Вопрос № 45796: Уважаемые эксперты. При чтении биографической литературы о знаменитых физиках, в статьях о И.Ньютоне упоминается бином Ньютона. Я очень часто слышу об этом биноме. Ответьте пожалуйста, в чем такое большое значение этого бинома, что в каждой книге о Н...
Вопрос № 45.796
Уважаемые эксперты. При чтении биографической литературы о знаменитых физиках, в статьях о И.Ньютоне упоминается бином Ньютона. Я очень часто слышу об этом биноме. Ответьте пожалуйста, в чем такое большое значение этого бинома, что в каждой книге о Ньютоне о нем есть упоминание. Разъясните пожалуйста поподробнее.
Отправлен: 10.06.2006, 05:39
Вопрос задал: KrocoDIL (статус: Посетитель)
Всего ответов: 4 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)
Отвечает: romodos
Здравствуйте, KrocoDIL!
Да уж. Ну к физике этот бином Ньютона имеет отношение постольку поскольку.
Цитата: "Формула бинома Ньютона выражает возведение суммы двух слагаемых (бинома) в любую положительную степень через степени этих слагаемых, а именно:
(a+b)^n=a^n+n*a^(n-1)*b+(n(n-1)/2)*a^(n-2)*b+....+(n(n-1)...(n-k-1)/k!)*a^(n-k)*b^k+...+b^n
"
Думаю, понятно.
--------- The Source is Our Soul. FAQ me off!
Ответ отправил: romodos (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 10.06.2006, 08:31 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо. Вроде понял :)
Отвечает: Лука
L.b.s.
Здравствуйте, KrocoDIL!
Добавлю, что этот "бином", собственно, биномом не является (бином означает двучлен). И известен он был и до Ньютона.
Ньютон только предложил применять его для отрицательных и дробных n.
Короче, нет в жизни справедливости :)
Удачи!
--------- Imperare sibi maximum imperium est
Ответ отправил: Лука (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 10.06.2006, 11:27
Отвечает: Miklucho
Здравствуйте, KrocoDIL!
К вышеприведенным ответам добавлю:
Ответ отправил: Miklucho (статус: Студент)
Ответ отправлен: 10.06.2006, 11:57
Отвечает: Кучумов Евгений Владимирович
Здравствуйте, KrocoDIL!
Похоже, про сам бином Ньютона рассказали уже довольно много, но я попробую добавить ещё кое-что, надеюсь, интересное.
Да, сам бином был известен ещё до Ньютона, но если мне не изменяет память (а она, негодяйка, очень любит это делать) Ньютон предложил как с помощь дифференцирования (разложения в ряд) получить коэффициенты бинома при раскрытии скобок. Допустим, у нас есть бином (a+b)^n. Теперь предположим, что одно из слагаемых бинома - переменная, а другое - константа. Теперь раскладываем этот бином в ряд Тейлора (правильно говорить с ударением на букву "о"), а точнее - Маклорена (ударение на "е"). Если
вам про них не известно, то советую посмотреть в любом учебнике по высшей математике или математическому анализу, только для того, чтобы понять их суть, нужно обладать знаниями по основам дифференциального исчисления. Пусть переменной будет b, тогда: (a+b)^n=a^n+n*a^(n-1)*b/1+n*(n-1)*a^(n-2)*b^2/2+...+b^n (1). Но, с другой стороны, ведь переменной может выступать так же и a, так как выбор конкретной переменной и константы ничем не обоснован. Таким образом, расскладывая теп
ерь снова в ряд Маклорена по a мы получим тоже самое выражение, что и (1), но только b и a поменяются в этом случае. Теперь приравняв эти два разложения, мы получим, что коэффициент перед k-тым членом разложения (раскрытия скобок) должен иметь следующий вид C(k,n)=n!/((n-k)!*k!) (2), где знак "!" (произносится "факториал"), означает k!=1*2*3*...*(k-1)*k. На самом деле ряд Маклорена корректен только около точки разложения, а в данном случае точкой разложения была ноль "0". Поэтому
это и был ряд Маклорена, ведь ряд Тейлора называется Маклоренвским, если функцию раскладывают восле нуля, т.е. при разложении в функции и её производные подставляют значение переменной =-ной нулю. Таким образом, это выражения корректно только для малых значений a и b <1. Но это не страшно, так как в ряд Тейлора можно раскладывать возле любой точки, как бы переместив туда начало координат. Таким образом, данное разложение должно работать для любых a и b, т.е. разложен
ие для положительных и целых n не зависит от конкретных значений a и b. Для отрицательных и полуцелых n здесь уже возникают некоторые осложнения. Да, выше мы видели, что разложение в ряд бинома Ньютона не зависит от того, кукую мы выберем переменную, значит, сделав любое слагаемое в самом биноме (a+b) достаточно малым (это можно сделать, отняв у одного слагаемого столько, чтобы остаток был меньше единицы, и прибавить столько же к другому) и тогда снова можно будет воспользоваться разложением в ряд Маклорена.
Но эти мат.манипуляции, в общем то, не имеют большого значения, кроме доказательного, так как видно, что разложение в ряд получается конечным (конечное число слагаемых) и поэтому при уходе от нуля либо по a, либо по b погрешность этого разложения не даст существенного вклада, так как она [погрешность] оценивается по остатку ряда (неучтёным членам ряда), которого как раз в данном случае то и нет! Коэффициент (2) имеет так же большое значение, так как он имеет смысл числа
перестановок k элементов из n элементов, т.е. сколькими способами (число способов) мы можем расположить k выбранных предметов (элементов) в ряду из n предметов. Этот коэффициент так и называют - биноминальным коэффициентом, так как впервые (хотя за это не ручаюсь) выражение (2) было получено при исследования бинома Ньютона. Хотя сами числовые значения для коэффициентов членов в биноме ньютона были известны и до самого Ньютона (кстати, надеюсь, что эту фамилию вы произносите с ударением на букву "о",
как и положено :)!). Например, правило, по которому можно определить числовые значения для данных коэффициентов, описывал в своей книги ещё сам Б. Паскаль - так называемый треугольник Паскаля. Биномиальные коэффициенты (2) имеют огроменное значение в комбинаторике и теории вероятности. Например, 2^m есть выражение того, сколько в данном множестве из m элементов можно выразить подмоножеств, их полное число. Доказательство этого очень просто и осуществляется оно как раз с
помощью бинома Ньютона - 2^m=(1+1)^m=1+m*1/1+m*(m-1)*1/2!+...+1, т.е. мы как раз и получаем число всех возможных перестановок из числа выбираемых членов от 1 до m в данном множестве из m элементов. В теории вероятности - вероятность того, что одномерная частица (может двигаться только по одной координате), делая каждую секунду один шаг влево или вправо с вероятность 1/2 (1 шаг, 2 направления), за n секунд сделает k шагов будет выражаться так - C(k,m)/2^n. Но это уже можно применять и в физике, например, при
исследовании движений частиц в газе или в воде, т.е. в термодинамике, а точнее в статистической физике. Очень красивое выражение (2) мне оно самому очень нравится лично, да и сам А.Н. Колмогоров называл это формулу "замечательной". Так же стоит запомнить ещё одно выражение где используется биномиальный коэффициент - это так называемая формула Бернулли p(k,n)=C(k,n)*p^k*p^(n-k), которое является выражением вероятности того, что данное событие при n испытаниях вы
падет k раз. Можно увидеть, что выражение для блуждания одномерной частицы получается из формулы Бернулли, если подставить туда значение p=1/2. Это очень важная формула, так как из неё получаются все классические распределения вероятностей (нормальный закон, теорема Муавра-Лапласа, распределение Максвелла-Больцмана и т.д.).
Таким образом, видим, что бином Ньютона внёс, пусть и косвенно, но всё же существенный вклад в физику и не только в неё. :) Надеюсь, что я рассказал вполне доступно, но если будут вопросы, то я с удовольствием на них отвечу.
--------- Sapienti set
