Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Математика управления капиталом

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Секреты инвестирования" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Июль 2003   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Сергей Спирин

Статистика

2.119 подписчиков
-4 за неделю
←   Все выпуски   →

Математика для экономистов Выпуск 5.


Информационный Канал Subscribe.Ru

Математика для экономистов.
Выпуск #5. E-mail: mathematics@home.tula.net URL: mathematics.boom.ru
5. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ.
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-рациональные, степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность, колеблемость ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1. Функция полезности (функция предпочтений) - в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2. Производственная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) - зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обусловливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных. Среди этих функций выделяются мультипликативные функции, позволяющие представить зависимую переменную в виде произведения факторных переменных, обращающего его в нуль при отсутствии действия хотя бы одного фактора.

Используются также сепарабельные функции, которые дают возможность выделить влияние различных факторных переменных на зависимую переменную, и в частности, аддитивные функции, представляющие одну и ту же зависимую переменную как при суммарном, но раздельном воздействии нескольких факторов, так и при одновременном их воздействии.

Если действием побочных факторов можно пренебречь или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной.

Остановимся еще на одном важном аспекте использования функций в экономике применении таблиц функций, которые позволяют сделать возможными различные расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления.

При вычислениях с помощью таблиц мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае мы должны прибегнуть к интерполированию (интерполяции), - приближенному нахождению неизвестных значений функции по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение x лежит между приведенными в таблице значениями x0 и x1 = x0 + h, которым соответствуют значения функции y0 = f(x0) и y1 = f(x1) = f(x0) + /\f, то считают, что

f(x) = f(x0) + x - x0 /\f .
h

Величины (x - x0)/\f / h называются интерполированными поправками. Эти величины вычисляются с помощью таблицы или приводятся в дополнении к таблице.

Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то необходимо произвести обратное интерполирование.

Задача 5.1.

Функция y = f(x) задана таблицей:

x 2,00 2,04 2,08
y 2,42 2,88 3,38

a) Используя линейное интерполирование, найти f(2,008).
б) Чему равен x, если f(x) = 3,1?

Решение 5.1.

а) Имеем:

x0 = 2,00; f(x0) = 2,42;
x1 = 2,04; f(x1) = 2,88;
h = x1 - x0 = 2,04 - 2,00 = 0,04;
/\f = f(x1) - f(x0) = 2,88 - 2,42 = 0,46.

Теперь по интерполяционной формуле получим:

y = f(2,008) = 2,42 + (2,008 - 2,00) * 0,46 / 0,04 = 2,512.

б) Обратное интерполирование можно провести по той же формуле, в которой поменять местами переменные x и y:

g(y) = g(y0) + y - y0 /\g ,
h

где x = g(y) - неизвестное значение обратной функции.

Имеем:

y0 = 2,88; g(y0) = 2,04;
y1 = 3,38; g(y1) = 2,08;
h = y1 - y0 = 3,38 - 2,88 = 0,50;
/\g = g(y1) - g(y0) = 2,08 - 2,04 = 0,04.

Теперь по интерполяционной формуле получим:

x = g(3,1) = 2,04 + (3,1 - 2,88) * 0,04 / 0,50 = 2,058.

В ряде случаев точность нахождения неизвестных значений с помощью линейного интерполирования оказывается недостаточной и используются другие методы интерполирования, например, квадратичное интерполирование.

Есть интересные задачи по теме - присылайте, разберемся вместе!

В следующих выпусках:

  • Линейная модель обмена (модель международной торговли);
  • Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов;
  • Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике;
  • Экономический смысл определенного интеграла. Использование понятия определенного интеграла в экономике;
  • Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике.

Содержание рассылки зависит и от Вас: чем активнее Вы проявляете свою заинтересованность в той или иной теме, задаете те или иные вопросы - тем полезнее рассылка будет для каждого из Вас! Пишите: mathematics@home.tula.net.
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное