Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Приглашение в мир математики

Подписаться Бесплатная «Серебряная» новостная рассылка . Подписчиков 307 RSS
←   Февраль 2010   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://www.intelmath.narod.ru
Открыта: 25-07-2008
Адрес автора: job.education.maths-owner@subscribe.ru

Автор
General

Статистика

307 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Магические квадраты - математическое развелечение и шанс прославиться


Магические квадраты - математическое развелечение и шанс прославиться

Тема математических квадратов – один из традиционных разделов занимательной математики, представляющий любознательному читателю как красивые конструкции, так и серьёзные нерешенные проблемы.

Начнём с классической задачи построения минимального магического квадрата.

Задача
Расставьте числа от 1 до 9 в клетки квадрата 3х3 так, чтобы суммы троек чисел во всех вертикалях, горизонталях и диагоналях были равны.

Допустим, мы расставили девять чисел согласно требуемым условиям:

a

b

c

d

e

f

g

h

i

Тогда должны быть равны суммы a+b+c = d+e+f = g+h+i = a+d+g = b+e+h = c+f+i = a+e+i = c+e+g = S. Число S называется константой магического квадрата. Чтобы найти её, заметим, что 3S= a+b+c + d+e+f + g+h+i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Отсюда S=15.

Найдём теперь центральный элемент, e. Для этого рассмотрим четыре суммы: центральные вертикаль и горизонталь и обе диагонали. 4S = a+e+i + b+e+h + c+e+g + d+e+f = 3S+3e. Отсюда e=S/3=5.

Прежде чем сокращать количество неизвестных, сделаем ещё одно наблюдение. Сложим горизонталь, вертикаль и диагональ, выходящие из одного угла.
3S = a+b+c + a+e+i + a+d+g = a+b+c + d+e+f + g+h+i + = 3S + 2c-d-h

Значит сумма d+h – чётное число. Выходит, что все числа, стоящие в углу – одной чётности и отличной от всех чисел, стоящих на сторонах. Т.к. в сумме по горизонтали стоят два угловых числа и одно боковое, а сама сумма равна нечётному числу, 15ти, то науглах стоят чётные числа, а на сторонах – нечётные.

Теперь исключаем неизвестные:

a

b

c

d

5

10-d

10-c

10-b

10-a

Дальше можно было бы ещё удалить переменную d, воспользовавшись равенством a+b+c = a+d+10-c, откуда d=2c+b-10, а также выразить c как 15-a-b, однако пропустим этот шаг и сразу перейдём к заполнению числами.

Заполнение углов чётными числами с точностью до переворотов и отражений будет единственным. Куда-нибудь ставим двойку, автоматически в противоположном углу будет 8. Оставшуюся пару углов занимают числа 4 и 6:

2

b

4

d

5

10-d

6

10-b

8

Теперь однозначно устанавливаются и нечётные числа на сторонах:

2

9

4

7

5

3

6

1

8

Итак, мы получили самый простой и древнейший известный человечеству магический квадрат. Согласно китайскому преданию, он был начертан на панцире священной черепахи.

Помимо последовательных натуральных чисел, отдельный интерес представляет расположение в клетках магического квадрата простых чисел, квадратов, кубов и пр. А исследователь Наталия Макарова в теме о магических квадратах на научном форуме представляет свои результаты и приглашает к поиску квадратов, состоящих из последовательных чисел Смита и минимальных магических квадратов из смитов.

Числа Смита – отдельное любопытное явление. У этих чисел сумма цифр совпадает с суммой цифр всех их простых делителей. Например,
2888=2*2*2*19*19
2+8+8+8=2+2+2+1+9+1+9

Минимальный квадрат 3х3 из последовательных чисел Смита нашёл Макс Алексеев

84138954584

84138954498

84138954532

84138954486

84138954538

84138954590

84138954544

84138954578

84138954492

Как говорит сама Наталия:

Сложность этой задачи состояла в том, что для её решения пришлось сгенерировать очень большие числа Смита.

Теперь остались не построены квадраты порядков 4 - 5, 7 - 9 из последовательных чисел Смита; а из произвольных - только квадраты порядков 7 - 9 осталось построить.

Ну, разумеется, не считая квадратов больших порядков. Квадраты из последовательных смитов построены до порядка 50, а квадраты из произвольных - до порядка 35. Можно и дальше продолжить построение, для следующих порядков.

Квадраты больших порядков построены по уникальным программам Stefano Tognon (Италия), которые, увы, не работают для маленьких порядков.

Сейчас в последовательности A170928 минимальных констант магических квадратов, состоящих из чисел Смита, стоят три вопросика, как раз для непостроенных магических квадратов порядков 7 - 9. Каждый, кто сможет построить такой квадрат, будет его автором и попадёт со своим квадратом в энциклопедию OEIS. По-моему, это неплохой стимул к решению задачи :)

Так что задача открыта и вы можете сказать новое слово и вписать своё имя в исследования магических квадратов.

(А ещё одна возможность показать себя - принять участие в открытой интернет-олимпиаде по математике :) ).

Желаем удачи!!!
В избранное