Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 759 RSS
←   Август 2020   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

759 подписчиков
-1 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Konstantin Shvetski
Статус: Академик
Рейтинг: 280
∙ повысить рейтинг » 		CradleA
Статус: Профессор
Рейтинг: 44
∙ повысить рейтинг » 		Михаил Александров
Статус: Академик
Рейтинг: 9
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2713
Дата выхода:12.08.2020, 11:45
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:142 / 120
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 199054: Добрый день, уважаемые эксперты! Прошу помощи в нахождении наибольшего значения функции y=x/(x^2+a^2) на промежутке (0;+∞). ...

Консультация # 199054:

Добрый день, уважаемые эксперты! Прошу помощи в нахождении наибольшего значения функции y=x/(x^2+a^2) на промежутке (0;+∞).

Дата отправки: 07.08.2020, 11:21
Вопрос задал: Pavel (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, Pavel!
Условие : функция y(x,a) = x / (x2 + a2)
Вычислить наибольшее значение функции.

Решение: наибольшее значение данной функции не удаётся описать одной формулой. Приходится рассматривать 3 случая отдельно.

1) a = 0 . В этом случае функция вырождается в гиперболу y(x,0) = x / (x2 + 02) = x / x2 = 1 / x
Эта стандартная гипербола f(x) = 1 / x убывает на всей области определения (0 ; ∞) .
Производная этой функции f'(x) = -1 / x2 < 0 - всегда отрицательна для любого x > 0 .
Функция f(x) = 1 / x НЕ определена в точке x = 0 , однако именно предел справа к этой точке даёт искомое наибольшее значение, равное +бесконечности.

2) a > 0 . Вычисляем производную функции y'(x,a) = dy(x,a) / dx = [x / (x2 + a2)]'
Используем формулу вычисления производной частного 2х под-функций: (u / v)' = (u'·v - u·v') / v2
Тут u = x , v = x2 + a2
Тогда : u' = 1 , v' = 2·x
y'(x,a) = [1·(x2 + a2) - x·(2·x)] / (x2 + a2)2 = (x2 + a2 - 2·x2) / (x2 + a2)2 = (a2 - x2) / (x2 + a2)2
Приравниваем производную нулю : y'(x,a) = (a2 - x2) / (x2 + a2)2 = 0
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю : a2 - x2 = 0
Получаем критические точки : x2 = a2 , x = ±a
Отбрасываем отрицательный корень, тк согласно Условию нам задан промежуток x = (0 ; +∞) .
Получаем искомый максимум для точки x = a :
y(a,a) = a / (a2 + a2) = a / (2·a2) = 1 / (2·a)

3) a < 0 - те же вычисления, что и для a > 0 , но иском ое наибольшее значения функции будет равно
y(a,a) = - 1 / (2·a) , потому что переменная a возводится в квадрат, а значение функции всегда положительно на промежутке x = (0 ; +∞) .

Ответ : при a = 0 наибольшее значение функции равно бесконечности,
при a <> 0 наибольшее значение функции равно 1 / (2·|a|) .

Для проверки правильности рассчётов я начертил графики в программе ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad . Маткад-скриншот прилагаю ниже. Я добавил в него подробные комментарии зелёным цветом.

См также учебно-методическую статью "Возрастание, убывание и экстремумы функции" Ссылка
Если у Вас остались вопросы, Вы можете задать их в миниф оруме Вашей Консультации.

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 08.08.2020, 15:36

5
нет комментария
-----
Дата оценки: 08.08.2020, 15:42
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю +1 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное