Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Май 2006   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Математика для экономистов Выпуск 23


 

 

Математика для экономистов

 

 

 

Построение линейных оптимизационных моделей

 

Задача распределения ресурсов

 

На предприятии, выпускающем неоднородную продукцию, руководитель стремится определить, какими должны быть уровни производства для каждого продукта в течение некоторого наперед заданного периода. Эти уровни ограничены технологическими и другими ("внутренними" для данного предприятия) условиями, заданными в виде линейных соотношений (равенств или неравенств). В рамках этих ограничений руководство данного предприятия пытается оптимизировать некоторую конкретную целевую функцию. В рассматриваемом примере целью является получение максимальной прибыли.

Представим себе фирму (назовем ее условно "Мультиконвейер"), имеющую возможность реализовать от одного до четырех различных типов производственно-технологических процессов и обладающую правом выбора того или иного варианта. Технологические процессы первого и второго типов ориентированы на получение продукции А, а технологические процессы третьего и четвертого типов - на получение продукции В. Расходы, связанные с каждым из технологических процессов, определяются трудозатратами (измеряемыми в человеко-неделях), количеством (в единицах веса) потребляемого в течение недели материала Y и количеством (в ящиках) потребляемого в течение недели материала Z. Поскольку затраты, связанные с различными технологическими процессами, не одинаковы, прибыльность процессов оказывается разной даже в том случае, когда они используются для получения продукции одного и того же вида. При составлении производственного плана на неделю диапазон возможностей предпринимателя ограничен как за счет людских ресурсов, так и за счет потребляемого сырья (т.е. материалов Y и Z). Производственно-экономические показатели и все имеющиеся ограничения представлены на рис. 2.1.

 

 

 

На единицу продукции А

 

 

На единицу продукции В

 

Имеется в наличии (всего)

технологи-ческий процесс 1

технологи-ческий процесс 2

технологи-ческий процесс 3

технологи-ческий процесс 4

 

Количество человеко-недель

 

Количество материала Y (в килограммах)

 

Количество материала Z (единица измерения - ящик)

 

 

1

 

7

 

3

 

1

 

5

 

5

 

1

 

3

 

10

 

1

 

2

 

15

 

≤15

 

≤ 120

 

≤ 100

 

Доход с единицы продукции (в долларах)

 

 

4

 

5

 

9

 

11

Максими-зировать

 

Объем выпускаемой продукции

 

 

x1

 

x2

 

x3

 

x4

 

 

Рис. 2.1 Задача фирмы "Мультиконвейер"

 

Прежде чем приступить к построению линейной модели, рассмотрим прежде, какие допущения относительно технологии производства необходимо принять, чтобы обеспечить линейность модели.

Аксиомы линейности. Применим следующие два допущения, играющие исключительно важную роль при анализе (как в технологическом, так и в экономическом аспектах) упомянутых выше производственно-технологических процессов:

1. Делимость. Для каждого производственно-технологического процесса суммарное количество каждого из потребляемых ресурсов и соответствующая прибыль строго пропорциональны объему выпускаемой продукции (т.е. в расчете на единицу времени пропорциональны соответствующей производственной мощности, или, как говорят, уровню производственной активности). Другими словами, все показатели производственно-технологического процесса могут быть увеличены или уменьшены при сохранении их взаимной пропорциональности. Так, например, если увеличить вдвое все потребляемые ресурсы, то объем выпускаемой продукции и прибыль также возрастут вдвое. Условие делимости предполагает также, что все производственно-экономические показатели могут принимать не только целочисленные, но и дробные значения. Например, с технологической точки зрения вполне допустимо положить x2 = 2,5 или x4 = 10/3.

2. Аддитивность. Если значение каждой из управляемых переменных xj определено (т.е. указан соответствующий уровень производственной активности), то полное количество каждого из потребленных ресурсов равняется сумме одноименных ресурсов, затраченных при реализации всех применявшихся технологических процессов, а полная прибыль равняется сумме прибылей, получаемых в результате реализации этих технологических процессов. Пример: в соответствии с таблицей на рис. 2.1 для производства единицы продукции в ходе технологического процесса 1 и единицы продукции в холе технологического процесса 3 требуются 2 человеко-недели, 10 кг материала Y и 13 ящиков материала Z; доход при этом составляет 13 долл.

Постулирование свойств делимости и аддитивности эквивалентно утверждению о том, что соответствующая математическая модель может быть представлена в виде линейных соотношений. В более определенной интерпретации сформулированные выше аксиомы означают, что применительно к фиксированному производственно-технологическому процессу доходы строго пропорциональны затраченным ресурсам, а непропорциональный эффект (технологического или экономического характера) оказывается невозможным. Как будет показано далее, с помощью надлежащих (более "сильных") математических методов нередко удается учесть в линейных моделях эффекты нелинейного характера. В реальных ситуациях сформулированные выше постулаты, позволяющие использовать линейные модели, могут оказаться справедливыми лишь приближенно (хотя, возможно, и с достаточной степенью точности).

В рассматриваемом примере имеется три линейных неравенства (ограничение на трудозатраты, ограничение на материал Y и ограничение на материал Z). Прибыль (подлежащая максимизации) задается линейным соотношением. Более конкретно задача сводится к следующему:

максимизировать прибыль ≡ максимизировать (4x1 + 5x2 + 9x3 + 11x4)

(1)

при ограничениях

1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 ≤ 15 (человеко-недели),

7x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 120 (материал Y),

3x1 + 5x2 + 10x3 + 15x4 ≤ 100 (материал Z).

(2)

Отрицательные значения уровней производства (объемов выпускаемой продукции) не имеют физического смысла; таким образом, потребуем, чтобы производство не было "отрицательным". Другими словами, будем считать, что каждая из управляемых переменных xj (j = 1, 2, 3, 4) либо равна нулю, либо принимает положительные значения, т.е. неотрицательна:

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, х4 ≥ 0.

(3)

Задача организационного управления заключается в том, чтобы найти значения всех неизвестных xj, удовлетворяющие соотношениям (2) и (3) и максимизирующие прибыль (1). Вообще говоря, такие значения не обязательно являются единственно возможными. Могут существовать альтернативные оптимальные решения.

 

 

 

mathematics.economics@rambler.ru

Автор оставляет за собой право:

а) отвечать не на все полученные письма,
б) публиковать полностью или частично полученные письма в рассылке.

 

 

 
В избранное