Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Финансы и финансовая математика

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Оперативные финансовые и экономические новости" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Май 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Станислав Агапов

Статистика

516 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Финансы и финансовая математика


 

§ 19. Общий метод вычисления эффективной процентной ставки

Станислав Агапов

В предыдущем параграфе мы отмечали, что размер эффективной процентной ставки даже для относительно простых ссудных операций нельзя найти с помощью какой-либо формулы. На помощь здесь приходят так называемые численные методы, которые позволяют за конечное число шагов вычислить приближённое значение искомой величины с необходимой точностью.

Общий метод приближённого вычисления эффективной процентной ставки, который мы рассмотрим далее, может применяться для любой ссуды, платежи по которой совершаются через одинаковые промежутки времени. Его основу составляет численный метод Ньютона, суть которого, в общих чертах, заключается в следующем.

Допустим, нам нужно найти решение уравнения f(x) = 0, где f(x) — некоторая дифференцируемая функция. Тогда при определённых условиях последовательность чисел {x(k)}, где самое первое значение x(0) выбирается самостоятельно, а каждое последующее находится по формуле

(19.1)

,
 

сходится к точному решению этого уравнения. Нам сейчас не важно, что это за условия, при желании информацию об ограничениях метода Ньютона можно легко отыскать.

Посмотрим теперь, как использовать этот метод для вычисления эффективной процентной ставки.

Введём новую величину vτ = (1 + i )–τ, которая называется множителем дисконтирования для периода времени τ. С её помощью формулу (18.2), представляющую собой общее соотношение для нахождения эффективной процентной ставки, можно переписать следующим образом:

.

Нахождение корня этого уравнения эквивалентно нахождению корня функции

.

Эта функция имеет только один положительный корень (нас интересуют только положительные корни), причём он лежит в интервале (0, 1). Этот корень можно легко найти с помощью метода Ньютона, предварительно вычислив производную функции f(x):

.

Теперь, выбрав в качестве начального приближения x(0) = 1, с помощью формулы (19.1) мы получим последовательность чисел x(k), сходящихся к точному значению vτ . Приближённое значение искомой эффективной процентной ставки находится из следующего соотношения:

(предполагается, что мы закончили вычисления на шаге с номером n ).

Пример

Найдём эффективную процентную ставку для ссуды, которую мы рассматривали в качестве примера в параграфе 7 (когда речь шла об актуарном методе), только теперь сразу учтём, что второй платёж (10 фунтов) не является самостоятельным, а присоединяется к третьему платежу.

Условия, напомню, таковы. Ссуда размером S0 = 1000 фунтов стерлингов Соединенного Королевства выдана на год под простую процентную ставку j = 20%. Для погашения ссуды заёмщиком были внесены следующие частичные платежи:

  • R1 = 600 фунтов стерлингов через 3 месяца (t1 = ¼) после начала сделки;
  • R2 = 310 фунтов стерлингов через 9 месяцев (t2 = ¾) после начала сделки;
  • R3 = 194,25 фунтов стерлингов через год (t3 = 1) после начала сделки.

В качестве периода времени τ выберем один квартал (τ = ¼). В соответствии с описанным выше методом, введём вспомогательную функцию

f(x) = 600 x + 310 x3 + 194,25 x4 – 1000

и найдём её производную:

f(x) = 600 + 930 x2 + 777 x3.

Теперь, выбрав в качестве начального приближения x(0) = 1, с помощью формулы (18.1) построим последовательность приближённых значений дисконтирующего множителя vτ и эффективной процентной ставки i:

k x(k) i
0 1 i ≈ 0
1 0,95481144343303 i ≈ 0,20317704736717
2 0,95284386714354 i ≈ 0,21314588059674
3 0,95284030323558 i ≈ 0,2131640308135
4 0,95284030322392 i ≈ 0,21316403087292
5 0,95284030322392 i ≈ 0,21316403087292

Уже на пятом шаге расчёт привёл к тому же результату, что и на предыдущем, причём с точностью, которая вам вряд ли когда-нибудь сможет понадобиться. Полученный результат более чем на 1,3% превышает заявленную (номинальную) процентную ставку по ссуде, хотя здесь не было ни скрытых комиссий, ни каких-либо других дополнительных выплат.

Замечание. Лучший способ быстро произвести расчёт эффективной процентной ставки (не имея под рукой специального финансового калькулятора или компьютерной программы) — это воспользоваться каким-нибудь табличным редактором. Например, в онлайновом табличном редакторе Google весь расчёт выглядит примерно следующим образом:





Вычисление эффективной процентной ставки с помощью табличного редактора

Обратите внимание на следующие моменты:

  1. В табличном редакторе не нужно вручную вычислять коэффициенты при степенях x для производной — они могут быть найдены по формуле, как показано на первом рисунке.
  2. С помощью функции SERIESSUM (второй рисунок) можно легко вычислять значения как самой функции f(x), так и её производной.

В следующем параграфе мы разберём на примере, как с помощью метода Ньютона и табличного редактора можно быстро найти эффективную процентную ставку для обычного долгосрочного кредита, погашаемого ежемесячными платежами в соответствии с дифференцированной схемой.


  Этот и все остальные выпуски рассылки вы можете найти на сайте www.finmath.ru


В избранное