Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Июль 2003   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Математика для экономистов Выпуск 4.


Информационный Канал Subscribe.Ru

Математика для экономистов.
Выпуск #4. E-mail: mathematics@home.tula.net URL: mathematics.boom.ru
3. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ
(БАЛАНСОВЫЙ АНАЛИЗ).

Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как привило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

xi - общий (валовой) объем продукции i-й отрасли (i = 1,2,...,n);
xij - объем продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,...,n);
yi - объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то

xi = (xi1 + xi2+ ... + xin) + yi , (i = 1,2,...,n).

Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

aij = xij / xj , (i,j = 1,2,...,n),

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

xij = aijxj , (i,j = 1,2,...,n),

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса примут вид:

xi = (ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn) + yi , (i = 1,2,...,n),

Обозначим

|| x1 || || a11 a12 ... a1n || || y1 ||
|| x2 || || a21 a22 ... a2n || || y2 ||
X = || ... || , A = || ... ... ... ... || , Y = || ... || ,
|| xn || || a1n a2n ... ann || || yn ||

где

X - вектор валового выпуска;
A - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);
Y - вектор конечного продукта.

Тогда соотношения баланса можно записать в виде:

X = AX + Y.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем матричное уравнение в виде:

(E - A) X = Y.

Если матрица (E - A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, тогда:

X = (E - A)-1 Y.

Матрица S = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат.

Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (sij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта:

|| 1 || || 0 || || 0 ||
|| 0 || || 1 || || 0 ||
Y1 = || ... || , Y2 = || ... || , ... , Yn = || ... || .
|| 0 || || 0 || || 1 ||

Тогда соответствующие векторы валового выпуска будут:

|| s11 || || s12 || || s1n ||
|| s21 || || s22 || || sn2 ||
Y1 = || ... || , Y2 = || ... || , ... , Yn = || ... || .
|| sn1 || || sn2 || || snn ||

Следовательно, каждый элемент sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij.

Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

Задача 3.1.

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.:

Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой выпуск
Энергетика Машиностроение
Производство Энергетика 7 21 72 100
Машиностроение 12 15 123 150

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение 3.1.

Имеем x1 = 100, x2 = 150, x11 = 7, x12 = 21, x21 = 12, x22 = 15, y1 = 72, y2 = 123.

По формуле aij = xij / xj находим коэффициенты прямых затрат: a11 = 0,07; a12 = 0,14; a21 = 0,12; a22 = 0,10.

Т.е. матрица прямых затрат

|| 0,07 0,14 ||
A = || 0,12 0,10 ||

имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

max {0,17 + 0,12; 0,14 + 0,10} = max {0,19; 0,24} = 0,24 < 1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X = (E - A)-1 Y.

Напишем матрицу полных затрат S = (E - A)-1:

|| 0,93 - 0,14 ||
E - A = || - 0,12 0,90 || .

Так как |E - A| = 0,8202, то

|| 0,90 0,14 ||
S = | E - A |-1 = 1 / 0,8202 || 0,12 0,93 || .

По условию вектор конечного продукта:

|| 144 ||
Y = || 123 || .

Тогда по формуле X = (E - A)-1 Y получаем вектор валового выпуска:

|| 0,90 0,14 || || 144 || = || 179,0 ||
X = 1 / 0,8202 || 0,12 0,93 || || 123 || = || 160,5 || ,

т.е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а в машиностроительной - до 160,5 усл. ед.

Задача 3.2 (для самостоятельного решения).

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

Отрасль Потребление Конечный продукт Валовой выпуск
1 2
Производство 1 100 160 240 500
2 275 40 85 400

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт первой отрасли должен увеличиться в 2 раза, а второй отрасли - на 20%.

Ответ: (945,6; 691,2)'.

Ответ на задачу 3.2 присылайте по адресу mathematics@home.tula.net. Если возникнут вопросы по решению или по теории - задавайте.

Есть интересные задачи по теме - присылайте, разберемся вместе!

В следующих выпусках:

  • линейная модель обмена (модель международной торговли);
  • интерполирование функций;
  • задача о непрерывном начислении процентов;
  • задача о производительности труда.

Содержание рассылки зависит и от Вас: чем активнее Вы проявляете свою заинтересованность в той или иной теме, задаете те или иные вопросы - тем полезнее рассылка будет для каждого из Вас! Пишите: mathematics@home.tula.net.

http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное