусами
R1 = √(e3) = 4,48 и R2 = √(e4) = e2 = 7,39 .

"Чтобы вычислить двойной интеграл, надо свести его к так называемым повторным интегралам" (цитата из учебной ста тьи "Двойные интегралы для чайников! Ссылка1). Автор статьи - Емелин Александр - мой любимый Учитель по Высшей математике. По совету Александра я начертил график Вашей области D интегрирования в бесплатном приложении ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad . Маткад работает быстро и избавляет меня от частых ошибок. Маткад-скриншот прилагаю. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

"площадь данной фигуры рассчитывается и с помощью двойного интеграла в прямоугольной системе координат. Но решение получается длительным и громоздим…, и если человек не знает о возможности перехода к полярным координатам…, то будет загружен трудной р аботой (цитата из "Как вычислить двойной интеграл в полярной системе координат?" Ссылка3 ). Я убедился: При попытке решить Вашу задачу в обычной прямоугольной системе координат, интегралы получаются очень громоздкими и трудно-решаемыми. В них легко запутаться и ошибиться.

Для облегчения вычисления перейдём к полярной системе координат по формулам, учитывая, что все Ваши кривые округлые, имеют общий центр и "заточены" именно под полярную систему. Формулы перехода к полярной системе координат:
x = r·cos(φ) , y = r·sin(φ) .
x2 + y2 = e3 ==> r2·cos2(φ) + r2·sin2(φ) = e3 ==> r2 = e3 ==> r = √(e3) = 4,48
x2 + y2 = e4 ==> r2·cos2(φ) + r2·sin2(φ) = e4 ==> r2 = e4 ==> r = e2 = 7,39
f(x,y) = ln(x2 + y2) ==> fp(r,φ) = ln{[r·cos(φ)]2 + [r·sin(φ)]2} = ln{r2·[cos2(φ) + sin2(φ)} = ln{r2·1} = ln{r2} = 2·ln(r)

Порядок обхода области интегрирования:
4,48 <= r <= 7,39 , 0 <= φ <= 2·?

Искомый двойной интеграл I2 = D∫∫f(x,y)·dx·dy = D∫∫fp(r,φ)·r·dr·dφ = 02·π∫dφ 4,487,39∫2·ln(r)·r·dr
Решаем его в 2 этапа (переходим к повторным интегралам).
Сначала берём Внутренний интеграл: Ir = 4,487,39∫2·ln(r)·r·dr = 2·4,487,39 ∫ln(r)·r·dr
Однако, интеграл типа W 47;ln(r)·r·dr - не есть "табличный". Используем формулу интегрирования по частям
∫u·dv = u·v - ∫v·du
u = ln(r) , потому что "В интегралах с логарифмом за u всегда обозначается логарифм" (цитата из "Интегрирование по частям. Примеры решений" Ссылка4 )
dv = r·dr - оставшаяся часть подынтегрального выражения.

Находим дифференциал : du : u = ln(r) ==> du = (ln(r))'·dr = dr / r
"Дифференциал - это почти то же, что и производная, как его находить, мы уже разбирали на предыдущих уроках" - цитата из выше-указанной статьи.

Теперь находим функцию v интегрированием: v = ∫dv = ∫r·dr = r2 / 2
∫v·du = ∫[(r2 / 2)·(dr / r)] = (1/2)·∫r·dr = (1/2)·r2/2 = r2/4< br>∫ln(r)·r·dr = u·v - ∫v·du = ln(r)·(r2 / 2) - r2/4 = (1/2)·[r2·ln(r) - r2/2]

Продолжаем ранее-отложенное вычисление Внутреннего интеграла:
Ir = 2·4,487,39 ∫ln(r)·r·dr = (2/2)·[r2·ln(r) - r2/2] | 4,487,39 = [r2·ln(r) - r2/2] | 4,487,39 = 61,81

Искомый Внешний интеграл совсем простой:
I2 = 02·π∫Ir·dφ = Ir·02·π∫dφ = Ir·(φ) |02·π = 61,81·(2·π - 0) = 61,81·6,28 = 388
Ответ : двойной интеграл равен 388 .

В конце изнурительных рассчётов полезно сделать упрощённую проверку-прикид с точностью хотя бы 10% подстраховаться от неожиданных, досадных ошибок. Для проверки сравним исследуемую фигуру с какой-нибудь похожей классической, объём которой легко вычислить. Замечае м, что заданная нам функция - тороидальное тело вращения. Его горизонтальная проекция на плоскость XOY - это выше-описанное кольцо с голубой заливкой на графике.
Площадь кольца легко вычислить, как разность площадей внешнего и внутреннего кругов:
Sк = π·R22 - π·R12 = 108 кв.ед.

А средняя толщина (высота) h тора в вертикальном сечении (жёлтая заливка) чуть больше среднего арифметического м-ду значениями f(R12 , 0) и f(R22 , 0) изза небольшой выпуклости логарифмоиды f(x,y) .
f(R12,0) = ln{[√(e3)]2 + 02} = ln(e3) = 3
f(R22,0) = ln{[√(e4)]2 + 02} = ln(e4) = 4
То есть h ≈ 3,6 . Объём V такого тора примерно равен произведению площади кольца Sk на его высоту h (представьте объём стопки кольцевидных блинов на подставк е).
V = Sk·h = 390 , что всего на 0,5% отличается от точно-вычисленного интеграла. Значит, проверка успешна!

Вы писали в минифоруме "интегралы тяжело даются" - тогда Вы можете решить Вашу задачу по школьному принципу "От простого к сложному". Для начала решите Ваш двойной интеграл с "пустой" функцией f(x,y) = 1. В таком варианте двойной интеграл
D∫∫dx·dy численно равен уже известной площади Sk области интегрирования D .
Если что-то осталось не понятным, задавайте вопросы в минифоруме.

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 25.07.2020, 11:53

5
Большое спасибо!
-----
Дата оценки: 26.07.2020, 14:05
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное