Леонид Енгибаров родился 15 марта 1935 года в Москве. Его отец (армянин по национальности) работал шеф-поваром в ресторане гостиницы “Метрополь”, мать была домохозяйкой (родом из Тверской губернии). Жила семья Енгибаровых в деревянном одноэтажном домике в Марьиной Роще.
Прежде чем посвятить свою жизнь цирку, Енгибаров перепробовал несколько других профессий. Закончив среднюю школу в 1952 году, он поступил в институт рыбного хозяйства. Однако, проучившись в нем всего полгода, он перевелся в институт физкультуры. В то время он профессионально занимался боксом и к середине 50-х сумел достичь на этом поприще хороших результатов. На первенстве Москвы по боксу в сезоне 1952-1953 годов Енгибаров одержал 9 побед и потерпел одно поражение (от соперника из Львова), В итоге он занял
3-е место в своей весовой категории. Начав в 1952 году с 3-го разряда, он в 1954 году имел уже 1-й разряд по боксу.