Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Август 2003   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Математика для экономистов Выпуск 8.


Информационный Канал Subscribe.Ru

Математика для экономистов.
Выпуск #8. E-mail: mathematics@home.tula.net URL: mathematics.boom.ru
ЗАДАЧА О НЕПРЕРЫВНОМ НАЧИСЛЕНИИ ПРОЦЕНТОВ

Первоначальный вклад в банк составил Q0 денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно p% годовых. Необходимо найти размер вклада Qt через t лет.

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину (p/100)Q0, т.е.

Q1 = Q0(1 + (p/100)), Q2 = Q0(1 + (2p/100)), ... , Qt = Q0(1 + (pt/100)).

На практике значительно чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число (1 + (p/100)) раз, т.е.

Q1 = Q0(1 + (p/100)), Q2 = Q0(1 + (p/100))2, ..., Qt = Q0(1 + (p/100))t.

Если начислять проценты по вкладам не один раз в году, а n раз, то при том же ежегодном приросте p% процент начисления за (1/n)-ю часть года составит (p/n)%, а размер вклада за t лет при nt начислениях составит:

Qt = Q0(1 + (p/100n))nt.

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n = 2), ежеквартально (n = 4), ежемесячно (n = 12), каждый день (n = 365), каждый час (n = 8760) и т.д., непрерывно (n->оо). Тогда размер вклада за t лет составит:

Qt = lim [Q0(1 + (p/100n))nt] = Q0 lim [(1 + (p/100n)100n/p] pt/100 (при n->оо)

или с учетом второго замечательного предела (e = lim [1 + (1/x)] x, при x->оо) при x = 100n/p ->оо:

Qt = Q0 e pt/100.

Эта формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при p > 0) или убывания (при p < 0). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов.

Чтобы почувствовать результаты расчетов в зависимости от способа начисления процентов, в таблице в качестве примера приводятся размеры вкладов Qt, вычисленные при Q0 = 1 ден. ед., p = 5%, t = 20 лет.

Формула
простых
процентов		 Формула сложных процентов Формула
непрерывного
начисления
процентов
n = 1 n = 2 n = 4 n = 12 n = 365
Размер
вклада,
ден. ед.		 2,0000 2,6355 2,6851 2,7015 2,7126 2,7181 2,7182

Как видим, погрешность вычисления суммы вклада по формуле непрерывного начисления процентов по сравнению с формулой сложных процентов, начисляемых ежегодно (n = 1), при одной и той же процентной ставке (p = 5%) оказалась незначительной около 2,5%.

Замечание. Хотя в практических финансово-кредитных операциях непрерывное начисление процентов применяется крайне редко, оно оказывается весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности, при обосновании и выборе инвестиционных решений.

Задача 6.1 (для самостоятельного решения).

Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых, составил 6 млн. руб. Найти размер вклада через 5 лет при начислении процентов: а) ежегодном; б) поквартальном; в) непрерывном.

Ответы на задачу 6.1, свои решения, вопросы присылайте по адресу mathematics@home.tula.net.

Есть интересные задачи по теме - присылайте, разберемся вместе!

В следующих выпусках:

  • Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике;
  • Экономический смысл определенного интеграла. Использование понятия определенного интеграла в экономике;
  • Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике.

Содержание рассылки зависит и от Вас: чем активнее Вы проявляете свою заинтересованность в той или иной теме, задаете те или иные вопросы - тем полезнее рассылка будет для каждого из Вас! Пишите: mathematics@home.tula.net.

http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное