Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Июль 2003   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Математика для экономистов Выпуск 6.


Информационный Канал Subscribe.Ru

Математика для экономистов.
Выпуск #6. E-mail: mathematics@home.tula.net URL: mathematics.boom.ru
4. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА
(МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ).

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется n стран S1 , S2 , ... , Sn, национальный доход каждой из которых равен соответственно x1 , x2 , ... , xn. Обозначим коэффициентами aij долю национального дохода, которую страна Sj тратит на покупку товаров у страны Si. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

a1j + a2j + ... + anj = 1 (j = 1,2,...,n).

Рассмотрим матрицу

|| a11 a12 ... a1n ||
|| a21 a22 ... a2n ||
A = || ... ... ... ... || ,
|| an1 an2 ... ann ||

которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны Si (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:

pi = ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn.

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны Si, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

pi > = xi (i = 1,2,...,n).

Если считать, что pi > xi (i = 1,2,...,n), то получаем систему неравенств:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn > x1 ,
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn > x2 ,
. . . . . . . . . . . . .
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn > xn .

Сложив все неравенства системы, получим после группировки:

x1(a11 + a21 + ... + an1) + x2(a12 + a22 + ... + an2) + ... + xn(a1n + a2n + ... + ann) > x1 + x2 + ... + xn.

Учитывая, что выражения в скобках равны единице, мы приходим к противоречивому неравенству:

x1 + x2 + ... + xn > x1 + x2 + ... + xn.

Таким образом, неравенство pi > xi (i = 1,2,...,n) невозможно, и условие pi > = xi принимает вид pi = xi (i = 1,2,...,n). (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.)

Вводя вектор x = (x1 , x2 , ... , xn) национальных доходов стран, получим матричное уравнение:

AX = X,

где X - матрица-столбец из координат вектора x, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению, равному единице.

Задача 4.1.

Структурная матрица торговли трех стран S1 , S2 , S3 имеет вид:

|| 1/3 1/4 1/2 ||
A = || 1/3 1/4 1/2 || .
|| 1/3 1/4 0 ||

Найти национальные доходы стран для сбалансированной торговли.

Решение 4.1.

Находим собственный вектор X, отвечающий собственному значению, равному единице, решив уравнение (A - E)X = 0 или систему:

|| -2/3 1/4 1/2 || || x1 || || 0 ||
|| 1/3 -1/2 1/2 || || x2 || = || 0 ||
|| 1/3 1/4 -1 || || x3 || || 0 ||

методом Гаусса.

|| -2/3 1/4 1/2 | 0 || || 1 -3/2 3/2 | 0 || || 1 -3/2 3/2 | 0 || || 1 -3/2 3/2 | 0 ||
|| 1/3 -1/2 1/2 | 0 || ~ || 1 3/4 -3 | 0 || ~ || 0 9/4 -9/2 | 0 || ~ || 0 9/4 -9/2 | 0 || ~
|| 1/3 1/4 -1 | 0 || || -2 3/4 3/2 | 0 || || 0 -9/4 9/2 | 0 || || 0 0 0 | 0 ||

|| 1 -3/2 3/2 | 0 ||
~ || 0 9/4 -9/2 | 0 || ,

т.е. ранг матрицы системы r = 2.

Определитель | 1 -3/2 | отличен от нуля.
| 0 9/4 |

Поэтому можно оставить в левой части переменные x1 и x2, которые возьмем за основные. Оставшуюся (неосновную) переменную x3 перенесем в правую часть.

В результате получим систему:

x1 - 3/2 x2 = -3/2 x3 ,
9/4 x2 = 9/2 x3 .

Откуда x2 = 2x3 и x1 = (3/2)x3.

Задавая неосновной переменной произвольное значение x3 = c, найдем бесконечное множество решений системы:

x1 = (3/2)c,   x2 = 2c,   x3 = c.

Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов X = (3/2c; 2c; c), т.е. при соотношении национальных доходов стран (3/2):2:1 или 3:4:2.

Задача 4.2 (для самостоятельного решения).

Найти соотношение цен трех товаров, если наборы этих товаров x1 = (6; 2; 4), x2 = (1; 8; 9), x3 = (3; 5; 9) имеют одинаковую стоимость.

Ответ: 15:10:6.

Ответ на задачу 4.2 присылайте по адресу mathematics@home.tula.net. Если возникнут вопросы по решению - задавайте.

Есть интересные задачи по теме - присылайте, разберемся вместе!

В следующих выпусках:

  • Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов;
  • Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике;
  • Экономический смысл определенного интеграла. Использование понятия определенного интеграла в экономике;
  • Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике.

Содержание рассылки зависит и от Вас: чем активнее Вы проявляете свою заинтересованность в той или иной теме, задаете те или иные вопросы - тем полезнее рассылка будет для каждого из Вас! Пишите: mathematics@home.tula.net.

http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное