Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Июль 2020   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты в разделе

Konstantin Shvetski
Статус: Академик
Рейтинг: 491
∙ повысить рейтинг » 		epimkin
Статус: Специалист
Рейтинг: 116
∙ повысить рейтинг » 		Хватов Сергей
Статус: Академик
Рейтинг: 36
∙ повысить рейтинг »

∙ Математика

Номер выпуска:2710
Дата выхода:03.07.2020, 10:15
Администратор рассылки:Коцюрбенко Алексей Владимирович (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:142 / 119
Вопросов / ответов:1 / 1

Консультация # 198978: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: На окружности радиуса 2 дана точка A. На каком расстоянии от A следует провести хорду BC, параллельную касательной к окружности в точке A, так, чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей? ...

Консультация # 198978:

Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
На окружности радиуса 2 дана точка A. На каком расстоянии от A следует провести хорду BC,
параллельную касательной к окружности в точке A, так, чтобы площадь треугольника ABC была
наибольшей?

Дата отправки: 28.06.2020, 09:54
Вопрос задал: Artem (Посетитель)
Всего ответов: 1
Страница онлайн-консультации »

Консультирует Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт):

Здравствуйте, Artem!
Условие: радиус окружности R = 2 ед.
Вычислить расстояние L от точки A до хорды BC, чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей.

Решение: Эта интересная задача демонстрирует полезность применения производных функции для лёгкого поиска оптимальных вариантов. Задача - не трудная для тех, кто не поленится нарисовать простой чертёжик и удачно выберет систему координат.

По моему скромному мнению (я не есть математик-профессионал) в центр координат удобнее всего помещать самую сложную фигуру, в данном случае - окружность. Касательная "К" к окружности в точке A всегда перпендикулярна радиусу OA . Значит, и хорда BC, параллельная касательной согласно Условию, тоже перпендикулярна радиусу OA и отрезку AD . Рисунок, выполненный в бесплатном приложении ru.wikipedia.org/wiki/Mathcad , прилагаю ниже.

Можно ради любопытства провести пробные хорды BC рядом с точкой A - треугольник получается сплюснутый по бокам и с малой площадью. Если таким же методом тыка провести хорду на другом конце окружности, диаметрально противоположном от A, то треугольник получается сжатым по вертикали, и опять же с малой площадью.

Проведём хорду BC на каком-то расстоянии p правее центра О окружности. Тогда высоту h треугольника OBD можно вычислить по теореме Пифагора:
h = BD = √(OB2 - OD2) = √(R2 - p2)
Площадь треугольника ABD равна половине произведения его основания AD на высоту h :
SABD = (1/2)·AD·BD = (R + p)·√(R2 - p2) / 2
Площадь искомого треугольника ABC - вдвое больше (AD - ось симметрии):
S(p) = 2·SABD = (R + p)·√(R2 - p2) = (2 + p)·√(4 - p2)

Продифференцируем функцию S(p) по аргументу p , получим её производную:
S'(p) = -2·(p - 1)·(p + 2) / √(4 - p2)
Легко заметить, что эта производная S'(p) равна нулю только при одном значении p = 1 (2й корень p = -2 не имеет физического смысла). Таким образом, значение p=1 - это аргумент экстремума, соответствующий максимальному значению функции S(p):
S(1) = (2 + 1)·√(4 - 12) = 5,2 кв.ед площади.
Искомое расстояние от точки A равно L = R + p = 2+1 =3 ед.
Ответ: чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей, надо провести хорду BC на расстоянии 3 ед от точки A.

Для проверки правильности Ответа убедимся, что S(p) принимает максимальное значение при p=1 : Вычислим S(p) при др значениях p : Маткад мигом вычислил: S(1,5) = 4,63 ; S(2) = 0 ; S(-2) = 0 ; S(-1,5) = 0,66 ; S(-1) = 1,73 ; S(-0,5) = 2,91 ; S(0) = 4,0 ; S(0,5) = 4,84 - проверка успешна!
Вы также можете подсчитать количество квадратиков под жёлтой заливкой на рисунке и умножить их число на площадь одного квадратика 0,25 кв.ед. Вы должны получить S(1) = 5,2 кв.ед площади.

Интересно заметить, что полученное значение OD = 1 = OB / 2 . Это значит, Cos(BOD) = 0,5 , угол BOD = 60°, угол OBD = 90-60 = 30°, треугольник ABC - равносторонний! Значит, можно было не используя высшую математику, сразу догадаться, что вписанный треугольник, как и любой другой вписанный многоугольник, имеет макси-площадь, когда он - правильный (все его стороны равны). А у правильного треугольника высота AD равна R·1,5 = 3 !

Консультировал: Алексеев Владимир Николаевич (Мастер-Эксперт)
Дата отправки: 29.06.2020, 11:14
Рейтинг ответа:

НЕ одобряю 0 одобряю!

Оценить выпуск | Задать вопрос экспертам

главная страница  |  стать участником  |  получить консультацию
техническая поддержка

Дорогой читатель!
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались. Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора - для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение. Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал, который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом. Заходите - у нас интересно!
МЫ РАБОТАЕМ ДЛЯ ВАС!
В избранное