Консультация # 191390: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: определить напряжённость поля и потенциал внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса R, если объемная плотность заряда внутри цилиндра равна r. Нарисовать график зависимости напряжённости поля от расстояния до оси. ...Консультация #
191391: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: определите напряженность и потенциал заряженного по объему шара, если радиус шара R, объемная плотность заряда в шаре r. нарисовать графики напряженности и потенциала ...
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: определить напряжённость поля и потенциал внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса R, если объемная плотность заряда внутри цилиндра равна r. Нарисовать график зависимости напряжённости поля от расстояния до оси.
Анализируя условие задачи, придём к выводу, что рассматриваемое электрическое поле обладает осевой симметрией, силовые линии поля - прямые, направленные радиально в любой плоскости, которая перпендикулярна оси цилиндра.
Обозначим объёмную плотность заряда внутри цилиндра буквой
Воспользуемся теоремой Гаусса. Вспомогательную поверхность радиуса примем цилиндрической, соосной рассматриваемому цилиндру и имеющей конечную длину Теорема Гаусса для вспомогательной поверхности в вакууме может быть записана в виде
где - полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничен
вспомо
гательной поверхностью - электрическая постоянная. На торцах вспомогательной поверхности векторы и взаимно перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю. На боковой поверхности вспомогательного цилиндра нормаль совпадает с направлением
радиус-вектора, поэтому
Следовательно,
Полный заряд, стоящий в правой части формулы зависит от радиуса вспомогательной поверхности.
При
Тогда из выражений получим
При
Тогда из выражений получим
Из выражений видно, что при напряжённость поля прямо пропорциональна а при - обратно пропорциональна При этом
то есть функция непрерывна в точке
Итак,
Эскиз графика функции показан ниже.
На заимствованном мной рисунке опечатка: на втором участке графика пропорциональна не а
Зависимость
потенциала рассматриваемого поля от радиуса вспомогательной поверхности можно установить, учитывая, что Тогда при
В частности, если принять, что (начало отсчёта потенциала выбрано на оси объёмно заряженного цилиндра), то
и при
В силу непрерывности функции и согласно формулам получим
Из формул получим, что при
Итак, если то
Разумеется, Вы должны проверить предложенное решение задачи прежде, чем использовать его.
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: определите напряженность и потенциал заряженного по объему шара, если радиус шара R, объемная плотность заряда в шаре r. нарисовать графики напряженности и потенциала
Анализируя условие задачи, придём к выводу, что рассматриваемое электрическое поле обладает сферической симметрией, силовые линии поля - прямые, направленные радиально.
Обозначим объёмную плотность заряда внутри шара буквой
Воспользуемся теоремой Гаусса. Вспомогательную поверхность радиуса примем сферической, с центром в
центре рассматриваемого шара. Теорема Гаусса для вспомогательной поверхности в вакууме может быть записана в виде
где - полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничен вспомогательной поверхностью - электрическая постоянная. На вспомогательной поверхности нормаль совпадает с направлением радиус-вектора, поэтому
Следовательно,
Полный заряд, стоящий в правой части формулы зависит от радиуса вспомогательной поверхности.
При
Тогда из выражений получим
При
Тогда из выражений получим
Из выражений видно, что при напряжённость поля прямо пропорциональна а при - обратно пропорциональна При этом
то есть функция непрерывна в точке
Итак,
Эскиз графика функции показан ниже.
Зависимость потенциала рассматриваемого поля от радиуса вспомогательной поверхности можно установить,
учитывая, что
Тогда при
В частности, если принять, что (начало отсчёта потенциала выбрано в центре объёмно заряженного шара), то
и при
В силу непрерывности функции и согласно формулам получим
Из формул получим, что при
Итак, если то
Проверьте предложенное решение задачи прежде, чем использовать его. И попробуйте, пожалуйста, выполнить рисунок зависимости самостоятельно. Соответствующая кривая выходит из начала координат как парабола, при плавно перех
одит в гиперболу, асимптотически приближаясь к прямой Это значение потенциала в три раза больше по абсолютной величине, чем значение потенциала при
Команда портала RFPRO.RU благодарит Вас за то, что Вы пользуетесь нашими услугами. Вы только что прочли очередной выпуск рассылки. Мы старались.
Пожалуйста, оцените его. Если совет помог Вам, если Вам понравился ответ, Вы можете поблагодарить автора -
для этого в каждом ответе есть специальные ссылки. Вы можете оставить отзыв о работе портале. Нам очень важно знать Ваше мнение.
Вы можете поближе познакомиться с жизнью портала, посетив наш форум, почитав журнал,
который издают наши эксперты. Если у Вас есть желание помочь людям, поделиться своими знаниями, Вы можете зарегистрироваться экспертом.
Заходите - у нас интересно!