Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Финансы и финансовая математика

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Оперативные финансовые и экономические новости" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Май 2008   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Станислав Агапов

Статистика

516 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Финансы и финансовая математика: Ссуды, выдаваемые под сложные проценты


 

§ 17. Ссуды, выдаваемые под сложные проценты

Станислав Агапов

Как вы помните, российские банки обычно выдают кредиты под простые проценты. Тем не менее, в определённых случаях, например, когда частичные платежи вносятся достаточно редко (раз в квартал или даже раз в год), при выдаче ссуд применяются сложные проценты. При этом, как ни странно, расчётные формулы получаются более удобными и красивыми, чем при использовании метода простых процентов. А кроме того, не возникает неоднозначностей при определении результата (если вы помните параграфы, посвящённые актуарному методу и правилу торговца, то вы знаете, что при использовании простых процентов результат расчёта частичных платежей по кредиту зависит от выбранного метода их учёта).

Для примера рассмотрим кредит размером S0 рублей, который погашается частичными платежами A1, A2, ..., An в моменты времени t1, t2, ..., tn соответственно. Допустим, что кредит выдан под сложную процентную ставку i. Тогда на момент внесения первого платежа сумма долга по кредиту будет равна

S0 (1 + i ) t1 рублей.

В соответствии с актуарным методом первый платёж идёт на погашение начисленных за время t1 процентов и частично — на погашение основного долга, и после его внесения сумма задолженности составит уже

S1 = S0 (1 + i ) t1 – A1 рублей.

Далее, на момент внесения второго платежа сумма задолженности опять увеличится и будет равна

[S0 (1 + i ) t1 – A1] (1 + i ) t2 – t1 рублей,

а после его внесения —

S2 = [S0 (1 + i ) t1 – A1] (1 + i ) t2 – t1 – A2 = S0 (1 + i ) t2 – A1 (1 + i ) t2 – t1 – A2 рублей.

И так далее. В общем случае будет справедлива следующая формула:

(17.1)

Sk = S0 (1 + i ) tk –(1 + i ) tk – tj .

 

Желающие могут без труда доказать её с помощью метода математической индукции, как это было сделано в § 7.

Если подставить в формулу (17.1) значение k = n, вспомнить, что Sn = 0, и потом всё сократить на (1 + i )tn, то мы получим следующее элегантное соотношение:

(17.2)

.

 

Точно такая же формула, очевидно, получилась бы, если бы мы воспользовались не актуарным методом, а правилом торговца (чтобы понять это, достаточно просто вспомнить суть данного правила).

Пример.

Cсуда, выданная на три года под сложную процентную ставку 25%, погашается двумя частичными платежами:

  • в конце второго года — 400 тысяч рублей;
  • в конце третьего года — 500 тысяч рублей.

Чтобы найти размер ссуды, нужно воспользоваться формулой (17.2), заметив по ходу дела, что (1+0,25)–1= 0,8:

S0 = 400 0,82 + 500  0,83 = 512 тысяч рублей.

 

Обычно при работе со сложными процентами промежутки времени между датами внесения платежей достаточно велики, и точностью их определения пренебрегают. Поэтому, если платежи вносятся, скажем, ежеквартально, то промежутки времени между датами их внесения считаются одинаковыми. Формула (17.2) в этом случае принимает следующий вид:

(17.3)

,

 

где τ — единая продолжительность (в годах) промежутков времени между датами внесения платежей.

Если все платежи при этом являются одинаковыми по размеру (то есть A1 = A2 = ... = An = A ), то, вспомнив формулу для суммы геометрической прогрессии, мы получим следующее соотношение:

(17.4)

.
 

Если при задании условий ссуды указывалась номинальная процентная ставка j (см. § 15), то формула (17.4) немного упрощается:

(17.5)

.
 

Для получения этого соотношения использовался тот факт, что

(1 + i )τ = 1 + jτ

(это следует из определения номинальной процентной ставки). Кстати говоря, формулу (17.5), правда, в «перевёрнутом» виде, мы уже получали раньше, в § 9, только тогда это называлось формулой для вычисления размера аннуитетного платежа. Из этого можно сделать далекоидущий вывод: кредиты, выдаваемые под простые проценты, и кредиты, выдаваемые под сложные проценты, но с указанием номинальной процентной ставки, — это одно и то же. Технически и те, и другие обсчитываются с использованием комбинированной схемы начисления процентов.



  Этот и все остальные выпуски рассылки вы можете найти на сайте www.finmath.ru


В избранное